索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式

空间$W^{m,p}(\Omega)$

令$m{\ge}2$为一个整数且令$p$为一个实数,其中$1{\le}p{\le}\infty$。我们定义

$$ W^{m,p}(\Omega)=\left\{u{\in}W^{m-1,p}(\Omega);\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in} W^{m-1,p}(\Omega),{\forall}i=1,2,{\cdots},N\right\} $$

或者,这个集合可以表示为

$$ W^{m,p}(\Omega)=\left\{u{\in}L^p(\Omega),{\forall}{\alpha},|\alpha|{\le}m,{\exists}g_{\alpha}{\in}L^ps.t. \int_{\Omega}uD^{\alpha}\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}g_{\alpha}\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)\right\} $$

其中我们用标准的多重指标记号$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,{\cdots},\alpha_N)$,其中$\alpha_i{\ge}0$为一个整数,

$$ |\alpha|=\sum^N_{i=1}\alpha_i且D^{\alpha}\varphi=\frac{{\partial}^{|\alpha|}\varphi}{{\partial}x_1^{\alpha_1}{\partial}x_2^{\alpha_2}{\cdots}{\partial}x_N^{\alpha_N}} $$

我们设$D^{\alpha}u=g_{\alpha}$。空间$W^{m,p}(\Omega)$装备范数

$$ \|u\|_{W^{m,p}}=\sum_{0{\le}|\alpha|{\le}m}\|D^{\alpha}u\|_p $$

是一个巴拿赫空间。

空间$H^m(\Omega)=W^{m,2}(\Omega)$装备内积

$$ (u,v)_{H^m}=\sum_{0{\le}|\alpha|{\le}m}(D^{\alpha}u,D^{\alpha}v)_{L^2} $$

是一个希尔伯特空间。

注8:可以说明如果$\Omega$是“足够光滑的”,其中$\Gamma={\partial}\Omega$有界,则在$W^{m,p}(\Omega)$上的范数与下面的范数等价:

$$ \|u\|_p+\sum_{|\alpha|=m}\|D^{\alpha}u\|_p $$

更精细地说,可以证明对于任意多重指标$\alpha$,其中$0<|\alpha|<m$且对于任何$\varepsilon>0$,存在一个常数$C$(依赖于$\Omega,\varepsilon,\alpha$)使得

$$ \|D^{\alpha}u\|_p{\le}\varepsilon{\sum_{|\beta|=m}}\|D^{\beta}u\|_p+C\|u\|_p,{\forall}u{\in}W^{m,p}(\Omega) $$

9.2 延拓算子

由$\Omega=\mathbb{R}^N$开始建立在$W^{1,p}(\Omega)$中函数的性质是便利的。因此需要将一个函数$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$延拓到$\widetilde{u}{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$。这不是总是可以做到的(在一个一般的范围$\Omega$)。然而如果$\Omega$是“光滑的”,使得可以构建这样的一个延拓。我们从精细建立一个光滑开集的记号开始。

记号

给定$x{\in}\mathbb{R}^N$,记

$$ x=(x',x_N)其中x'{\in}\mathbb{R}^{N-1},x'=(x_1,x_2,{\cdots},x_{N-1}) $$

且设

$$ |x'|=(\sum^{N-1}_{i=1}x_i^2)^{1/2} $$

我们定义

$$ \mathbb{R}^N_{+}=\left\{x=(x',x_N);x_N>0\right\}\\ Q=\left\{x=(x',x_N);|x'|<1且|x_N|<1\right\}\\ Q_+=Q{\cap}\mathbb{R}^N_+\\ Q_0=\left\{x=(x',0);|x'|<1\right\} $$

定义

我们说一个开集$\Omega$是$C^1$阶的,指的是如果对于任何$x{\in}{\partial}\Omega={\Gamma}$,则存在一个在$\mathbb{R}^N$中的$x$的邻域$U$和一个双射$H:Q{\to}U$使得

$$ H{\in}C^1(\overline{Q}),H^{-1}{\in}C^1(\overline{U}),H(Q_+)=U{\cap}Q,且H(Q_0)=U{\cap}\Gamma $$

