索伯列夫空间与N维椭圆边值问题的变分公式

9.6 弱解的正规性

定义

我们说一个开集$\Omega$是$C^m$阶的，$m{\ge}1$为一个整数，如果对任意$x{\in}\Gamma$，存在一个在$\mathbb{R}^N$中$x$的邻域$U$，和一个双射$H:Q{\to}U$使得

$$ H{\in}C^m(\overline{Q}),H^{-1}{\in}C^m(\overline{U}),H(Q_+)=U{\cap}\Omega,H(Q_0)=U{\cap}\Gamma $$

我们说$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，如果$C^m$阶，对所有的$m$成立。

主要的正规性结果如下：

定理9.25（狄利克雷问题的正规性）

令$\Omega$为$C^2$阶的一个开集，且$\Gamma$为界（或者$\Omega=\mathbb{R}^N_+$）令$f{\in}L^2(\Omega)$且令$u{\in}H^1_0(\Omega)$满足

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega)\tag{48} $$

则$u{\in}H^2(\Omega)$且$\|u\|_{H^2}{\le}C\|f\|_{L^2}$，其中$C$是一个常数仅依赖于$\Omega$。更甚者，如果$\Omega$是$C^{m+2}$阶的且$f{\in}H^{m}(\Omega)$，则

$$ u{\in}H^{m+2}(\Omega)且\|u\|_{H^{m+2}}{\le}C\|f\|_{H^m} $$

特别地，如果$f{\in}H^m(\Omega)$，其中$m>N/2$，则$u{\in}C^2(\overline{\Omega})$。最终，如果$\Omega$是$C^{\infty}$阶的且如果$f{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$，则$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$。

定理9.26（诺伊曼问题的正规性）

和在定理9.25一样的假设，可以得到对于诺伊曼问题解的相同的结论。也即，对于$u{\in}H^1(\Omega)$，使得

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1(\Omega)\tag{49} $$

注释24：可以得到对于狄利克雷（诺伊曼）问题联系一般地二阶椭圆算子的解的相同结论，也即，如果$u{\in}H^1_0(\Omega)$是使得

$$ \int_{\Omega}\sum_{i,j}a_{ij}\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}+\int_{\Omega}\sum_ia_i\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\varphi+\int_{\Omega}a_0u\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega) $$

则

$$ [f{\in}L^2(\Omega),a_{ij}{\in}C^1(\overline{\Omega})且a_i{\in}C(\overline{\Omega})]{\Rightarrow}u{\in}H^2(\Omega) $$

且对于$m{\ge}1$，

$$ [f{\in}H^m(\Omega),a_{ij}{\in}C^{m+1}(\overline{\Omega})且a_i{\in}C^m(\overline{\Omega})]{\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}(\Omega) $$

我们将仅仅证明9.25；定理9.26的证明是完全类似的。证明的主要想法是下面的。我们首先考虑情况$\Omega=\mathbb{R}^N$，然后情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。对于一个一般的区域$\Omega$我们继续两个步骤：

1.内部正则性，也即$u$是正则的对于任意区域$w{\subset}{\subset}\Omega$。这里，证明和当$\Omega=\mathbb{R}^N$的模式一样。

2.边界的正则性，也即，$u$是正则的在某i额边界的邻域上，这里，在局部图中，证明类似于情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。

我们推荐读者在处理一般情况前，研究好情况$\Omega=\mathbb{R}^N$和$\Omega=\mathbb{R}^N_+$，这一节的计划如下：

A。情况$\Omega=\mathbb{R}^N$。

B。情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$。

C。一般情况：

​ C1。内部估计

​ C2。接近边界的估计

证明的基本要素是尼伦伯格的翻译方法。

A 情况$\Omega=\mathbb{R}^N$

记号

给定$h{\in}\mathbb{R}^N,h{\neq}0$，设

$$ D_hu=\frac{1}{|h|}(\tau_hu-u),即,D_hu(x)=\frac{u(x+h)-u(x)}{|h|} $$

在（48）中取$\varphi=D_{-h}(D_hu)$，这是可能的，因为$\varphi{\in}H^1(\mathbb{R}^N)$（因为$u{\in}H^1(\mathbb{R}^N)$）；我们得到

