变分学1
本节仅仅讲述变分学的来源和对于泛函极值求解的$E-L$方程和$L-H$条件，并且针对泛函极值的必要性和充分性做出探讨。
变分学引论
变分学是研究泛函极值（更一般地是临界值）的一个数学分支。
目前我们关注的变分学是从一个函数集合到一个实数域$\mathbb{R}$上的映射。定义域$M$为一个函数集合，也就是$I:M{\to}\mathbb{R}$
一般形式：
给定一个函数$L{\in}C^1(\overline{\Omega}{\times}R^{N}{\times}R^{nN})$，变分学主要研究如下形式的泛函：
$$ I(u)=\int_{\Omega}L(x,u(x),\nabla{u(x)})dx $$
其中$M$是连续可微函数类$C^1(\overline{\Omega})$的子集合，或者是某种广义可微函数类的子集合，它由一些限制条件如（积分形式的、逐点的、带微分的、不带微分的）边值条件和约束条件等所规定。
典型例子
最速下降线
在垂直平面上给定两点$A=(x_1,y_1)$和$B=(x_2,y_2)$，其中$x_1<x_2,y_1>y_2$。一个质点沿着一条连接这两点的光滑曲线仅借重力下滑，设初速度为零，问沿怎样的一条曲线滑行时间最短？
解：设$u{\in}C^1[x_1,x_2],\left\{(x,u(x))|x{\in}[x_1,x_2],u(x_i)=y_i,i=1,2\right\}$是连接$A,B$的一条曲线，因为有
$$ \begin{cases} \frac{1}{2}mv^2=mgh,\\ v=\frac{ds}{dt} \end{cases} $$
所以有
$$ v=\sqrt{2g(y_1-u(x))} $$
以及
$$ dt=\frac{ds}{v}=\sqrt{\frac{1+|u'(x)|^2}{2g(y_1-u(x))}}dx $$
总时间
$$ T=\int^{x_1}_{x_0}dt=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int^{x_1}_{x_0}\sqrt{\frac{1+|u'(x)|^2}{(y_1-u(x))}}dx $$
令
$$ M=\left\{u{\in}C^1([x_1,x_2])|u(x_i)=y_i,i=1,2\right\} $$
则映射
$$ M{\to}\mathbb{R},u{\mapsto}T $$
是一个泛函，这里的$u$是自变量，$T=T(u)$是因变量，我们要在$M$中求$u$以使得$T$达到最小。
测地线
在单位球面$S^2=\left\{(x_1,x_2,x_3){\in}R^3|\sum^3_{i=1}x^2_{i}=1\right\}$上给定两点$P_0=(x_1^0,x_2^0,x_3^0),P_1=(x_1^1,x^1_2,x_3^1)$，求连接这两点的弧长最短的曲线。
解：我们采用球面坐标$v=(\theta,\varphi){\in}[-\frac{1}{2}\pi,\frac{1}{2}\pi]{\times}[0,2\pi)$，则
$$ \begin{cases} x_1=x_1(v)=cos{\theta}cos{\varphi}\\ x_2=x_2(v)=cos{\theta}sin{\varphi}\\ x_3=x_3(v)=sin{\theta}\\ \end{cases} $$
确定出$v^i=(\theta^i,\varphi^i)$，满足$P_i=(x_1(v^i),x_2(v^i),x_3(v^i)),i=0,1$
设
$$ M=\left\{v{\in}C^1([0,1],[-\frac{1}{2}\pi,\frac{1}{2}\pi]{\times}[0,2\pi))|v(i)=v^i,i=0,1\right\} $$
则$\forall v{\in}M,u(t)=(x_1(v(t)),x_2(v(t)),x_3(v(t)))(t{\in}[0,1])$是连接$P_0,P_1$两点的连线。
这曲线弧元的平方是
$$ ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2=d{\theta}^2+cos^2{\theta}d{\varphi^2}=({\theta'}(t)^2+cos^2{\theta(t)}{\varphi'(t)}^2)dt^2 $$
故弧长$L:M{\to}\mathbb{R}$为
$$ L(v)=\int^1_0|ds|=\int^1_0{\sqrt{({\theta'}(t)^2+cos^2{\theta(t)}{\varphi'(t)}^2)}}dt $$
极小曲面
在空间$\mathbb{R}^3$中给定一条Jordan曲线$\Gamma$，能否找到一个盘状的曲面$S$张在$\Gamma$上使其面积达到极小值？用参数方程描写$S:(u,v){\mapsto}Z=(x,y,z):\overline{D}{\to}\mathbb{R}^3$，其中$D{\subset}\mathbb{R}^2$是单位圆，$u^2+v^2{\le}1$，
$$ \begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases} $$
这曲面的面积是
$$ \begin{align*} A(Z)&=\int_D|Z_u{\times}Z_v|dudv\\ &=\int_D\sqrt{(x_uy_v-y_ux_v)^2+(y_uz_v-z_uy_v)^2+(z_ux_v-x_uz_v)^2}dudv \end{align*} $$
面积$A$是曲面函数$Z$的泛函。我们要在$Z|_{\partial{D}}$与$\Gamma$同胚的条件下求$A$的极小值，即取
