索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式

9.4 空间$W^{1,p}_0(\Omega)$

定义

令$1{\le}p<\infty$；$W^{1,p}_0(\Omega)$表示在$W^{1,p}(\Omega)$中$C_c^1(\Omega)$的闭包。设

$$ H^1_0(\Omega)=W^{1,2}_0(\Omega) $$

空间$W^{1,p}_0$装备上$W^{1,p}$的范数，是一个可分巴拿赫空间。且如果$1<p<\infty$是自反的。$H_0^1$装备上$H^1$内积，是一个希尔伯特空间。

注释17：因为$C_c^1(\mathbb{R}^N)$是在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中稠密的，我们有

$$ W^{1,p}_0(\mathbb{R}^N)=W^{1,p}(\mathbb{R}^N) $$

相比之下，如果$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$且$\Omega{\neq}\mathbb{R}^N$，则一般地，$W^{1,p}_0(\Omega){\neq}W^{1,p}(\Omega)$。然而，如果$\mathbb{R}^N{\backslash}\Omega$是“足够细”且$p<N$，则$W^{1,p}_0(\Omega)=W^{1,p}(\Omega)$。例如，如果$\Omega=\mathbb{R}^N{\backslash}\left\{0\right\}$且$N{\ge}2$可以说明$H^1_0(\Omega)=H^1(\Omega)$。

注释18：容易验证——用一个磨光算子序列——$C_c^{\infty}$是在$W^{1,p}_0(\Omega)$中稠密的。用另一种话讲，$C_c^{\infty}(\Omega)$同样可以用在$W^{1,p}_0(\Omega)$的定义中，用来代替$C_c^1(\Omega)$。

在$W^{1,p}_0(\Omega)$中的函数是粗糙过那些$W^{1,p}(\Omega)$中在$\Gamma={\partial}\Omega$中消逝的。精确地说是很微妙的，因为一个函数$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$仅仅定义a.e.（且$\Gamma$测度是0！）且$u$不需要有一个连续表示。下面的特征说明我们整的有函数是在$\Gamma$为0。我们从一个简单的事实开始：

引理9.5

令$u{\in}W^{1,p}(\Omega)$，其中$1{\le}p<\infty$且假设$supp{\;}u$是一个$\Omega$中的紧子集。则$u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)$。

证明：固定一个开集$w$使得$supp{\;}u{\subset}w{\subset}{\subset}\Omega$且取定$\alpha{\in}C_c^1(w)$，使得在$supp{\;}u$上$\alpha=1$。因此$\alpha{u}=u$。另一方面（定理9.2），存在一个在$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$中的序列$(u_n)$，使得在$L^p(\Omega)$中$u_n{\to}u$且在$L^p(w)^N$中${\nabla}u_n{\to}{\nabla}u$。于是在$W^{1,p}(\Omega)$上$\alpha{u_n}{\to}\alpha{u}$。因此$\alpha{u}$属于$W^{1,p}_0(\Omega)$，且$u$也一样。

定理9.17

假设$\Omega$是$C^1$阶的，令

$$ u{\in}W^{1,p}(\Omega){\cap}C(\overline{\Omega}),1{\le}p<\infty $$

则下面的性质是等价的：

（i）在$\Gamma$上$u=0$。

（ii）$u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)$。

证明：

（i）$\Rightarrow$（ii）首先假设$supp{\;}u$是有界的。

固定一个函数$G{\in}C^1(\mathbb{R})$使得

$$ |G(t)|{\le}|t|,{\forall}t{\in}\mathbb{R}且 G(t)=\begin{cases} 0{\quad}if{\;}|t|{\le}1\\ t{\quad}if{\;}|t|{\ge}2 \end{cases} $$

则$u_n=(1/n)G(nu)$属于$W^{1,p}$（由命题9.5）。容易验证（用控制收敛）在$W^{1,p}$中$u_n{\to}u$。另一方面

$$ supp{\;}u_n{\subset}\left\{x{\in}\Omega;|u(x)|{\ge}1/n\right\} $$

且因此$supp{\;}u_n$是在$\Omega$中的一个紧集。由引理9.5，$u_n{\in}W^{1,p}_0$，且于是$u{\in}W^{1,p}_0$。在一般情况下$supp{\;}u$是无界的。考虑序列$(\xi_nu)$（其中$(\xi_n)$是在定理9.2中证明的截断函数序列）从上面看来，$\xi_nu{\in}W^{1,p}_0$。且因为在$W^{1,p}$中$\xi_nu{\to}u$，我们总结出$u{\in}W^{1,p}_0$。