$$ \int|{\nabla}D_hu|^2+\int|D_hu|^2=\int{f}D_{-h}(D_hu) $$

且因此

$$ \|D_hu\|^2_{H^1}{\le}\|f\|_2\|D_{-h}(D_hu)\|_2\tag{50} $$

另一方面，回忆（命题9.3）

$$ \|D_{-h}v\|_2{\le}\|{\nabla}v\|_2,{\forall}v{\in}H^1\tag{51} $$

带着$v=D_hu$用这个，我们得到

$$ \|D_hu\|_{H^1}^2{\le}\|f\|_2\|{\nabla}(D_hu)\|_2 $$

且最终

$$ \|D_hu\|_{H^1}{\le}\|f\|_2 $$

特别地

$$ \left\|D_h\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}\right\|_2{\le}\|f\|_2,{\forall}i=1,2,{\cdots},N\tag{52} $$

再次应用命题9.3，我们可以看到$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i}{\in}H^1$且因此$u{\in}H^2$。

现在我们证明$f{\in}H^1{\Rightarrow}u{\in}H^3$。我们用$Du$来代表任何导数$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_i},1{\le}i{\le}N$。我们现在已经知道$Du{\in}H^1$。我们必须证明$Du{\in}H^2$。为此，只需验证

$$ \int{\nabla}(Du){\cdot}{\nabla}\varphi+\int(Du)\varphi=\int(Df)\varphi,{\forall}\varphi{\in}H^1\tag{53} $$

（且然后我们可以对$Du$用上面的分析，给出$Du{\in}H^2$）

如果$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$，我们可以在（48）中用$D{\varphi}$代替$\varphi$，于是变成

$$ \int{\nabla}u{\cdot}{\nabla}(D\varphi)+\int{u}D{\varphi}=\int{f}D{\varphi} $$

且因此

$$ \int{\nabla}(Du){\cdot}{\nabla}\varphi+\int(Du){\varphi}=\int(Df)\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N) $$

这蕴含了（53），因为$C_c^{\infty}(\mathbb{R}^N)$在$H^1(\mathbb{R}^N)$上稠密（命题9.2）

为了说明$f{\in}H^m{\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}$，在$m$上进行归纳论证和应用（53）就足够了。

B 情况$\Omega=\mathbb{R}^N_+$

我们再次用到变换，但只在相切的方向，也即，在一个方向$h{\in}\mathbb{R}^{N-1}{\times}\left\{0\right\}$：我们说$h$是与边界平行的，且用$h||\Gamma$表示这个。

必须注意到

$$ u{\in}H^1_0(\Omega){\Rightarrow}{\tau_h}u{\in}H^1_0(\Omega){\quad}if{\;}h||\Gamma $$

另一种说法，$H^1_0$在切向平移下是不变的。

我们取定$h||\Gamma$且在（48）中插入$\varphi=D_{-h}(D_h)$；我们得到

$$ \int|{\nabla}(D_hu)|^2+\int|D_hu|^2=\int{f}D_{-h}(D_hu) $$

也即

$$ \|D_hu\|^2_{H^1}{\le}\|f\|_2\|D_{-h}(D_hu)\|_2\tag{54} $$

我们现在用到下面的引理：

引理9.6

我们有

$$ \|D_hv\|_{L^2(\Omega)}{\le}\|{\nabla}v\|_{L^2(\Omega)},{\forall}v{\in}H^1(\Omega),{\forall}h||\Gamma $$

证明：由$v{\in}C_c^1(\mathbb{R}^N)$开始接上命题9.3的证明（注意到对于所有的$t$和$h||\Gamma,\Omega+th=\Omega$）。对于一般$v{\in}H^1(\Omega)$由稠密性论证。

结合（54）和引理9.6，我们得到

$$ \|D_hu\|_{H^1}{\le}\|f\|_2,{\forall}h||\Gamma\tag{55} $$

令$1{\le}j{\le}N,1{\le}k{\le}N-1,h=|h|e_k$，且$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$，我们有

$$ \int{D_h}\left(\frac{{\partial}u}{{\partial}x_j}\right){\varphi}=-\int{u}D_{-h}\left(\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}\right) $$

且归因于（55），

$$ \left|\int{u}D_{-h}\left(\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}\right)\right|{\le}\|f\|_2\|{\varphi}\|_2 $$