$$ M=\left\{Z{\in}C^1(\overline{D},\mathbb{R}^3)|Z|_{\partial{D}}{\simeq}{\Gamma}\right\} $$
求向量函数$Z(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)){\in}M$，使得$A(Z)$达到极小值。
这里提及一下变分原理：物理上的问题基本遵循变分原理：从经典力学到规范场论，物质运动的规律遵循变分原理。
狭隘一点的可以看到数学物理方程组变分原理：讲述了变分问题的解就是泊松方程边值问题的解。变分原理提供了亚久偏微分方程边值问题的一个新观点和途径，研究积分在哪种函数类中确实存在极小值等问题，可以提供求偏微分方程边值问题的解（包括近似解）的方法。例如：黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。
E-L方程
欧拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrange方程)给出了求泛函极值的方法，满足E-L方程的解可以是极值，或者是某种意义上的临界值，但是未必是极小值，需要满足一定条件，才能确定该解是否是极小值。但是无论如何，它给与了我们求取极小值的一个方法。
本节中只考虑泛函依赖于单变量（可以是向量值）函数的情形。和在数学分析中确定极值条件一样，我们在一个邻域内考虑这个问题，如果在某个点取到极小值，则在该点的邻域，必有不等式
$$ I(u^*+\varepsilon{\varphi})-I(u^*){\ge}0 $$
其中$u^*$为取到极小值的点（或者说函数），而$\varphi$为满足边值条件的任意函数（也称试探函数），即$\forall \varphi{\in}C^1_0(J,R^N)$。
考虑$\varepsilon{\to}0$，可以定义泛函$I$对$\varphi$的一阶变分。对了，这里都取的连续函数，积分与级数可以交换
$$ \begin{align*} {\delta}I(u^*,\varphi)&=\lim_{\varepsilon{\to}0}\frac{1}{\varepsilon}(I(u^*+\varepsilon{\varphi})-I(u^*))\\ &=\int_J(\sum^N_{i=1}\int^{t}_{t_0}L_{u^i}(s,u^*(s),\dot{u}^*(s))ds-L_{p^i}(t,u^*(t),\dot{u^*}(t)))\dot{\varphi^i}(t)dt\\ &{\ge}0 \end{align*} $$
当然，我们如果把$\varepsilon>0$换成$\varepsilon<0$；其实相当于把$\varphi$换为$-\varphi$，从而得到等式
$$ \int_J(\sum^N_{i=1}\int^{t}_{t_0}L_{u^i}(s,u^*(s),\dot{u}^*(s))ds-L_{p^i}(t,u^*(t),\dot{u^*}(t)))\dot{\varphi^i}(t)dt=0 $$
接下来我们需要将这个积分等式中的任意函数$\varphi$去掉，从而得到积分形式的E-L方程。
du Bois-Reymond引理
若$\psi{\in}C[t_0,t_1]$，且
$$ \int_J{\psi(t){\cdot}\dot{\lambda(t)}dt}=0,\forall {\lambda}{\in}C^1_0(J) $$
其中$C^1_0(J)=C^1_0(J,R^1)=\left\{u{\in}C^1(J)|u(t_0)=u(t_1)=0\right\}$，则$\psi=const$。
显然如果有了该引理，那么我们把等式的$\dot{\varphi^i}(t)$当作$\dot{\lambda(t)}$，就可以直接写出E-L方程的积分形式。
证明该引理：该引理证明不困难，其实就是凑了一个常数而已。
令$c=\frac{1}{|J|}\int_J{\psi(t)}dt$且$\lambda(t)=\int_{t_0}^t(\psi(s)-c)ds$，则$\lambda{\in}C^1_0(J)$。因此，
$$ \int_J(\phi(t)-c)^2dt=\int_J\psi(t)(\psi(t)-c)dt=\int_J\psi(t){\cdot}\dot{\lambda(t)}dt=0 $$
又因为$\psi$是连续的，因此就有$\psi=const$。
E-L方程的两个形式
给出定理：设$u^*{\in}M$是泛函$I$在$M$上的一个极小点，则它满足下列积分形式的Euler-Lagrange方程（简称E-L方程）：
$$ \int^{t}_{t_0}L_{u^i}(s,u(s),\dot{u}(s))ds-L_{p^i}(t,u(t),\dot{u}(t))=const,1{\le}i{\le}N,\forall t $$
E-L方程是泛函极小值的必要条件，显然它不是充分的。
E-L方程的解是相应泛函$I$的临界点，它可以是极大值或极小值，也可以是其他形式的临界点。
当$L{\in}C^1,u{\in}C^1$时，在广义函数的意义下（保证其微分存在），积分形式的E-L方程又可以改写成微分形式的E-L方程：
$$ -DL_P(t,u(t),\dot{u}(t))+L_u(t,u(t),\dot{u}(t))=0 $$
其中$D$是广义导数。
可以给出关于单变量函数的形式
$$ -\frac{d}{dx}F_{y'}+F_y=0 $$
定义Euler-Lagrange算子$E_L$如下：
