基础拓扑学2

子空间

子空间拓扑实则是一个诱导拓扑，显然我们拥有一个拓扑$(X,\tau)$，而子空间首先要满足子集的概念，其拓扑建立在集合$A$上，有$A{\subset}X$，而其拓扑是诱导拓扑：$\tau_A:=\left\{U{\cap}A|U{\in}\tau\right\}$。实则就是一个拓扑限制在集合$A$上形成的子拓扑。

连续映射与同胚映射

一点处连续

$X,Y$均为拓扑空间，映射$f:X{\to}Y$，如果对于$Y$中$f(x)$的任一个邻域$V$，$f^{-1}(V)$总是$X$中$x$的一个邻域，则称$f$于$x$处连续。

这里注意，邻域可以不是开集，$U_x{\subset}U$。

连续

若$f$在$X$上的每一点都连续，则称$f$为连续映射。

连续映射性质

若存在$f:X{\to}Y$的一个映射，以下三个条件等价，用于证明。

$f$是连续映射
$Y$中任何一个开集$V$，在$f$下的原像$f^{-1}(V)$为$X$的开集
$Y$中任何一个闭集$F$，在$f$下的原像$f^{-1}(F)$为$X$的闭集

证明：

1证2——我们已经得到一个$V{\subset}Y$为$Y$的开集，要证明$f^{-1}(V){\subset}X$为$X$中的开集。（已经知道$f$是连续映射）

令$U=f^{-1}(V)$，任取$y{\in}U$，则显然由映射定义，知道$f(y){\in}V$，而我们知道$V$为$f(y)$的一个邻域，由于连续映射定义，显然有$f^{-1}(V)=U$为$y$的一个邻域。于是乎，存在$U_y{\subset}U,y{\in}U_y{\subset}X$是一个开集，并且由于$y$的任意性，$U={\cup}_{y{\in}U}U_y$，于是可以知道$U$是开集。

2证3——已经知道$F{\subset}Y$是个闭集，$F^c{\subset}Y$是开集，因此有$f^{-1}(F^c){\subset}X$是开集，于是乎$(f^{-1}(F^c))^c{\subset}X$是闭集，于是推出$f^{-1}(F)$是闭集，从而证毕。

3证1——任意取$x{\in}X$，设$V$是$f(x)$的一个邻域，则显然有$f(x){\in}\mathring{V}$。令$U=f^{-1}(V)$，考虑到$(\mathring{V})^c$闭，于是$(f^{-1}(\mathring{V})^c)$是闭集，于是乎可以推出$(f^{-1}(\mathring{V})^c)^c$是开集，于是$f^{-1}(\mathring{V})$是开集，从而推出$x{\in}f^{-1}(\mathring{V}){\subset}f^{-1}(V)=U$是邻域。