当$h{\to}0$取到极限，这个就变成了

$$ \left|\int{u}\frac{{\partial}^2\varphi}{{\partial}x_j{\partial}x_k}\right|{\le}\|f\|_2\|{\varphi}\|_2,{\forall}1{\le}j{\le}N,{\forall}1{\le}k{\le}N-1\tag{56} $$

最终，我们断言

$$ \left|\int{u}\frac{{\partial}^2{\varphi}}{{\partial}x^2_N}\right|{\le}\|f\|_2\|\varphi\|_2,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)\tag{57} $$

为了证明（57）我们转到方程（48）且推断出

$$ \left|\int{u}\frac{{\partial}^2{\varphi}}{{\partial}x^2_N}\right|{\le}\sum^{N-1}_{i=1}\left|\int{u}\frac{{\partial}^2{\varphi}}{{\partial}x^2_i}\right|+\left|\int(f-u)\varphi\right|{\le}C\|f\|_2\|{\varphi}\|_2 $$

从（56）。结合（56）和（57），我们结束由

$$ \left|\int{u}\frac{{\partial}^2\varphi}{{\partial}x_j{\partial}x_k}\right|{\le}C\|f\|_2\|\varphi\|_2,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega),{\forall}1{\le}j,k{\le}N $$

因此，$u{\in}H^2(\Omega)$，因为存在函数$f_{jk}{\in}L^2(\Omega)$使得

$$ \int{u}\frac{{\partial}^2\varphi}{{\partial}x_j{\partial}x_k}=\int{f_{jk}}\varphi,{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$

（和命题8.3的证明一样）

我们最后说明$f{\in}H^m(\Omega){\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}(\Omega)$。$Du$是指任何一个切向导数$Du=\frac{{\partial}u}{{\partial}x_j},1{\le}j{\le}N-1$。我们首先构建下面的结果。

引理9.7

令$u{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$满足（48），则$Du{\in}H^1_0(\Omega)$且，更甚者，

$$ \int{\nabla}(Du){\cdot}{\nabla}\varphi+\int(Du)\varphi=\int(Df){\varphi},{\forall}{\varphi}{\in}H^1_0(\Omega)\tag{58} $$

证明：唯一的微妙之处在于证明$Du{\in}H^1_0(\Omega)$，因为（58）是来自（48）由取定$D{\varphi}$代替$\varphi$（其中$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$）且然后用稠密性论证。令$h=|h|e_j,1{\le}j{\le}N-1$，于是$D_hu{\in}H^1_0$（因为$H^1_0$是在切方向平移不变的）由引理9.6我们有

$$ \|D_hu\|_{H^1}{\le}\|u\|_{H^2} $$

因此存在一个序列$h_n{\to}0$使得$D_{h_n}u$弱收敛到某个$g{\in}H^1_0$（因为$H^1_0$是一个希尔伯特空间）。特别地，在$L^2$里面$D_{h_n}u{\rightharpoonup}g$弱收敛。对于$\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$，我们有

$$ \int(D_hu){\varphi}=\int{u}(D_{-h}\varphi) $$

且在极限情况，当$h_n{\to}0$，我们得到

$$ \int{g\varphi}=-\int{u}\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j},{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$

因此，$\frac{{\partial}u}{{\partial}x_j}=g{\in}H^1_0(\Omega)$。

关于$f{\in}H^m{\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}$的证明。这个是对$m$的归纳。假设断言对于$m$成立，且令$f{\in}H^{m+1}$。我们已经知道$u{\in}H^{m+2}$，$Du$（任意切向导数）依旧属于$H^1_0$且满足（58）。对于$Du$和$Df$应用归纳假设，我们看到$Du{\in}H^{m+2}$。总结一下就足够了，例如，验证$\frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}x^2_N}{\in}H^{m+1}$。为了这个目标我们再次转到方程（48），我们记下

$$ \frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}x^2_N}=-\sum^{N-1}_{i=1}\frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}x^2_i}+u-f{\in}H^{m+1} $$