$$ (E_Lu)(t)=DL_P(t,u(t),\dot{u}(t))-L_u(t,u(t),\dot{u}(t)) $$
特别地，如果$L{\in}C^2$以及$u{\in}C^2$，那么上式在逐点意义下成立，也就是说可以把$D$换成普通导数$\frac{d}{dt}$
由此，可以把变分问题转化为微分方程求解。
扩大函数类范围
可以将定理中的函数类$C^1(J)$放大一些。例如，考虑利普希茨函数类$Lip(J)$。因为利普希茨函数是绝对连续的，所以几乎处处存在导数$\dot{u}(t)$，而且泛函$I$中的积分可以按照勒贝格积分意义去理解。取
$$ M=\left\{u{\in}Lip(J,\Omega)|u_i(t_i)=P_i,i=0,1\right\} $$
注意：在$M$中，$\forall \delta>0,U=\left\{v{\in}Lip(J)||v(t)-u^*(t)|+|\dot{v}(t)-\dot{u^*}(t)|<\delta,a.e.t{\in}J\right\}$是$u^*$的一个邻域。
而这个时候E-L方程仍然在勒贝格意义下对几乎所有的$t{\in}J$成立
$$ \int^{t}_{t_0}L_{u^i}(s,u(s),\dot{u}(s))ds-L_{p^i}(t,u(t),\dot{u}(t))=const,1{\le}i{\le}N $$
事实上上式的成立，我们需要一个积分与极限交换的操作，这里用到勒贝格控制收敛定理。因为这时$\dot{u}$几乎处处存在且有界，从而存在$(u(t),\dot{u}(t))$的一个紧邻域$W{\subset}\Omega{\times}R^N$,使得$L$的导数在$J{\times}W$上有界，我们可以得到
$$ \begin{align*} {\delta}I(u^*,\varphi)&=\lim_{s{\to}}\frac{1}{s}(I(u^*+s\varphi)-I(u^*))\\ &=\lim_{s{\to}}\frac{1}{s}\int_J[(L(t,u^*(t)+s\varphi(t),\dot{u^*}(x)+s\dot{\varphi}(x))-L(t,u^*(t),\dot{u^*}(t))]dt\\ &=\int_J\sum^n_{i=1}[L_{u^i}(t,u^*(t),\dot{u^*}(t))\varphi^i(t)+L_{p^i}(t,u^*(t),\dot{u^*}(t))\dot{\varphi^i}(t)]dt \end{align*} $$
这是因为积分号内的差有一致的控制，求导过程可以用勒贝格控制定理来保证积分号下取极限。
同时在du Bois-Reymond引理中我们可以把$\varphi{\in}C^1(J)$换成$\varphi{\in}L^{\infty}(J)$，把$\lambda{\in}C^1_0(J)$换成$\lambda{\in}AC_0(J)$，即边值为0的$J$上的绝对连续函数空间。
对于利普希茨函数类可以成立，其实我们可以再放大到逐段$C^1$的连续函数（$PWC^1(J,R^N)$）（也就是存在有限点集$D=\left\{a_1,\cdots,a_k\right\}$使得$u{\in}C^1(J{\backslash}D)$，而且$\dot{u}(a_i{\pm}0)$都存在，$i=1,\cdots,k$）是利普希茨函数。因此积分形式的E-L方程对于逐段$C^1$的连续函数类成立。
局部性（变分导数）
上述的E-L方程的推导过程虽然是在整个区间$J$上进行的，但对$\forall c{\in}int(J)$，在这点的E-L方程实际上只依赖于这点邻近$L$的行为，也就是只依赖于包含$c$的任意邻域$(c-h,c+h){\subset}int(J)$。因为支集在$(c-h,c+h)$内的试探函数$\varphi$显然在$C^0_1(J,\mathbb{R}^N)$内，由这些函数的任意性就导出了在$(c-h,c+h)$上的E-L方程。
实际上我们可以通过极限过程来看这种局限性。以$N=1$为例，并假设$L{\in}C^2,u{\in}C^2$。
$$ \begin{align*} \lim\frac{I(u+\varphi)-I(u)}{\Delta {\sigma}}&=-\lim\frac{\int^{c+h}_{c-h}\int^t_{t_0}E_L(u+{\theta}\varphi)(s)\dot{\varphi}(t)dt}{\Delta {\sigma}}\\ &=\lim\frac{\int^{c+h}_{c-h}E_L(u+{\theta}\varphi)(t){\varphi}(t)dt}{\Delta {\sigma}}\\ &=E_L(u)(c) \end{align*} $$
其中$\theta=\theta(t){\in}(0,1)$，$\varphi$的支集在$(c-h,c+h)$内，${\Delta}\sigma=\int^{c+h}_{c-h}\varphi(t)dt$是曲线$u(t)+\varphi(t)$与曲线$u(t)$在$t{\in}(c-h,c+h)$之间所夹的面积，而极限过程是
$$ h{\to}0,\sup_{t{\in}[c-h,c+h]}|\dot{\varphi}(t)|{\to}0 $$
在这个意义上，我们称E-L算子对函数$u$作用后在$t$点的值
$$ (E_Lu)(t)=DL_P(t,u(t),\dot{u}(t))-L_u(t,u(t),\dot{u}(t)) $$
为$I$在$t$的变分导数。
边值条件
上面求解过程都要求了定义域两端是固定的，也就是在区间$J$的两个端点加以限制，那么自然我们会考虑如果不加以限制，那么泛函$I$的极值函数$u^*$应该满足怎么样的方程和边值条件？
