索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式

9.1 索伯列夫空间$W^{1,p}(\Omega)$的基本性质与定义

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集且令$p{\in}\mathbb{R}$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。

定义

索伯列夫空间$W^{1,p}(\Omega)$是定义为

$$ W^{1,p}(\Omega)=\left\{u{\in}L^p(\Omega)|{\exists}g_1,g_2,{\cdots},g_N{\in}L^p(\Omega)s.t.\int_{\Omega}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}g_i\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega),{\forall}i=1,2,{\cdots},N\right\} $$

我们设

$$ H^1(\Omega)=W^{1,2}(\Omega) $$

对于$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$我们定义$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}=g_i$，且我们记

$$ {\nabla}u=grad{\;}u=(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_1},\frac{{\partial}u}{{\partial}x_2},{\cdots},\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}) $$

空间$W^{1,p}(\Omega)$是装备范数

$$ \|u\|_{W^{1,p}}=\|u\|_p+\sum^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|_p $$

或者有时用其等价范数$(\|u\|^p_p+\sum^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|^p_p)^{1/p}$（如果$1{\le}p<\infty$）。

空间$H^1(\Omega)$是装备上内积

$$ (u,v)_{H^1}=(u,v)_{L^2}+\sum^N_{i=1}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i},\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i})_{L^2}=\int_{\Omega}uv+\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i} $$

诱导的范数

$$ \|u\|_{H^1}=(\|u\|_2^2+\sum^N_{i=1}\|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\|_2^2)^{1/2} $$

这个和$W^{1,2}$的范数是等价的。

命题9.1

对于任意$1{\le}p<\infty$，$W^{1,p}(\Omega)$是一个巴拿赫空间。对于$1<p<\infty$，$W^{1,p}(\Omega)$是自反空间。且对于$1{\le}p<\infty$，是可分空间。$H^1(\Omega)$是一个可分的希尔伯特空间。

证明：用算子$Tu=[u,{\nabla}u]$结合命题8.1的证明即可。

注1：在$W^{1,p}$的定义中，我们同样可以用$C_c^{\infty}(\Omega)$作为试验函数$\varphi$的空间（代替$C_c^1(\Omega)$）。为了说明这个，用一串磨光算子序列$(\rho_n)$即可。

注2：容易知道如果$u{\in}C^1(\Omega){\cap}C^p(\Omega)$且对于所有的$i=1,2,{\cdots},N$，$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}L^p(\Omega)$（这里$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$意味着$u$的通常的偏导数），则$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$。更甚者，通常的偏导数和在$W^{1,p}$意义下的偏导数一致，所以记号是一致的。特别地，如果$\Omega$是有界的，则对于所有的$1{\le}p{\le}\infty$，$C^1(\overline{\Omega}){\subset}W^{1,p}(\Omega)$。反之，可以说明如果对于某些$1{\le}p{\le}\infty,u{\in}W^{1,p}(\Omega)$且如果对于所有$i=1,2,{\cdots},N,\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}C(\Omega)$（这里$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$意味着在$W^{1,p}$意义下的偏导数），则$u{\in}C^1(\Omega)$；更精确地说，存在一个函数$\widetilde{u}{\in}C^1(\Omega)$使得$u=\widetilde{u}{\;}a.e.$。

注3：对于任意$u{\in}L^1_{loc}(\Omega)$，分布定理给了$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$一个意义（$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$是巨大分布空间$\mathcal{D'}(\Omega)$的一个元素，特别地这个空间是包含在$L^1_{loc}(\Omega)$中）。用到分布的语言，可以说明$W^{1,p}(\Omega)$是函数$u{\in}L^p$的集合，其中所有的偏微分$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i},1{\le}i{\le}N$（在分布的意义上）属于$L^p(\Omega)$。

当$\Omega=\mathbb{R}^N$且$p=2$时，可以用傅立叶变换来定义索伯列夫空间。

注4：记住下列事实是有用的：

（1）令$(u_n)$为在$W^{1,p}$中的一列序列，使得在$L^p$上$u_n{\to}u$且$({\nabla}u_n)$在$(L^p)^N$上收敛到某个极限。则$u{\in}W^{1,p}$且$\|u_n-u\|_{W^{1,p}}{\to}0$。当$1<p{\le}\infty$足够知道在$L^p$上$u_n{\to}u$且$({\nabla}u_n)$在$(L^p)^N$上有界，于是推出$u{\in}W^{1,p}$。