（ii）${\Rightarrow}$（i）用到局部图可以诱导出下面的问题。令$u{\in}W^{1,p}_0(Q_+){\cap}C(\overline{Q}_+)$；证明在$Q_0$上$u=0$。

令$(u_n)$为在$C_c^1(Q_+)$上的一个序列，使得在$W^{1,p}(Q_+)$上$u_n{\to}u$。我们有，对于$(x',x_N){\in}Q_+$。

$$ |u_n(x',x_N)|{\le}\int^{x_N}_0\left|\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_N}(x',t)\right|dt $$

且因此对$0<\varepsilon<1$。

$$ \frac{1}{\varepsilon}\int_{|x'|<1}\int^{\varepsilon}_0|u_n(x',x_N)|dx'dx_N{\le}\int_{|x'|<1}\int^{\varepsilon}_0\left|\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_N}(x',t)\right|dx'dt $$

在极限情况，当$n{\to}\infty$（$\varepsilon>0$是固定的）我们得到

$$ \frac{1}{\varepsilon}\int_{|x'|<1}\int^{\varepsilon}_0|u_n(x',x_N)|dx'dx_N{\le}\int_{|x'|<1}\int^{\varepsilon}_0\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}(x',t)\right|dx'dt $$

最终，当$\varepsilon{\to}0$，我们导出

$$ \int_{|x'|<1}|u(x',0)|dx'=0 $$

（因为$u{\in}C(\overline{Q}_+)$）且$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_N}{\in}L^1(Q_+)$。因此在$Q_0$上$u=0$。

注释19：在证明（i）$\Rightarrow$（ii）我们不必用到$\Omega$的光滑性，然而，反过来（ii）${\Rightarrow}$（i）则需要在$\Omega$上的光滑性假设（考虑例如$\Omega=\mathbb{R}{\backslash}\left\{0\right\}$其中$N{\ge}2$且$p{\le}N$）。

下面是$W^{1,p}_0$的另外的特征。

命题9.18

假设$\Omega$是$C^1$阶的，且令$u{\in}L^p(\Omega)$，其中$1<p<\infty$。下面的性质是等价的：

（i）$u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)$。

（ii）存在一个常数$C$使得

$$ \left|\int_{\Omega}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}\right|{\le}C\|\varphi\|_{L^{p'}(\Omega)},{\forall}\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N),{\forall}i=1,2,{\cdots},N $$

（iii）函数

$$ \overline{u}(x)=\begin{cases} u(x){\quad}if{\;}x{\in}\Omega\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}\mathbb{R}^N{\backslash}\Omega \end{cases} $$

属于$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$，且在这种情况下$\frac{\partial{\overline{u}}}{\partial{x_i}}=\frac{\overline{\partial{u}}}{\partial{x_i}}$。

证明：

（i）$\Rightarrow$（ii）令$(u_n)$为从$C_c^1(\Omega)$的一个序列，使得在$W^{1,p}$中$u_n{\to}u$。对于$\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$，我们有

$$ \left|\int_{\Omega}u_n\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}\right|=\left|\int_{\Omega}\frac{{\partial}u_n}{{\partial}x_i}\varphi\right|{\le}\left\|\frac{{\partial}u_n}{\partial{x_i}}\right\|_p\|\varphi\|_{p'} $$

取到极限，我们得到（ii）。

（ii）$\Rightarrow$（iii），令$\varphi{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$；我们有

$$ \left|\int_{\mathbb{R}^N}\overline{u}\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}\right|=\left|\int_{\Omega}u\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_i}\right|{\le}C\|\varphi\|_{L^{p'}(\Omega)}{\le}C\|\varphi\|_{L^{p'}(\mathbb{R}^N)} $$

因此$\overline{u}{\in}W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$(由命题9.3)