我们之前选取试探函数$\varphi$的时候，保证了该试探函数在端点处为0，因此$u=u^*+\varepsilon{\varphi}$与$u^*$是具有同样的端点值的。而对于现在这种情况，我们没有必要再对$\varphi$的端点值做出任何限制，也就是说$C^1(J,\mathbb{R}^N)$中的函数$\varphi$都可以用来构造$u$。
下面分析一下这种情况：假设$u^*{\in}C^2(J,\mathbb{R}^N)$，那么由分部积分公式
$$ \begin{align*} \delta{I(u^*,\varphi)}&=\int_J(\sum^N_{i=1}\int^{t}_{t_0}L_{u^i}(s,u^*(s),\dot{u}^*(s))ds-L_{p^i}(t,u^*(t),\dot{u^*}(t)))\dot{\varphi^i}(t)dt\\ &=-\int_J(\sum^N_{i=1}[L_{u^i}(t,u^*(t),\dot{u^*}(t))-\frac{d}{dt}L_{p^i}(t,u^*(t),\dot{u^*}(t))]){\varphi^i}(t)dt\\ &-\sum^N_{i=1}[L_{p^i}((t,u^*(t),\dot{u^*}(t))\varphi^i(t)|^{t_1}_{t_0}] \end{align*} $$
注意到$C^1_0(J,\mathbb{R}^N){\subset}C^1(J,\mathbb{R}^N)$，所以在上式中先取任意的$\varphi{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N)$，可以得到同样的E-L方程，然后再任取$\varphi{\in}C^1(J,\mathbb{R}^N)$（实际上只是任意取$\varphi$在端点的值），因为这个时候右端的第一项已经消失（E-L方程与$C^1_0(J,\mathbb{R}^N)$），而第二项中$\varphi^i(t_j)(j=0,1,i=1,\cdots,N)$是任意的，因此满足方程
$$ L_{p^i}((t_j,u^*(t_j),\dot{u^*}(t_j))=0,i=1,\cdots,N,j=0,1. $$
当然定义域$M$还可以有很多其他的取法，例如一个端点的函数值固定，另一个不固定；还可以对向量值函数的不同分量采用不同的端点条件。还可以考虑一些其他类型的边值条件：周期条件、自由边值等。
注意：在上面边值条件的讨论中，我们始终假设定义域$M$中的函数是连续可微的。如果把连续可微函数类换成逐段连续$C^1$的函数类，虽然E-L方程不变(局部性)，但是在导数的跳跃点上需要添加角点条件。
第一Erdmann角点条件：$\dot{u}_0(t^*-0){\neq}\dot{u}_0(t^*+0)$，则
$$ L_{p^i}(t^*,u_0(t^*),\dot{u^*}(t-0))=L_{p^i}(t^*,u_0(t^*),\dot{u^*}(t+0)),i=1,\cdots,N $$
第二Erdmann角点条件：
$$ L(t^*,u_0(t^*),\dot{u^*}(t-0))-\sum^N_{i=1}L_{p^i}(t^*,u_0(t^*),\dot{u^*}(t-0))\\ =L(t^*,u_0(t^*),\dot{u^*}(t+0))-\sum^N_{i=1}L_{p^i}(t^*,u_0(t^*),\dot{u^*}(t+0)),i=1,\cdots,N $$
这是在逐段连续$C^1$函数类上满足角点条件才能有解。
求解E-L方程的例子
泛函变分问题的一般求解步骤：
- 从物理上建立泛函及其条件
- 通过泛函变分，利用变分原理将泛函极值转为求其欧拉-拉格朗日方程
- 在边界条件下求解该方程，即微分方程求解
这里我们考虑$N=1$的几种特殊情形下E-L方程的简化过程。
情形1：$L$不含$u,L=L(t,p)$。
这个时候有
$$ \frac{d}{dt}L_p(t,\dot{u}(t))=0 $$
这个$L_p(t,\dot{u}(t))=c$是一个不含$u$的一阶方程，如果能够解出$\dot{u}$（例如满足必要条件$L_{pp}(t,p){\neq}0$）则可以得到
$$ \dot{u}(t)=g(t,c) $$
那么也就可以通过积分得出$u(t)$。
例子：设$M=\left\{u{\in}C^1([1,2])|u(1)=0,u(2)=1\right\}$
$$ I(u)=\int^2_1\sqrt{1+\dot{u}^2}\frac{dt}{t} $$
求使得泛函$I$达到极小的函数$u$。
解：因为$L=t^{-1}\sqrt{1+p^2}$，所以由E-L方程得
$$ L_p=\frac{p}{t\sqrt{1+p^2}}=C $$
也就是得到
$$ \dot{u}^2(1-C^2t^2)=C^2t^2\quad 或\quad \dot{u}=\frac{Ct}{{\pm}\sqrt{1-C^2t^2}} $$
这样我们把符号直接吸收到常数$C$里面去，再进行积分
$$ u=\frac{1}{C}\sqrt{1-C^2t^2}+C_1 $$
最后代入边值条件，得到$C=\frac{1}{\sqrt{5}},C_1=2$，于是得到解
$$ (u-2)^2+t^2=5 $$
情形2：$L$不含$p,L=L(t,u)$
这个时候E-L方程成为一个函数方程
$$ L_u(t,u)=0 $$
其解是一条或者几条曲线
例子：$I(u)=\int^b_a(t-u)^2dt$，其E-L方程是
$$ 2(u-t)=0 $$
也就是直线$u=t$。