C 一般情况

我们仅仅证明$f{\in}L^2(\Omega){\Rightarrow}u{\in}H^2(\Omega)$；蕴含着$f{\in}H^m{\Rightarrow}u{\in}H^{m+2}$由在$m$上归纳在情况$A$和$B$。为了简化表达，我们假设$\Omega$是有界的，我们用到一个单位分解且记下$u=\sum^k_{i=0}{\theta_i}u$作为定理9.7的证明。

C1 内部估计

我们断言${\theta_0}u{\in}H^2(\Omega)$，因为$\theta_{0|\Omega}{\in}C_c^{\infty}(\Omega)$，函数${\theta}_0u$在$\Omega$由0延拓属于$H^1(\mathbb{R}^N)$（见注释4(ii)）。容易验证$\theta_0{u}$是在$\mathbb{R}^N$中方程（下面）的一个弱解

$$ -{\Delta}(\theta_0u)+\theta_0{u}={\theta_0}f-2{\nabla}{\theta_0}{\cdot}{\nabla}u-(\Delta{\theta_0}u)\stackrel{def}{\equiv}g $$

其中$g{\in}L^2(\mathbb{R}^N)$，我们由情况$A$推断出$\theta_0{u}{\in}H^2(\mathbb{R}^N)$且

$$ \|{\theta_0}u\|_{H^2}{\le}C(\|f\|_2+\|u\|_{H^1}){\le}C'\|f\|_2 $$

（因为由（48）$\|u\|_{H^1}{\le}\|f\|_2$）

C2 临近边界的估计

我们断言$\theta_iu{\in}H^2(\Omega)$对于$1{\le}i{\le}k$。回忆起我们有一个双射$H:Q{\to}U_i$使得

$$ H{\in}C^2(\overline{Q}),J=H^{-1}{\in}C^2(U_i),H(Q_+)=\Omega{\cap}U_i和H(Q_0)=\Gamma{\cap}U_i $$

我们记下$x=H(y)$和$y=H^{-1}(x)=J(x)$。容易验证$v={\theta_i}u{\in}H^1_0(\Omega{\cap}U_i)$且$v$是一个在$\Omega{\cap}U_i$中的方程（下面）的弱解

$$ -{\Delta}v={\theta_i}f-{\theta_i}u-2{\nabla}{\theta_u}{\nabla}u-(\Delta{\theta_i}u)\stackrel{def}{\equiv}g $$

其中$g{\in}L^2(\Omega{\cap}U_i)$且$\|g\|_2{\le}C\|f\|_2$。更精确的，我们有

$$ \int_{\Omega{\cap}U_i}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi{dx}=\int{\Omega{\cap}U_i}g{\varphi}dx,{\forall}\varphi{\in}H^1_0(\Omega{\cap}U_i)\tag{59} $$

我们现在平移$v_{|\Omega{\cap}U_i}$到$Q_+$。设

$$ w(y)=v(H(y)){\quad}for{\;}y{\in}Q_+ $$

也即

$$ w(Jx)-v(x){\quad}for{\;}x{\in}\Omega{\cap}U_i $$

下面的引理——是基础的——表明方程（59）变为在$Q_+$上的一个二阶椭圆方程。

引理9.8

由上面的记号，$w{\in}H^1_0(Q_+)$且满足

$$ \sum^N_{k,l=1}\int_{Q_+}a_{k,l}\frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}\frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}dy=\int_{Q_+}\widetilde{g}\psi{dy},{\forall}\psi{\in}H^1_0(Q_+) $$

其中$\widetilde{g}=(g{\circ}H)|DetJac{\;}H|{\in}^2(Q_+)$且函数$a_{kl}{\in}C^1(\overline{Q}_+)$满足椭圆条件（36）。

证明：令$\psi{\in}H^1_0(Q_+)$且设$\varphi(x)=\psi(Jx)$对于$x{\in}\Omega{\cap}U_i$。则$\varphi{\in}H^1_0(\Omega{\cap}U_i)$和

$$ \frac{{\partial}v}{{\partial}x_i}=\sum_k\frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}\frac{{\partial}J_k}{{\partial}x_j},\frac{{\partial}\varphi}{{\partial}x_j}=\sum_l\frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}\frac{{\partial}J_l}{{\partial}x_j} $$