映射$H$被称为区域图。

定理9.7

假设$\Omega$是$C^1$阶的,且$\Gamma$是有界的(或者$\Omega=\mathbb{R}^N_+$),则存在一个线性延拓算子

$$ P:W^{1,p}(\Omega){\to}W^{1,p}(\mathbb{R}^N){\quad}(1{\le}p{\le}\infty) $$

使得对于所有的$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$,

$$ Pu_{|\Omega}=u\tag{i} $$

$$ \|Pu\|_{L^p(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{L^p(\Omega)}\tag{ii} $$

$$ \|Pu\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}\tag{iii} $$

其中$C$仅仅依赖于$\Omega$。

我们将会从证明一个简单但却基础的引理(联系延拓映射)开始。

引理9.2

给定$u{\in}W^{1,p}(Q_+)$,其中$1{\le}p{\le}\infty$,定义在$Q$上的函数$u^*$为映射的延拓,那就是

$$ u^*(x',x_N)=\begin{cases} u(x',x_N){\quad}if{\;}x_N>0\\ u(x',-x_N){\quad}if{\;}x_N<0 \end{cases} $$

则$u^*{\in}W^{1,p}(Q)$且

$$ \|u^*\|_{L^p(Q)}{\le}2\|u\|_{L^p(Q_+)},\|u^*\|_{W^{1,p}(Q)}{\le}2\|u\|_{W^{1,p}(Q_+)} $$

证明:事实上,我们将要证明

$$ \frac{{\partial}u^*}{{\partial}x_i}=(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})^*,对于1{\le}i{\le}N-1\tag{7} $$

$$ \frac{{\partial}u^*}{{\partial}x_N}=(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N})^{\Box}\tag{8} $$

其中$(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})^*$表示了由$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}$的映射的延拓,且我们设,无论$f$是定义在$Q_+$上。

$$ f^{\Box}(x',x_N)=\begin{cases} f(x',x_N){\quad}if{\;}x_N>0\\ -f(x',-x_N){\quad}if{\;}x_N<0 \end{cases} $$

我们将用在$C^{\infty}(\mathbb{R})$的一个函数序列$(\eta_k)$定义为

$$ \eta_k(t)=\eta(kt),t{\in}\mathbb{R},k=1,2,{\cdots} $$

其中$\eta$是任意固定的函数,$\eta{\in}C^{\infty}(\mathbb{R})$,使得

$$ \eta(t)=\begin{cases} 0{\quad}if{\;}t<1/2\\ 1{\quad}if{\;}t>1 \end{cases} $$

(7)的证明:令$\varphi{\in}C_c^1(Q)$。对于$1{\le}i{\le}N-1$,我们有

$$ \int_{Q}u^*\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=\int_{Q_+}u\frac{{\partial}\psi}{{\partial}x_i}\tag{9} $$

其中$\psi(x',x_N)=\varphi(x',x_N)+\varphi(x',-x_N)$。函数$\psi$一般不属于$C^1_c(Q_{+})$。且因此不能用于作为一个试验函数(在$W^{1,p}$定义中)。另一方面,$\eta_k(x_N)\psi(x'x_N){\in}C_c^1(Q_{+})$且因此

$$ \int_{Q_+}u \frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(\eta_k\psi)=-\int_{Q_+} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\eta_k\psi $$

因为$\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}(\eta_k\psi)={\eta_k}\frac{{\partial}\psi}{{\partial}x_i}$,我们有

$$ \int_{Q_+}u{\eta_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}x_i}=-\int_{Q_+} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\eta_k}\psi\tag{10} $$

在(10)中当$k{\to}\infty$取到极限(由控制收敛)我们得到

$$ \int_{Q_+}u \frac{{\partial}\psi}{{\partial}x_i}=-\int_{Q_+} \frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\psi\tag{11} $$

结合(9)和(11),我们得到

$$ \int_{Q}u^*\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}=-\int_{Q_+}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\psi=-\int_{Q}(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i})^*\varphi $$

于是(7)成立。

(8)的证明:对于任意$\varphi{\in}C_c^1(Q)$我们有

$$ \int_Qu^*\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_N}=\int_{Q_+}u\frac{{\partial}\chi}{{\partial}x_N}\tag{12} $$

其中$\chi(x',x_N)=\varphi(x',x_N)-\varphi(x',-x_N)$。注意到$\chi(x',0)=0$且因此存在一个常数$M$使得$|\chi(x',x_N)|{\le}M|x_N|$在$Q$上。因为$\eta_k{\chi}{\in}C_c^1(Q_+)$,我们有

$$ \int_{Q_+}u\frac{{\partial}}{{\partial}x_N}(\eta_k\chi)=-\int_{Q_+}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}\eta_k\chi\tag{13} $$