情形3：自守系统。$L$与$t$无关，$L=L(u,p)$。
这个时候我们需要学一招：引入哈密顿（Hamilton）量！
$$ H(u,p)=pL_p(u,p)-L(u,p) $$
并且有一个关于该量的定理：设$L{\in}C^2$，且与$t$无关，又这$u{\in}C^2(J,\mathbb{R}^1)$是E-L方程得解，我们有
$$ H(u(t),u'(t))=const,\forall t $$
证明：直接计算可得
$$ \frac{d}{dt}H(u(t),u'(t))=u'(t){\cdot}E_L(u)(t)=0 $$
因为$E_L(u)(t)=0$，这是因为$u$是E-L方程的解。
例子：最速下降线，这个时候有
$$ L(u,p)=\frac{1}{\sqrt{2g}}\frac{\sqrt{1+p^2}}{\sqrt{y_1-u}} $$
利用哈密顿量的定理，则有
$$ pL_p-L|_{(u,u')}=const $$
也就是有常数$c$使得
$$ -\frac{\sqrt{1+u'^2}}{\sqrt{y_1-u}}+\frac{u'^2}{\sqrt{(1+u'^2)(y_1-u)}}=c $$
因此推出
$$ c^2(1+u'^2)(y_1-u)=1 $$
我们令$k$为一个待定正常数，作变量替换，引入参变量$\theta$
$$ \begin{cases} x=x({\theta})\\ y=y({\theta}) \end{cases} $$
并且令
$$ u(\theta)=y_1-k(1-cos{\theta}) $$
则
$$ c^2(1+k^2\frac{sin^2{\theta}}{\dot{x}(\theta)^2})k(1-cos\theta)=1 $$
取$c=\sqrt{\frac{1}{2k}}$，则有
$$ \dot{x}(\theta)=k(1-cos{\theta}) $$
就得到我们所要的参数曲线
$$ \begin{cases} x(\theta)=x_1+k(1-cos{\theta})\\ u(\theta)=y_1-k(1-cos{\theta})\\ \theta{\in}[0,\Theta] \end{cases} $$
再通过边值条件
$$ \begin{cases} x({\Theta})=x_2\\ y(\Theta)=y_2 \end{cases} $$
确定$k$和$\Theta$。
关于两个物理量
一个是拉格朗日作用量$L$
$$ L=T-V $$
其中$T$为动能，$V$为位能。拉格朗日作用量在作为泛函进行求极小轨道的时候，可以导出牛顿第二定律$F=ma$。是描述整个物理系统的动力状态的函数，一般用于计算此系统的运动方程。
另一个是哈密顿作用量$H$
$$ H(u,p)=pL_p(u,p)-L(u,p) $$
是之前引入的，在质点组中的$H$代表的是机械能，$H$恒定则代表该运动过程中，质点组的机械能守恒。
泛函极值的必要及充分条件
这里我们回顾一下数学分析中对于函数取极值的相关问题：设$f{\in}C^2(\Omega,\mathbb{R}^1),{\Omega}{\in}\mathbb{R}^n$是一个开集，$x_0{\in}{\Omega},\nabla{f(x_0)}=0$。问题是$x_0$成为$f$的极小点的必要条件是？充分条件是？
根据简单的试探函数求取，我们得到必要条件是
$$ d^2f(x_0)=\frac{\partial^2}{\partial{x_i}\partial{x_j}}f(x_0) $$
是非负定的。
而充分条件则是，上述矩阵$d^2f(x_0)$是正定的。
二阶变分
这启示我们对泛函的极小值问题也用这种方法进行，我们知道满足E-L方程是一阶变分的条件，而这个只是极小的一个必要条件，并不充分。从泛函分析和微分拓扑的角度看，满足E-L方程的解$u_0$只是泛函的临界点，需要通过二阶变分才能判断是否成为极小。
设$L{\in}C^2(J{\times}\mathbb{R}^N{\times}\mathbb{R}^N)$，
$$ I(u)=\int_JL(t,u(t),\dot{u}(t))dt $$
又设$u_0{\in}M$是泛函$I$的E-L方程的解：
$$ E_L(u_0)=0 $$
现在$\varphi{\in}C^{\infty}_0(J,\mathbb{R}^N)$，如果令
$$ g(s)=I(u_0+s{\varphi}) $$
那么一元函数$s{\to}g(s)$便以0为极小点。
我们把
$$ \begin{align*} \delta^2I(u_0,\varphi)&=\ddot{g}(0)\\ &=\frac{d^2}{ds^2}I(u_0+s{\varphi})|_{s=0}\\ &=\frac{d^2}{ds^2}\int_J[L(t,u_0(t),\dot{u_0}(t))\varphi^i(t)\varphi^j(t)+2L_{u^ip^j}(t,u_0(t),\dot{u_0}(t))\varphi^i(t)\varphi^j(t)\\ &+L_{p^ip^j}(t,u_0(t),\dot{u_0}(t))\dot{\varphi}^i(t)\dot{\varphi}^j(t)]dt \end{align*} $$
称为$I$在$u_0$沿$\varphi$的而二阶变分。
接下来给出必要条件和充分条件的相关信息：
一，如果$u_0$是极小点，则必然有$\ddot{g}(0){\ge}0$，也就是
$$ \delta^2I(u_0,\varphi){\ge}0,\forall{\varphi}{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N) \tag{3.1} $$