因此

$$ \begin{align*} \int_{\Omega{\cap}U_i}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}\varphi{dx}&=\int_{\Omega{\cap}U_i}\sum_{j,k,l}\frac{{\partial}J_k}{{\partial}x_j}\frac{{\partial}J_l}{{\partial}x_j} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}dx\\ &=\int_{Q_+}\sum_{j,k,l}\frac{{\partial}J_x}{{\partial}x_j}\frac{{\partial}J_l}{{\partial}x_j} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}|detJac{\;}H|dy \end{align*} $$

从积分中变量公式的通常变化。因此

$$ \int_{\Omega{\cap}U_i}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}\varphi{dx}=\int_{Q_+}\sum_{k,l}a_{kl} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}dy $$

其中$a_{kl}=\sum_j\frac{{\partial}J_k}{{\partial}x_j}\frac{{\partial}J_l}{{\partial}x_j}|detJac{\;}H|$。

我们记下$a_{kl}{\in}C^1(\overline{Q}_+)$且满足椭圆条件，因为对于所有的$\xi{\in}\mathbb{R}^N$，我们有

$$ \sum_{k,l}a_{kl}\xi_k\xi_l=|detJac{\;}H|\sum_j\left|\sum_k \frac{{\partial}J_k}{{\partial}x_j}\xi_k\right|^2{\ge}\alpha{|\xi|^2} $$

其中$\alpha>0$，因为雅可比矩阵$Jac{\;}H$和$Jac{\;}J$不是奇异的。

另一方面，我们有

$$ \int_{\Omega{\cap}U_i}g{\varphi}dx=\int_{Q_+}(g{\cdot}H)\psi|detJac{\;}H|dy\tag{62} $$

结合（59），（61）和（62）我们得到（60）.这个完成了引理9.8的证明。

我们现在转到边界估计的证明，且说明$w{\in}H^2(Q_+)$，其中$\|w\|_{H^2}{\le}C\|\widetilde{g}\|$。这个意味着，回到$\Omega{\cap}U_i$，有${\theta_i}u$属于$H^2(\Omega{\cap}U_i)$且因此，事实上，属于$H^2(\Omega)$，其中$\|{\theta_i}u\|_{H^2}{\le}C\|f\|_2$。

像在情况$B(\Omega=\mathbb{R}^N_+)$一样，我们用到切方向平移。在（60）中取定$\psi=D_{-h}(D_hw)$其中$h||Q_0$，且$h$足够小使得$\psi{\in}H^1_0(Q_+)$。我们得到

$$ \sum_{k,l}\int_{Q_+}D_h(a_{kl} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}) \frac{{\partial}}{{\partial}y_l}(D_hw)=\int_{Q_+}\widetilde{g}D_{-h}(D_hw)\tag{63} $$

但是

$$ \int_{Q_+}\widetilde{g}D_{-h}(D_hw){\le}\|\widetilde{g}\|_2\|D_{-h}(D_hw)\|_2{\le}\|\widetilde{g}\|_2\|{\nabla}D_hw\|_2\tag{64} $$

（由引理9.6）

另一方面，记

$$ D_h(a_{kl} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k})(y)=a_{kl}(y+h) \frac{{\partial}}{{\partial}y_k}D_hw(y)+(D_ha_{kl}(y)) \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}(y) $$

且因此我们有

$$ \sum_{kl}\int_{Q_+}D_h(a_{kl} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}) \frac{{\partial}}{{\partial}y_l}(D_hw){\ge}\alpha\|{\nabla}(D_hw)\|^2_2-C\|w\|_{H^1}\|{\nabla}D_hw\|_2\tag{65} $$

结合（64）和（65），我们得到

$$ \|{\nabla}D_hw\|_2{\le}C(\|w\|_{H^1}+\|\widetilde{g}\|_2){\le}C\|\widetilde{g}\|_2\tag{66} $$

（注意到因为（60）和庞加莱不等式，$\|w\|_{H^1}{\le}C\|\widetilde{g}\|_2$）我们从（66）推导出，像在情况$B$一样，

$$ \left|\int_{Q_+} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_l}\right|{\le}C\|\widetilde{g}\|_2\|\psi\|_2,{\forall}\psi{\in}C_c^1(Q_+),{\forall}(k,l){\neq}(N,N)\tag{67} $$

