傅立叶展开
本节主要讲述了希尔伯特空间上都有其极大规范正交集，并且因此导出其上的三角级数，并讲述了$L^2(T)$空间上的傅立叶展开。
希尔伯特空间的规范正交集
为了证明每个希尔伯特空间上都有极大规范正交集，对极大的确定，需要引入选择公理和偏序集概念。
偏序集
集合$\mathscr{P}$定义了一种关系“${\le}$”：
- $a{\le}b且b{\le}c$，蕴含着$a{\le}c$（传递性）
- $a{\le}a,\forall{a{\in}\mathscr{P}}$，（自反性）
- $a{\le}b且b{\le}a$，蕴含着$a=b$（同一性）
则称呼${\le}$为偏序，如果对$\forall{a,b}{\in}(\mathscr{P},{\le})$，有$a{\le}b(或b{\le}a)$，则$(\mathscr{P},{\le})$称为全序集。
这个例子就不提了，学过数据结构对这些应该具有很深的了解。
豪斯多夫极大性定理
豪斯多夫极大性定理：每个非空偏序集都含有极大的全序子集。（其证明可以用选择公理或者佐恩引理）
希尔伯特空间
4.22定理：希尔伯特空间$H$的每一个规范正交就集都包含在一个极大的规范正交集内。（实际上就是每个希尔伯特空间都有其规范正交基）
设$H$为非平凡的希尔伯特空间，则$\exists{u}{\in}H,\|u\|=1$，保证了$H$中存在非空的规范正交集。
证明：$H$上按集合的包含关系“${\subset}$”确定了一个偏序，假设$\mathscr{P}$为包含规范正交集$B$的集类，$(\mathscr{P},{\subset})$成为一个偏序集，$B{\in}\mathscr{P},\mathscr{P}{\neq}{\varnothing}$，故此由豪斯多夫极大性定理可以推出：$B{\subset}\Omega$为$\mathscr{P}$的极大全序集类，我们令$S={\cup}_{A{\in}\Omega}A,B{\subset}S$显然，于是有了一个极大的全序集。下面仅需证明$S$为极大规范正交集即可。
1：$S$是规范正交集：如果$u_1,u_2{\in}S$，存在$A_1,A_2{\in}\Omega,u_1{\in}A_1,u_2{\in}A_2$，因为$\Omega$是全序集类，于是有$A_1{\subset}A_2(或A_2{\subset}A_1)$，则$u_1,u_2{\in}A_2$，因为$A_2$为规范正交集，于是有
$$ (u_1,u_2)=\begin{cases} 0,u_1{\neq}u_2\\ 1,u_1=u_2 \end{cases} $$
于是证明了$S$是规范正交集。
2：证明$S$是极大的，反证法：若$S$不是极大的，则$S$是一个规范正交集合$S^*$的真子集，于是$S^*{\notin}\Omega$，这是因为$S={\cup}_{A{\in}\Omega}$，且$S{\subset}S^*$，于是可以把$S^*$加入到$\Omega$中保持全序，于是造出了一个比$\Omega$更大的全序集合类，这个与$\Omega$的极大性质矛盾。
三角级数
三角级数的由来实际上是通过圆周和$2\pi$周期的对应得到的。
定义$T$为复平面上单位圆周：$T=\left\{z{\in}C,|z|=1\right\}$。如果$F$为$T$上的一个函数，$f$为$R^1$上的函数，则显然通过映射$e^{it}$从$(0,2\pi]$到圆周，可以定义一个
$$ f(t)=F(e^{it}) $$
这样$f$实则是一个以$2\pi$为周期的函数，反过来其实也能找到一个映射$arctan(\frac{1+z}{i(1-z)})+\pi$从圆周到$(0,2\pi]$，使得上式成立。
这样的话，我们局限在圆周$T$上可以得到相应的以$2\pi$为周期的函数类。
定义$L^p(T)(1{\le}p<\infty)$为$R^1$上所有的复勒贝格可测，以$2\pi$为周期的函数类。并且定义其范数为
$$ \|f\|_p=(\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|f(t)|^pdt)^{\frac{1}{p}} $$
而实际上也就是在看$L^p(\mu)$中，$\mu$为$[0,2\pi]$上勒贝格测度除以$2\pi$的那些函数类。
接下来定义$L^{\infty}(T)$为所有$L^{\infty}(R^1)$上的以$2\pi$为周期的函数类，范数为本性上确界。
定义$C(T)$为$T$上连续复函数，是$R$上周期为$2\pi$的连续复函数，其范数定义如下
$$ \|f\|_{\infty}=\sup_{t}|f(t)| $$
引入三角多项式
$$ f(t)=a_0+\sum^N_{n=1}(a_ncosnt+b_nsinnt)(t{\in}R^1) $$
的有限和式，这里的$a_i,b_i$均为复数，由欧拉恒等式$e^{it}=cos+isint$，所以上式可以写为
$$ f(t)=\sum^N_{-N}c_ne^{int} $$
其中从$-N$排起是因为$cosnt=\frac{e^{int}+e^{-int}}{2}$，出现了$-n$。
令$u_n(t)=e^{int}(n{\in}Z)$，如果在$L^2(T)$中用如下方式定义内积
$$ (f,g)=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)\overline{g(t)}dt $$
则有如下结果：
$$ \begin{align*} (u_n,u_m)&=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}e^{i(n-m)t}dt\\ &=\begin{cases} 1,n=m,\\ 0,n{\neq}m \end{cases} \end{align*} $$
这样，我们取到了$\left\{u_n|n{\in}Z\right\}$为$L^2(T)$的一个规范正交集，通常称其为三角系。接下来要证明这个三角系是极大的，因此可以在$L^2(T)$上用这些三角系来表示周期为$2\pi$的函数。
三角系的完备性