二，若$u_0{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N)$满足E-L方程，并且存在$\lambda>0$，使得
$$ \delta^2I(u_0,\varphi){\ge}{\lambda}\left\{|\varphi|^2+|\dot{\varphi}|^2\right\}dt,\forall {\varphi}{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N) \tag{3.2} $$
则$u_0$是$I$的一个严格极小点。
但是我们会发现上面还带有任意函数$\varphi$，这不是我们想要的。
对于充分条件怎么出来的我们进行一个揭示，首先有
$$ g(s)-g(0)=g(s)-g(0)-\dot{g}(0)s=\frac{s^2}{2}\ddot{g}({\theta}s)=\frac{s}{2}[\ddot{g}({\theta}s)-\ddot{g}(0)]+\frac{s^2}{2}\ddot{g}(0) $$
其中$\theta{\in}(0,1)$依赖于$\varphi$。
我们引入以下函数矩阵和它们沿函数$u_0(t)$的限制化简这个形式：
$$ A=(L_{{p^i}{p^j}}(t,u,p)),A_{u_0}=((L_{{p^i}{p^j}}(t,u_0(t),\dot{u_0}(t))),\\ B=(L_{{p^i}{u^j}}(t,u,p)),B_{u_0}=((L_{{p^i}{u^j}}(t,u_0(t),\dot{u_0}(t))),\\ C=(L_{{u^i}{u^j}}(t,u,p)),C_{u_0}=((L_{{u^i}{u^j}}(t,u_0(t),\dot{u_0}(t))),\\ $$
我们有
$$ \delta^2I(u_0,\varphi)=\int_J[(A_{u_0}\dot{\varphi},\dot{\varphi})+2(B_{u_0}\dot{\varphi},{\varphi})+(C_{u_0}{\varphi},{\varphi})]dt $$
因为
$$ \ddot{g}(s)=\int_J[(A_{u_0+s{\varphi}}\dot{\varphi},\dot{\varphi})+2(B_{u_0+s{\varphi}}\dot{\varphi},{\varphi})+(C_{u_0+s{\varphi}}{\varphi},{\varphi})]dt $$
而且$L{\in}C^2$，所以对于$\|\varphi\|_{C^1(J)}{\le}1$当$s{\to}0$，一致地有
$$ |A_{u_0+s{\varphi}}-A_{u_0}|+|B_{u_0+s{\varphi}}-B_{u_0}|+|C_{u_0+s{\varphi}}-C_{u_0}|=o(1) $$
即得
$$ \ddot{g}(s)-\ddot{g}(0)=o(s^2)\int_J[|\nabla{\varphi}|^2+|\varphi|^2]dt $$
从而$\forall \varphi{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N)$，当$|s|$充分小时，存在$\varepsilon<{\lambda}$使得
$$ I(u_0+s{\varphi})-I(u_0){\ge}(\lambda-\varepsilon)\int_J[|\dot{\varphi}|^2+|\varphi|^2]dt $$
接下来我们考虑对$A_0,B_0,C_0$在判定$u_0$成为极小点的地位。
勒让德-阿达马条件
三个矩阵$A_0,B_0,C_0$在判定$u_0$成为极小点的地位是不平等的。接下来我们要说明只有$A_{u_0}$项是起作用的。
事实上，$\forall \tau{\in}int(J),\forall \xi{\in}\mathbb{R}^N,\forall \mu>0$充分小，取$v{\in}C^1({\mathbb{R}^1}),v(s)=0$，当$|s|{\ge}1$，满足$\int_{\mathbb{R}^1}\dot{v}(s)^2ds=1$。令
$$ \varphi(t)=\xi{\mu}v(\frac{t-{\tau}}{\mu}) $$
则
$$ \dot{\varphi}(t)=\xi\dot{v}(\frac{t-{\tau}}{\mu}) $$
当$\forall{\mu}>0$充分小时，
$$ \int_J{\dot{\varphi}_i\dot{\varphi}_jdt}=\xi_i{\xi_j}{\mu},A_{u_0}对应项\\ \int_J{\dot{\varphi}_i\varphi_j}dt=\xi_i\xi_j{\mu^2}\int_{\mathbb{R}^1}v(t)\dot{v}(t)dt,B_{u_0}对应项\\ \int_J{{\varphi}_i\varphi_j}dt=\xi_i\xi_j{\mu^3}\int_{\mathbb{R}^1}v(t)^2dt,C_{u_0}对应项 $$
代入二阶变分(3.1)，令$u{\to}0$，我们得到
$$ \delta^2I(u_0,\varphi)=\mu(A_{u_0}\xi,\xi)+o(\mu) $$
于是可以引入下列的勒让德-阿达马(Legendre-Hadamard)条件
$$ (A_{u_0}\xi,\xi)=\sum^N_{i,j=1}L_{p^ip^j}(\tau,u_0(\tau),\dot{u}_0(\tau))\xi^i\xi^j{\ge}0,\forall{\tau}{\in}J,\forall{\xi}{\in}\mathbb{R}^N.\tag{3.3} $$