但是

$$ \frac{{\partial}}{{\partial}x_N}(\eta_k\chi)=\eta_k\frac{{\partial}\chi}{{\partial}x_N}+k\eta'(kx_N)\chi\tag{14} $$

我们断言

$$ \int_{Q_+}uk\eta'(kx_N)\chi{\to}0{\;}as{\;}k{\to}\infty\tag{15} $$

事实上,我们有

$$ \left|\int_{Q_+}uk\eta'(kx_N)\chi\right|{\le}kMC\int_{0<{x_N}<1/k}|u|x_Ndx{\le}MC\int_{0<x_N<1/k}|u|dx $$

其中$C=\sup_{t{\in}[0,1]}|\eta'(t)|$,于是(15)成立。

我们从(13)(14)(15)中推导出

$$ \int_{Q_+}u\frac{{\partial}\chi}{{\partial}x_N}=-\int_{Q_+}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}\chi $$

最终,我们有

$$ \int_{Q_+}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}\chi=\int_{Q}\left(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}\right)^{\Box}\varphi\tag{16} $$

结合(12)和(16),我们得到(8)。而这就完成了引理9.2的证明。

引理9.2的结论依旧有效如果$Q_+$是由$\mathbb{R}^N_+$代替(证明不需要变化)。这个引出了定理9.7对于$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。

注释9:引理9.2给出了一个非常简单的延拓算子对于重要开集$\Omega$非$C^1$阶的构造。考虑下面的例子,区域

$$ \Omega=\left\{x{\in}\mathbb{R}^2;0<x_1<1,0<x_2<1\right\} $$

令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$。由四个连续反射(见图6)我们得到一个延拓$\widetilde{u}{\in}W^{1,p}(\widetilde{\Omega})$关于$u$在

$$ \widetilde{\Omega}=\left\{x{\in}\mathbb{R}^2;-1<x_1<3,-1<x_2<3\right\} $$

然后固定任意函数$\psi{\in}C_c^1(\widetilde{\Omega})$使得$\psi=1$在$\Omega$上。由$Pu$表示函数$\psi\widetilde{u}$延拓到$\mathbb{R}^2$由在$\widetilde{\Omega}$为0,容易说明算子$P:W^{1,p}(\Omega){\to}W^{1,p}(\mathbb{R}^2)$满足(i)(ii)(iii)。

下面的引理非常有用。

引理9.3(单位分解)

令$\Gamma$为一个$\mathbb{R}^N$的紧子集且令$U_1,U_2,{\cdots},U_k$为$\Gamma$的开覆盖,也即$\Gamma{\subset}\bigcup^k_{i=1}U_i$。则存在函数$\theta_0,\theta_1,\theta_2,{\cdots},\theta_k{\in}C^{\infty}(\mathbb{R}^N)$使得

$$ 0{\le}\theta_i{\le}1,{\forall}i=0,1,2,{\cdots},k和\sum^k_{i=0}\theta_i=1{\;}on{\;}\mathbb{R}^N\tag{i} $$

$$ \begin{cases} supp{\;}{\theta_i}是紧的且supp{\;}\theta_i{\subset}U_i,{\forall}i=1,2,{\cdots},\\ supp{\;}\theta_0{\subset}\mathbb{R}^N{\backslash}\Gamma \end{cases}\tag{ii} $$

如果$\Omega$是一个开的有界集且$\Gamma={\partial}\Omega$,则$\theta_{0|\Omega}{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$。

证明:这个引理是经典的。类似的叙述可以在很多书里面找到。

定理9.7的证明:我们“纠正”$\Gamma={\partial}\Omega$由局部图和用单位分解。更精确地,因为$\Gamma$是紧致的且是$C^1$阶的,存在在$\mathbb{R}^N$中的开集$(U_i)_{1{\le}i{\le}k}$使得$\Gamma{\subset}\bigcup^{k}_{i=1}U_i$和双射$H_i=Q{\to}U_i$使得

$$ H_i{\in}C^1(\overline{Q}),H_i^{-1}{\in}C^1(\overline{U}_i),H_i(Q_+)=U_i{\cap}Q,且H_i(Q_0)=U_i{\cap}\Gamma $$