（2）给定一个定义在$\Omega$上的函数$f$，我们定义$\overline{f}$是它延拓到$\Omega$外，也即

$$ \overline{f}(x)=\begin{cases} f(x){\quad}if{\;}x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}{\Omega} \end{cases} $$

令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$且令$\alpha{\in}C_c^1(\Omega)$，则

$$ \overline{\alpha{u}}{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)且\frac{\partial}{\partial{x_i}}(\overline{\alpha{u}})=\overline{{\alpha}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}u} $$

事实上，令$\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$，我们有

$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^N}\overline{{\alpha}u}\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}&=\int_{\Omega}{\alpha}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=\int_{\Omega}u[\frac{\partial}{{\partial}x_i}({\alpha}{\varphi})-\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}\varphi]\\ &=-\int_{\Omega}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\alpha{\varphi}+u\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}{\varphi})=-\int_{\mathbb{R}^N}(\overline{{\alpha}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}u})\varphi \end{align*} $$

同样的结论是成立的，当我们取$\alpha{\in}C^1(\mathbb{R}^N){\cap}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$其中${\nabla}\alpha{\in}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)^N$且$supp{\;}{\alpha}{\subset}\mathbb{R}^N{\backslash}(\partial{\Omega})$，代替假设$\alpha{\in}C_c^1(\Omega)$。

这是一个对于一般的开集$\Omega$的首个稠密结论；我们随后会建立（推论9.8）一个更为精细的结果，在$\Omega$加上额外的假设。我们需要下面的东西。

定义

令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集。我们说一个在$\mathbb{R}^N$中的开集$\omega$是强包含在$\Omega$且我们记$\omega{\subset}{\subset}\Omega$，指的是：如果$\overline{\omega}{\subset}\Omega$且$\overline{\omega}$是紧的。

强包含的意思是：一个开集包含在其中，且该开集的闭包是紧的且包含在里面。

定理9.2（Friedrichs）

令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，其中$1{\le}p<\infty$。则存在一个从$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$的序列$(u_n)$使得

$$ u_{n|\Omega}{\to}u{\quad}in{\;}L^p(\Omega)\tag{1} $$

且

$$ {\nabla}u_{n|{\omega}}{\to}{\nabla}u_{|\omega}{\quad}in{\;}L^p(\omega)^N对于所有的{\omega}{\subset}{\subset}\Omega \tag{2} $$

在$\Omega=\mathbb{R}^N$的情况下且$u{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，其中$1{\le}p<\infty$，存在一个从$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$的序列$(u_n)$使得

$$ u_{n|\Omega}{\to}u{\quad}in{\;}L^p(\mathbb{R}^N) $$

和

$$ {\nabla}u_n{\to}{\nabla}u{\quad}in{\;}L^p(\mathbb{R}^N)^N $$

为了证明这个，我们需要用到下面的引理

引理9.1

令$p{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$且令$v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则

$$ p*v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)且\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p*v)=p*\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i},{\forall}i=1,2,{\cdots},N $$

引理9.1的证明：参考引理8.4的证明，完全适用。

定理9.2的证明：设

$$ \overline{u}(x)=\begin{cases} u(x){\quad}if{\;}x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}{\Omega} \end{cases} $$

且设$v_n=p_n*\overline{u}$（其中$p_n$是一列磨光算子序列）我们知道（见第4.4节）$v_n{\in}C^{\infty}(\mathbb{R}^N)$且在$L^p(\mathbb{R}^N)$中$v_n{\to}\overline{u}$。我们断言${\nabla}u_{n|\omega}{\to}{\nabla}u_{|\omega}$在$L^p(\omega)^N$对所有$\omega{\subset}{\subset}\Omega$成立。事实上，给定$\omega{\subset}{\subset}\Omega$，固定一个函数${\alpha}{\in}C_c^1(\Omega),0{\le}\alpha{\le}1$，使得在$\omega$的一个邻域上$\alpha=1$。

如果$n$足够大，我们有

$$ p_n*(\overline{{\alpha}u})=p_n*\overline{u}{\quad}on{\;}\omega\tag{3} $$

因为

$$ \begin{align*} supp(p_n*\overline{{\alpha}u}-p_n*\overline{u})&=supp(p_n*(1-\overline{\alpha})\overline{u})\\ &{\subset}\overline{supp{\;}p_n+supp(1-\overline{\alpha})\overline{u}}{\subset}\overline{B(0,\frac{1}{n})+supp(1-\overline{\alpha})}\\ &{\subset}(\omega)^c \end{align*} $$