注意到勒让德-阿达马条件确实是极小点的必要条件。
如果$\exists {\lambda}>0$，使得
$$ \sum^N_{i,j=1}L_{p^ip^j}(\tau,u(\tau),\dot{u}(\tau))\xi^i\xi^j{\ge}{\lambda}|\xi|^2,\forall{\tau}{\in}J,\forall{\xi}{\in}\mathbb{R}^N.\tag{3.4} $$
那么就称之为严格的勒让德-阿达马条件。但是，这个严格的勒让德-阿达马条件不是极小点的充分条件。
定理3.1:设$L{\in}C^2(J{\times}\mathbb{R}^N{\times}\mathbb{R}^N)$，若$u_0{\in}M$是$I$的一个极小点，则勒让德-阿达马条件(3.3)成立。反之，若$u_0{\in}M$满足E-L方程，而且存在一个$\lambda>0$使得(3.2)成立，则$u_0$是$I$的一个严格极小点。
这样我们就可以用$A_{u_0}$的对应项去衡量严格极小点的充分性，这样可以忽略掉那些高阶小量。
接下来，我们更进一步，想要把(3.2)中含有任意函数$\varphi$，换成一个不含$\varphi$的条件，因此要建立它和严格的勒让德-阿达马条件(3.4)之间的关系。
第一步，我们先在充分条件(3.2)右边的积分中的项$|\varphi|^2$去掉，我们可以用庞加莱引理，用$\dot{\varphi}$去控制$\varphi$。
庞加莱引理
Poincare引理主要告诉我们一个函数可以用它的导函数来控制。
设$\varphi{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N)$，则
$$ \int_J|\varphi|^2dt{\le}\frac{(t_2-t_1)^2}{2}\int_J|\dot{\varphi}|^2dt $$
证明：因为
$$ \varphi(t)=\int^{t}_{t_0}\dot{\varphi(s)}ds $$
由施瓦茨不等式(Schwarz)，
$$ |\varphi(t)|^2{\le}(\int^{t}_{t_0}|\dot{\varphi}(s)|ds)^2{\le}(t-t_0)\int_J|\dot{\varphi}(s)|^2ds $$
积分后
$$ \int_J|\varphi(t)|^2dt{\le}\frac{(t_1-t_0)^2}{2}\int_J|\dot{\varphi}|^2dt $$
现在可以把(3.2)右端的积分中的$|{\varphi}|^2$去掉了，换成对某个$\lambda>0$
$$ \delta^2I(u,\varphi){\ge}{\lambda}\int_J|\dot{\varphi}|^2dt,\forall{\varphi}{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N) $$
那么定理3.1仍旧成立。
也就是判断是不是极小点的条件可以进化为如下：
若$u_0{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N)$满足E-L方程，并且存在$\lambda>0$，使得
$$ \delta^2I(u_0,\varphi){\ge}{\lambda}\left\{|\dot{\varphi}|^2\right\}dt,\forall {\varphi}{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N) $$
到这一步其实已经可以解决一部分的泛函极值问题，也就是用上面稍微强一点的条件，可以判断E-L的解是不是极小点。
例子：设$L=\sqrt{1+p^2},M=\left\{u{\in}C^1([0,b])|u(0)=u(b)=0\right\}$
由于泛函$I(u)=\int^b_0{\sqrt{1+\dot{u}(t)}dt}$的E-L方程
$$ \frac{d}{dt}\frac{\dot{u}}{\sqrt{1+\dot{u}^2}}=0 $$
有解$u=0{\in}M$。
因为
$$ L_{uu}=L_{up}=L_{pu}=0,L_{pp}=\frac{1}{(1+p^2)^{\frac{3}{2}}} $$
所以
$$ \delta^2I(0,\varphi)=\int^b_0\dot{\varphi}^2dt $$
这样我们可以用到定理3.1，而证明这个$u=0$是一个极小点。
其实我们可以做到更为细致的弱一点的条件，这个从二阶变分的表达式和下面的例子可以看出：
二阶变分的表达式中，对于矩阵
$$ \begin{pmatrix} A_{u_0} & B_{u_0} \\ B_{u_0} & C_{u_0} \end{pmatrix} $$
是正定的，那么其E-L方程的解$u_0$必定是极小点，但是从下面例子可以看出这个矩阵的正定性并不是极小的必要条件，也就是这个条件过分强了。
例子：设$I(u)=\int_J(\dot{u}(t)^2-u(t)^2)dt$，则在$u=0$处有
$$ \begin{pmatrix} A_{0} & B_{0} \\ B_{0} & C_{0} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
这个不是半正定的。
但是当$|J|=t_1-t_0$充分小的时候，由庞加莱不等式，仍旧是有