（iii）$\Rightarrow$（i）我们可以假设$\Omega$是有界的（若不是，考虑序列$(\xi_nu)$）。由局部图和单位分解归纳出下面的问题。

令$u{\in}L^p(Q_+)$为使得函数

$$ \overline{u}(x)=\begin{cases} u(x){\quad}if{\;}x{\in}Q,x_N>0\\ 0{\quad}if{\;}x{\in}Q,x_N<0 \end{cases} $$

属于$W^{1,p}(Q)$；证明

$$ \alpha{u}{\in}W^{1,p}_0(Q_+),{\forall}\alpha{\in}C_c^1(Q) $$

令$(\rho_n)$为一个磨光算子序列使得

$$ supp{\;}\rho_n{\subset}\left\{x{\in}\mathbb{R}^N;\frac{1}{2n}<x_N<\frac{1}{n}\right\} $$

可以取定，例如

$$ \rho_n(x)=n^N\rho(nx)和supp{\;}p{\subset}\left\{x{\in}\mathbb{R}^N;\frac{1}{2}<x_N<1\right\} $$

因此在$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$中$\rho*(\alpha\overline{u}){\to}\alpha\overline{u}$（注意到$\alpha\overline{u}$由在$Q$外为0延拓，属于$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$）另一方面：

$$ supp(\rho_n*\alpha\overline{u}){\subset}supp{\;}\rho_n+supp(\alpha\overline{u}){\subset}Q_+ $$

对于足够大的$n$，于是有

$$ \rho_n*(\alpha\overline{u}){\in}C_c^1(Q_+) $$

且因此$\alpha{u}{\in}W^{1,p}_0(Q_+)$。

注释20：推论9.14的证明用到了延拓算子，且因为这个事实，必须假设$\Omega$是光滑的，如果$W^{1,p}(\Omega)$是用$W^{1,p}_0(\Omega)$替代的，可以用规范延拓由$\Omega$为0，是对任意区间$\Omega$有用的（在命题9.18的证明中，蕴含(i)$\Rightarrow$(iii)没有用到在$\Omega$上的光滑假设）于是，特别地，推论9.14的结论对于$W^{1,p}_0(\Omega)$带一个任意开集$\Omega$是对的。同样的，定理9.16的结论对于$W^{1,p}_0(\Omega)$带有一个任意有界开集$\Omega$是对。可以从定理9.9推断出，如果$\Omega$是任意一个开集且$1{\le}p<N$，则

$$ \|u\|_{L^{p^*}(\Omega)}{\le}C(p,N)\|{\nabla}u\|_{L^p(\Omega)}.{\forall}u{\in}W^{1,p}_0(\Omega)\tag{30} $$

推论9.19（庞加莱不等式）

假设$1{\le}p<\infty$且$\Omega$是一个有界开集。则存在一个常数$C$（依赖于$\Omega$和$p$）使得

$$ \|u\|_{L^p(\Omega)}{\le}C\|{\nabla}u\|_{L^p(\Omega)},{\forall}u{\in}W^{1,p}_0(\Omega) $$

特别地，表达式$\|{\nabla}u\|_{L^p(\Omega)}$是在$W^{1,p}_0(\Omega)$上的一个范数，且等价于范数$\|{u}\|_{W^{1,p}}$。在$H^1_0(\Omega)$上表达式$\sum^N_{i=1}\int_{\Omega}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}v}{{\partial}x_i}$是一个内积诱导出范数$\|{\nabla}u\|_{L^2}$且等于范数$\|u\|_{H^1}$。

注释21：庞加莱不等式依旧是对的，如果$\Omega$有限测度且如果$\Omega$对某个轴上有有界投影。

注释22：对于任意整数$m{\ge}1$和$1{\le}p<\infty$，定义$W^{m,p}_0(\Omega)$为在$W^{m,p}_0(\Omega)$中$C_c^m(\Omega)$的闭包。“粗糙地”，一个函数$u{\in}W^{m,p}_0(\Omega)$如果$u{\in}W^{m,p}(\Omega)$且如果$D^{\alpha}u=0$在$\Gamma$上对于多重指标$\alpha$，使得$|\alpha|{\le}m-1$。注意到对于$m{\ge}2$，$W^{m,p}_0(\Omega)$和$W^{m,p}(\Omega){\cap}W^{1,p}_0(\Omega)$两者的区别是非常重要的。