对于足够大的$n$，由引理9.1和注4（2）我们有

$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p_n*\overline{{\alpha}u})=p_n*(\overline{\alpha\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}u}) $$

于是

$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p_n*\overline{{\alpha}u}){\to}\overline{\alpha\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\alpha}{{\partial}x_i}u}{\quad}in{\;}L^p(\mathbb{R}^N) $$

且特别地

$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p_n*\overline{{\alpha}u}){\to} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\quad}in{\;}L^p(\omega) $$

因为（3）我们有

$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(p_n*\overline{u}){\to}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\quad}in{\;}L^p(\omega) $$

最终，我们用在定理8.7中证明的截断函数序列$(\xi_n)$乘上序列$(v_n)$。容易验证序列$u_n=\xi_nv_n$满足上述条件，也即$u_n{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$，在$L^p(\Omega)$中$u_n{\to}u$且${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$在$(L^p(\omega))^N$中对于任意$\omega{\subset}{\subset}\Omega$成立。

在$\Omega=\mathbb{R}^N$的情况下，序列$u_n=\xi_n(p_n*u)$满足上述条件。

注5：可以说明（Meyers-Serrin's定理）：如果$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$其中$1{\le}p<\infty$，存在从$C^{\infty}(\Omega){\cap}W^{1,p}(\Omega)$的一个序列$(u_n)$使得在$W^{1,p}(\Omega)$中$u_n{\to}u$。这个结果的证明是十分精细复杂的。一般来说，如果$\Omega$是一个任意的开集，且如果$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$则不存在一个在$C_c^1(\mathbb{R}^N)$中的序列，使得在$W^{1,p}(\Omega)$中$u_{n|\Omega}{\to}u$。对比Meyers-Serrin's定理（对任意开集成立）和推论9.8（假设$\Omega$是正规的）

下面是一个关于$W^{1,p}$函数的简单特征：

命题9.3

令$u{\in}L^p(\Omega)$，其中$1<p{\le}\infty$。下面的性质是等价的：

（a）$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$。

（b）存在一个常数$C$使得

$$ |\int_{\Omega}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}|{\le}C\|{\varphi}||_{L^{p'}(\Omega)},{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega),{\forall}i=1,2,{\cdots},N $$

（c）存在一个常数$C$，使得对于所有的$\omega{\subset}{\subset}\Omega$，且所有的$h{\in}\mathbb{R}^N$其中$|h|<dist(\omega,{\partial}\Omega)$我们有

$$ \|{\tau_h}u-u\|_{L^p(\omega)}{\le}C|h| $$

（注意到$\tau_hu(x)=u(x+h)$对于$x{\in}\omega$和$|h|<dist(\omega,{\partial}\Omega)$有意义）

更甚者，我们可以取到$C=\|{\nabla}u\|_{L^p(\Omega)}$在（2）和（3）中。

如果$\Omega=\mathbb{R}^N$，我们有

$$ \|{\tau_h}u-u\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}{\le}|h|\|{\nabla}u\|_{L^p(\mathbb{R}^N)} $$

证明：（a）推出（b）是显然的。

（b）推出（a）：这个步骤和在命题8.3中的证明一样。

（a）推出（c）：首先假设$u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$。令$h{\in}\mathbb{R}^N$且设

$$ v(t)=u(x+th),t{\in}\mathbb{R} $$

则$v'(t)=h{\cdot}{\nabla}u(x+th)$且因此

$$ u(x+h)-u(x)=v(1)-v(0)=\int^1_0v'(t)dt=\int^1_0h{\cdot}{\nabla}u(x+th)dt $$

于是对于$1{\le}p<\infty$则有

$$ |{\tau_h}u(x)-u(x)|^p{\le}|h|^p\int^1_0|{\nabla}u(x+th)|^pdt $$

和

$$ \begin{align*} \int_{\omega}|{\tau_h}u(x)-u(x)|^pdx&{\le}|h|^p\int_{\omega}dx\int^1_0|{\nabla}u(x+th)|^pdt\\ &=|h|^p\int^1_0dt\int_{\omega}|{\nabla}u(x+th)|^pdx\\ &=|h|^p\int^1_0dt\int_{\omega+th}|{\nabla}u(y)|^pdy \end{align*} $$