考虑在引理9.3中介绍的函数$\theta_0,\theta_1,\theta_2,{\cdots},\theta_k$,给定$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$,记下

$$ u=\sum^k_{i=0}\theta_iu=\sum^k_{i=0}u_i,u_i=\theta_iu $$

现在我们延拓任何函数$u_i$到$\mathbb{R}^N$。区分$u_0$和$(u_i)_{1{\le}i{\le}k}$。

(a)$u_0$的延拓,我们定义$u_0$到$\mathbb{R}^N$的延拓为由

$$ \overline{u}_0(x)=\begin{cases} u_0(x){\quad}if{\;}x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}\Omega \end{cases} $$

回忆起$\theta_0{\in}C^1(\mathbb{R}^N){\cap}L^{\infty}(\mathbb{R}^N),{\nabla}\theta_0{\in}L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$。因为$\nabla{\theta_0}=-\sum^k_{i=1}{\nabla}\theta_i$有紧支撑,且$supp{\;}\theta_0{\subset}\mathbb{R}^N{\backslash}\Gamma$,于是(由注释4(ii))

$$ \overline{u}_0{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N),\frac{{\partial}}{{\partial}x_i}\overline{u}_0=\theta_0\frac{\overline{\partial}u}{{\partial}x_i}+\frac{{\partial}\theta_0}{{\partial}x_i}\overline{u} $$

因此

$$ \|\overline{u}_0\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)} $$

(b)$u_i,1{\le}i{\le}k$的延拓

考虑$u$的限制到$U_i{\cap}\Omega$且"转变"这个函数到$Q_+$带有$H_i$的帮助。更精确地,令$v_i(y)=u(H_i(y))$对于$y{\in}Q_+$。我们知道(命题9.6)$v_i{\in}W^{1,p}(Q_+)$。则由$v_i$的反射定义在$Q$上的延拓(引理9.2),称它为$v_i^*$。我们知道$v_i^*{\in}W^{1,p}(\Omega)$。用$H_i^{-1}$“重新转换”$v_i^*$到$U_i$且称它$w_i$:

$$ w_i(x)=v_i^*[H_i^{-1}(x)]{\quad}for{\;}x{\in}U_i $$

则$w_i{\in}W^{1,p}(U_i),w_i=u{\;}on{\;}U_i{\cap}\Omega$,且

$$ \|w_i\|_{W^{1,p}(U_i)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(U_i{\cap}\Omega)} $$

最后,设对于$x{\in}\mathbb{R}^N$,

$$ \hat{u}_i(x)=\begin{cases}\theta_i(x)w_i(x){\quad}if{\;}x{\in}U_i\\0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}U_i\end{cases} $$

于是$\hat{u}_i{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$(见注释4(ii)),$\hat{u}_i=u_i{\;}on{\;}\Omega$且

$$ \|\hat{u}_i\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)}{\le}C\|u\|_{W^{1,p}(U_i{\cap}\Omega)} $$

(c)结论,算子$Pu=\overline{u}_0+\sum^N_{i=1}\hat{u}_i$拥有所想要的性质。

推论9.8(稠密性)

假设$\Omega$是$C^1$阶的,且令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$,其中$1{\le}p<\infty$。则存在一个序列$(u_n)$从$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$使得在$W^{1,p}(\Omega)$上$u_{u|\Omega}{\to}u$。用另一种说法就是,对$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$函数限制到$\Omega$形成一个$W^{1,p}(\Omega)$的稠密子空间。

证明:首先假设$\Gamma$是有界的。则存在一个延拓算子$P$(由定理9.7)。在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$上$\xi_n(\rho_n*Pu)$收敛到$Pu$。且因此它回答了问题。

当$\Gamma$是无界的,从考虑序列$\xi_n{u}$开始。给定$\varepsilon>0$,固定$n_0$使得$\|\xi_{n_0}u-u\|_{W^{1,p}}<\varepsilon$。然后可以构造一个$\xi_{n_0}u$的延拓$v{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$(因为这只涉及到$\Gamma$与一个大球的交点)。我们最终可以取到任何$w{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$使得$\|w-v\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)}<\varepsilon$。

Last modification:February 26th, 2020 at 04:53 pm
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