得出结论$w{\in}H^2(Q_+)$（且$\|w\|_{H^2}{\le}\|\widetilde{g}\|_2$），还需要证明

$$ \left|\int_{Q_+}\frac{{\partial}w}{{\partial}y_N} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_N}\right|{\le}C\|\widetilde{g}\|_2\|\psi\|_2,{\forall}\psi{\in}C_c^1(Q_+)\tag{68} $$

为了这个目的我们转到方程，其中我们用$(1/a_{NN}\psi)$（$\psi{\in}C_c^1(Q_+)$）代替$\psi$；这是可能的，因为$a_{NN}{\in}C^1(\overline{Q}_+)$且$a_{NN}{\ge}\alpha>0$。则变为

$$ \int{a_{NN}}\frac{{\partial}w}{{\partial}y_N} \frac{{\partial}}{{\partial}y_N}\left(\frac{\psi}{a_{NN}}\right)=\int{\frac{\widetilde{g}}{a_{NN}}}\psi-\sum_{(k,l){\neq}(N,N)}\int{a_{kl}}\frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}}{{\partial}y_l}(\frac{\psi}{a_{NN}}) $$

也就是

$$ \begin{cases} \int\frac{{\partial}w}{{\partial}y_N} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_N}=\int\frac{1}{a_{NN}}(\frac{{\partial}a_{NN}}{{\partial}y_N})\frac{{\partial}w}{{\partial{y_N}}}\varphi+\int\frac{\widetilde{g}}{a_{NN}}\psi\\ +\sum_{(k,l){\neq}(N,N)}\int \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k}\left( \frac{{\partial}a_{kl}}{{\partial}y_l}\right) \frac{{\psi}}{a_{NN}}\\ -\sum_{(k,l){\neq}(N,N)}\int \frac{{\partial}w}{{\partial}y_k} \frac{{\partial}}{{\partial}y_l}\left(\frac{{a_{kl}\psi}}{a_{NN}}\right) \end{cases}\tag{69} $$

结合（67）和（69），我们得到

$$ \left|\int_{Q_+} \frac{{\partial}w}{{\partial}y_N} \frac{{\partial}\psi}{{\partial}y_N}\right|{\le}C(\|w\|_{H^1}+\|\widetilde{g}\|_2)\|\psi\|_2,{\forall}\psi{\in}C_c^1(Q_+) $$

这个构建了（68）且完成了邻近边界的估计。

注释25：令$\Omega$为任意一个开集且令$u{\in}H^1(\Omega)$为使得

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$

我们假设$f{\in}H^m(\Omega)$，则${\theta}u{\in}H^{m+2}(\Omega)$对于任意${\theta{\in}C_c^{\infty}(\Omega)}$。我们称$u{\in}H^{m+2}_{loc}(\Omega)$。为了证明这一点，我们可以像在情况$C1$中那样进行，并通过对$m$的归纳来论证。特别地，如果$f{\in}C^{\infty}(\Omega){\Rightarrow}u{\in}C^{\infty}(\Omega)$。

$$ -\int_{\Omega}u{\Delta}\varphi=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}\varphi{\in}C_c^{\infty}(\Omega) $$

（这个证明有一点精细）我们强调了椭圆问题正则性结果的局部性质。更准确地说，令$f{\in}L^2(\Omega)$且令$u{\in}H^1_0(\Omega)$为下面的唯一的弱解

$$ \int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}\varphi+\int_{\Omega}u{\varphi}=\int_{\Omega}f{\varphi},{\forall}{\varphi}{\in}H^1_0(\Omega) $$

固定$w{\subset}{\subset}\Omega$，则$u_{|w}$不仅仅依赖于在$w$上的$f$的值，且依赖于在所有$\Omega$上的$f$的值。反之，$u_{|w}$的正规性仅仅依赖于$f_{|w}$上的正规性。例如，$f{\in}C^{\infty}(w){\Rightarrow}u{\in}C^{\infty}(w)$即便$f$是在$w$外非正规的。这个性质称为亚椭圆性。

注释26：从某种意义上说，这种正规性的结果有点令人惊讶。事实上，在${\Delta}u$上做一个假设，也即，在导数和$\sum_k\frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}x^2_k}$上，强制所有的导数$\frac{{\partial}^2u}{{\partial}x_i{\partial}x_j}$有相同的性质。