如果$|h|<dist(\omega,{\partial}\Omega)$，则存在一个开集$\omega'{\subset}{\subset}\Omega$使得$\omega+th{\subset}\omega'$对于所有$t{\in}[0,1]$且因此

$$ \|{\tau_hu-u}\|^p_{L^p(\omega)}{\le}|h|^p\int_{\omega'}|{\nabla}u|^p\tag{4} $$

这个包括了对于$u{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$且$1{\le}p<\infty$关于（b）的证明。现在假设$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，其中$1{\le}p<\infty$。由定理9.2存在一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列使得在$L^p(\Omega)$中$u_n{\to}u$，且在$L^p(\omega)^N,{\forall}\omega{\subset}{\subset}\Omega$上${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$。对于$(u_n)$应用（4）且取到极限，我们可以对于任意$u{\in}W^{1,p}(\Omega),1{\le}p<\infty$获得（c）。当$p=\infty$，用到上述（对于$p<\infty$）且令$p{\to}\infty$即可。

（c）推出（b）：令$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$且考虑一个开集$\omega$使得$supp{\;}\varphi{\subset}\omega{\subset}{\subset}\Omega$，令$h{\in}\mathbb{R}^N$，其中$|h|<dist(\omega,{\partial}\Omega)$。因为（c）我们有：

$$ |\int_{\Omega}(\tau_hu-u)\varphi|{\le}C|h|\|{\varphi}\|_{L^{p'}(\Omega)} $$

另一方面，因为

$$ \int_{\Omega}(u(x+h)-u(x))\varphi(x)dx=\int_{\Omega}u(y)(\varphi(y-h)-\varphi(y))dy $$

于是

$$ \int_{\Omega}u(y)\frac{(\varphi(y-h)-\varphi(y))}{|h|}dy{\le}C\|{\varphi}\|_{L^{p'}(\Omega)} $$

取定$h=te_i,t{\in}\mathbb{R}$，且当$t{\to}0$时取极限，我们就得到（b）。

注6：当$p=1$时，下列的关系仍旧是对的：

（a）$\Rightarrow$（b）$\Rightarrow$（c）。

函数满足(b)（或者(c)）且$p=1$被称为有界变差函数（在分布语言中，一个有界变差函数是一个$L^1$函数使得它的首次微分，在分布意义上，是有界可测的）这个空间在很多应用上扮演着重要的角色。在极小曲面理论中会遇到有界变差函数（或者类似的性质），在弹性和可塑性问题，在一阶拟线性方程，守恒定律有不连续解。

注7：命题9.3（(a)推出(c)）意味着任何函数$u{\in}W^{1,\infty}(\Omega)$有一个在$\Omega$上的连续表示。更精确地说，如果$\Omega$是连通的，则

$$ |u(x)-u(y)|{\le}\|{\nabla}u\|_{L^{\infty}(\Omega)}\underset{\Omega}{dist}(x,y),{\forall}x,y{\in}\Omega\tag{5} $$

（对于这个连续表示$u$），其中$dist_{\Omega}(x,y)$定义了在$\Omega$上从$x$到$y$的测地线距离。如果$\Omega$是凸的则$dist_{\Omega}(x,y)=|x-y|$。从这里我们也能够推导出如果对于某些$1{\le}p{\le}\infty,u{\in}W^{1,p}(\Omega)$（和某些开集$\Omega$），且如果${\nabla}u=0$在$\Omega$上几乎处处成立，则$u$在任何$\Omega$的连通分支都是一个常数。

命题9.4（乘积的导数）

令$u,v{\in}W^{1,p}(\Omega){\cap}L^{\infty}(\Omega)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则$uv{\in}W^{1,p}(\Omega){\cap}L^{\infty}(\Omega)$且

$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(u,v)=\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}v+u\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i},i=1,2,{\cdots},N $$

证明：和推论8.10的证明一样，考虑情况$1{\le}p<\infty$是足够的，由定理9.2存在在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列$(u_n),(v_n)$使得

$$ u_n{\to}u,v_n{\to}v{\quad}in{\;}L^p(\Omega)且a.e.{\;}on{\;}\Omega\\ {\nabla}u_n{\to}{\nabla}u,{\nabla}v_n{\to}{\nabla}v{\quad}in{\;}L^p(\omega)^N对于所有的\omega{\subset}{\subset}\Omega $$