我们要证明三角系是完备的，通过定理4.18四个等价条件，相当于要证明全体三角多项式在$L^2(T)$中稠密，这部分的证明是用一个$C(T)$来过渡的，根据定理3.14，而且$T$为紧集，于是$C(T)$在$L^2(T)$里面是稠密的。也就是
$$ \forall{f}{\in}L^2(T),\forall{\varepsilon>0},\exists{g}{\in}C(T),\|f-g\|_2<\varepsilon $$
那么接下来我们仅需证明该全体三角多项式在$C(T)$中稠密即可过渡到$L^2(T)$中稠密了。
假设我们已经有全体三角多项式在$C(T)$中稠密，也就是说
$$ \forall{g}{\in}C(T),\forall{\varepsilon>0},\exists{p}{\in}P,\|g-p\|_{\infty}<\varepsilon $$
又因为$\|g-p\|_2{\le}\|g-p\|_{\infty}$，这是因为
$$ \|g-p\|_2=(\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}|g-p|^2dt)^{\frac{1}{2}}{\le}(\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\|g-p\|^2_{\infty}dt)^{\frac{1}{2}}=\|g-p\|_{\infty} $$
于是则有
$$ \|f-p\|_2=\|f-g\|_2+\|g-p\|_2{\le}2{\varepsilon} $$
这样我们就能证明全体三角多项式在$L^2(T)$中稠密，也就是三角系是完备的，可以在$L^2(T)$上用这些三角系来表示周期为$2\pi$的函数。
那么接下来的问题就是证明该全体三角多项式在$C(T)$中稠密了！
这个定理的证明有点复杂，之后再补！
于是有定理4.25：若$f{\in}C(T)$且$\varepsilon>0$，则存在一个三角多项式$P$，使得对每个实数t，有
$$ |f(t)-P(t)|<\varepsilon $$
有一个更为精细的结果是由费耶尔给出的，他证明了：任何$f{\in}C(T)$的傅立叶级数部分和的算术平均值都一致收敛于$f$，定理的证明和上面复杂的定理证明有些类似。
傅立叶级数
接下来我们在$L^2(T)$上给出傅立叶级数，也就是确定之前给出的三角多项式展开的系数表示。
首先对任意的$f{\in}L^1(T)$，我们用公式定义
$$ \hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}\hat{f(t)}e^{-int}dt\quad(n{\in}Z)\tag{1} $$
定义$f$的傅立叶系数，这里$Z$为全体整数的集
这样子对每个$f{\in}L^1(T)$，都对应了$Z$上的一个函数$\hat{f}$。$\hat{f}$的傅立叶级数就是
$$ \sum^{\infty}_{-\infty}\hat{f}(n)e^{int}\tag{2} $$
它的部分和是
$$ s_N(t)=\sum^N_{-N}\hat{f}(n)e^{int}\quad(N=0,1,2,\cdots)\tag{3} $$
又因为$L^2(T){\subset}L^1(T)$的嵌入，这里证明一下
$$ {\forall}f{\in}L^2(T),\int_T1{\cdot}|f|d{\mu}{\le}(\int_T1^2d{\mu})^{\frac{1}{2}}(\int_T|f|^2d{\mu})^{\frac{1}{2}}<{\infty} $$
所以$L^2(T)$中有限必然在$L^1(T)$中有限。因此，（1）可以直接应用到$L^2(T)$空间中。
由于4.17定理（里斯-费耶尔）：$l^2{\to}L^2$可以知道，当$\left\{c_n\right\}$是一个复数序列，使
$$ \sum^{\infty}_{n=-\infty}|c_n|^2<{\infty}\tag{4} $$
时，则存在一个$f{\in}L^2(T)$，从而用（1）则有
$$ c_n=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}{f(t)}e^{-int}dt\quad(n{\in}Z)\tag{5} $$
而由于定理4.18四个等价条件，帕塞瓦尔等式则有：当$f{\in}L^2(T)$和$g{\in}L^2(T)$时
$$ \sum^{\infty}_{-\infty}\hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)}=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(t)\overline{g(t)}dt \tag{6} $$
而左边的级数绝对收敛，并且若$s_N$像（3）中一样，则
$$ \lim_{N{\to}\infty}\|f-s_N\|_2=0 \tag{7} $$
由（6）的一个特殊情形，有
$$ \|f-s_N\|_2^2=\sum_{|n|>N}|\hat{f}(n)|^2 \tag{8} $$
（7）式说明了每个$f{\in}L^2(T)$都是它的傅立叶级数部分和的极限，也就是说$f$的傅立叶级数在$L^2$意义下收敛于$f$。
这里用里斯-费耶尔定理和帕塞瓦尔等式通过指明了$f{\to}\hat{f}$是$L^2(T)$到$l^2(T)$上的希尔伯特空间的同构，所以可以结合起来考虑。因为在其他函数空间中，例如$L^1(T)$中，傅立叶级数的理论比$L^2(T)$的更为困难，所以这里是默认了$L^1(T)$导出的$L^2(T)$。
当然可以考虑做到$L^p(T)$，这个仅需要注意到$L^p(T)$的嵌入即可：$\cdots{\subset}L^3(T){\subset}L^2(T){\subset}L^1(T)$
这个可以用赫尔德不等式做一下：
$$ \int_T1{\cdot}|f|d{\mu}{\le}(\int_T1^pd{\mu})^{\frac{1}{p}}(\int_T|f|^qd{\mu})^{\frac{1}{q}}<{\infty}\\\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $$
只要选取恰当的$p,q$，应该是能够做到这一点的。