检验定理9.2的证明，我们容易看到我们甚至有

$$ \|u_n\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}\|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}和\|v_n\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^N)}{\le}\|v\|_{L^{\infty}(\Omega)} $$

另一方面

$$ \int_{\Omega}u_nv_n\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}(\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}v_n+u_n\frac{{\partial}v_n}{{\partial}x_i})\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\Omega) $$

取到极限，并且由控制收敛定理，成为

$$ \int_{\Omega}uv\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}v+u\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\Omega) $$

命题9.5（成分的偏导）

令$G{\in}C^1(\mathbb{R})$为使得$G(0)=0$且$|G'(s)|{\le}M,{\forall}s{\in}\mathbb{R}$对于某个常数$M$。令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$其中$1{\le}p{\le}\infty$。则

$$ G{\circ}u{\in}W^{1,p}(\Omega)且\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(G{\circ}u)=(G'{\circ}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i},i=1,2,{\cdots},N $$

证明：我们有$|G(s)|{\le}M|s|,{\forall}s{\in}\mathbb{R}$且因此$|G{\circ}u|{\le}M|u|$。作为结果$G{\circ}u{\in}L^p(\Omega)$且仍旧有$(G'{\circ}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}L^p(\Omega)$。这可以检验

$$ \int_{\Omega}(G{\circ}u)\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}(G'{\circ}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\Omega)\tag{6} $$

当$1{\le}p<\infty$时候，可以取一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列$(u_n)$，使得在$L^p(\Omega)$中$u_n{\to}u$，且在$\Omega$上几乎处处，${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$在$L^p(\omega)^N,{\forall}\omega{\subset}{\subset}\Omega$（定理9.2）。我们有

$$ \int_{\Omega}(G{\circ}u_n)\frac{{\partial}{\varphi}}{{\partial}x_i}=-\int_{\Omega}(G'{\circ}u_n)\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\Omega) $$

但是在$L^p(\Omega)$上$G{\circ}u_n{\to}G{\circ}u$且在$L^p(\omega),{\forall}\omega{\subset}{\subset}\Omega$上，$(G'{\circ}u_n)\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}{\to}(G'{\circ}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$（由控制收敛），于是（6）成立。

当$p=\infty$时，固定一个开集$\Omega'$使得$supp{\;}\varphi{\subset}\Omega'{\subset}{\subset}\Omega$。则$u{\in}W^{1,p}(\Omega'),{\forall}p<\infty$且（6）和上面一样可以导出。

命题9.6（变分公式的改变）

令$\Omega$和$\Omega'$为在$\mathbb{R}^N$上的两个开集，且领$H:\Omega'{\to}\Omega$为一个双射，$x=H(y)$，使得$H{\in}C^1(\Omega),H^{-1}{\in}C^1(\Omega'),Jac{\;}H{\in}L^{\infty}(\Omega'),Jac{\;}H^{-1}{\in}L^{\infty}(\Omega)$。令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$其中$1{\le}p{\le}\infty$。则$u{\circ}H{\in}W^{1,p}(\Omega')$且

$$ \frac{{\partial}}{{\partial}y_i}u(H(y))=\sum_i\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(H(y))\frac{{\partial}H_i}{{\partial}y_i}(y),{\forall}j=1,2,{\cdots},N $$

证明：当$1{\le}p<\infty$时，取定一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列，使得在$L^p(\Omega)$上$u_n{\to}u$且在$L^p(\omega)^N,{\forall}\omega{\subset}{\subset}\Omega$上${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$。因此在$L^p(\Omega')$上$u_n{\circ}H{\to}u{\circ}H$，且

$$ (\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}{\circ}H)\frac{{\partial}H_i}{{\partial}y_i}{\to}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\circ}H)\frac{{\partial}H_i}{{\partial}y_i}{\quad}in{\;}L^p(\omega'),{\forall}\omega'{\subset}{\subset}\Omega' $$

给定$\psi{\in}C_c^1(\Omega')$，我们有

$$ \int_{\Omega'}(u_n{\circ}H)\frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_i}=-\int_{\Omega'}\sum_i(\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}{\circ}H)\frac{{\partial}H_i}{{\partial}y_i}\psi{dy} $$

在极限情况我们获得了所需要的结果。

当$p=\infty$，用和命题9.5的证明结尾以同样的方式证明。

本节主要讲述了多变量情况下，索伯列夫空间的定义与其基本性质，并且引入了强包含。