$$ \delta^2I(0,\varphi)=\int_J(\dot{\varphi}^2-\varphi^2)dt{\ge}(1-\frac{(t_1-t_0)^2}{2})\int_J{\dot{\varphi}^2}dt $$
于是$u=0$还是极小点。
而且严格的勒让德-阿达马条件并不是极小值的充分条件，这促使我们去找一个比较弱的条件作为充分条件，并且最好是不带试探函数$\varphi$的。
Jacobi场
设$L{\in}C^3$，又设$u_0$是E-L的解。设$u_0$令
$$ \Phi_{u_0}(t,\xi,\eta)=(A_{u_0}\eta,\eta)+2(B_{u_0}\xi,\eta)+(C_{u_0}\xi,\xi),\forall(\xi,\eta){\in}\mathbb{R}^N{\times}\mathbb{R}^N $$
这个函数为附属的拉格朗日函数（其实主要思想就是把这个当成一个泛函，且附属与$L$与$u_0$）。
设$u_0$是一个极小点，考察与附属拉格朗日函数相关的变分积分
$$ Q_{u_0}(\varphi)=\int_J\Phi_{u_0}(t,\varphi(t),\dot{\varphi}(t))dt,\forall{\varphi}{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N) $$
因为$Q_{u_0}=\delta^2I(u_0,\varphi){\ge}0,\forall{\varphi}{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N)$，而且$Q_{u_0}(\theta)=0$，所以$\theta$为$Q_{u_0}$的极小点。
于是我们现在将泛函$Q_{u_0}$的定义域扩充到$Lip_0(J,\mathbb{R}^N)$（也就是端点为0的利普希茨函数类）上，导出其积分形式的E-L方程：
$$ A_{u_0}\dot{\varphi}(t)+B^T_{u_0}\varphi(t)-\int_{t_0}^t(B_{u_0}\dot{\varphi}(t)+C_{u_0}\varphi(t))dt=const $$
假设$L$沿着$u_0$满足严格的勒让德-阿达马条件，也就是$A_{u_0}$是正定的，那么由上面积分形式的E-L方程，可以知道解$\varphi{\in}C^2(J,\mathbb{R}^N)$。而且$\varphi$还满足一个齐次二阶常微分方程组：
$$ J_{u_0}(\varphi)=\frac{d}{dt}[A_{u_0}\dot{\varphi}(t)+B^T_{u_0}\varphi(t)]-[B_{u_0}\dot{\varphi}(t)+C_{u_0}\varphi(t)]=0,t{\in}J $$
我们称这个方程为Jacobi方程。并且称呼算子$J_{u_0}$为沿着E-L方程的解$u_0$的Jacobi算子。
类比数学分析，可以知道雅可比算子是一个二阶线性常微分算子，在变分问题中扮演者海塞矩阵在函数极值中的角色。
我们称雅可比方程的任意一个$C^2$解为沿着轨道$u_0(t)$的一个雅可比场，所有的雅可比场构成一个$2N$维的线性空间。
于是原本对泛函极值的问题，可以转化为在其附属函数$Q_{u_0}$上考虑，我们有如下引理：
引理3.2：给定一个足够光滑的拉格朗日函数$L$，设沿其E-L方程的解$u_0$满足严格的勒让德阿达马条件，也即是$A_{u_0}$是正定的。又如果存在$\mu>0$使得
$$ Q_{u_0}(\varphi){\ge}{\mu}\int_J|\varphi^2|dt, $$
则存在$\lambda>0$使得
$$ Q_{u_0}(\varphi){\ge}{\lambda}\int_J(|\dot{\varphi}|^2+|\varphi|^2)dt $$
从而$u_0$是
$$ I(u)=\int_JL(t,u(t),\dot{u}(t))dt $$
的一个严格极小点。
证明：对于$J$上任意俩连续函数$\varphi,\psi$，令$<\phi,\psi>=\int_J\phi(t)\psi(t)dt$，因为$A_{u_0}$是正定的，所以存在$\alpha>0$使得
$$ <A_{u_0}\dot{\varphi},\dot{\varphi}>{\ge}{\alpha}\int_J|\dot{\varphi}|^2dt $$
从
$$ Q_{u_0}(\varphi)=<A_{u_0}\dot{\varphi},\dot{\varphi}>+2<B_{u_0}\dot{\varphi},{\varphi}>+<C_{u_0}{\varphi},{\varphi}> $$
推出存在正常数$C_1,C_2$，使得
$$ \begin{align*}{\alpha}\int_J|\dot{\varphi}|^2dt&{\le}Q_{u_0}(\varphi)+C_1((\int_J|\dot{\varphi}|^2dt)^{\frac{1}{2}})(\int_J|{\varphi}|^2dt)^{\frac{1}{2}})+(\int_J|{\varphi}|^2dt))\\&{\le}\frac{\alpha}{2}\int_J|\dot{\varphi}|^2dt+Q_{u_0}(\varphi)+C_2\int_J|\varphi|^2dt\end{align*} $$
再应用条件
$$ \int_J|\varphi|^2dt{\le}{\mu}^{-1}Q_{u_0}(\varphi) $$
得到
$$ \int_J|\dot{\varphi}|^2dt{\le}\frac{\alpha}{2}(1+C_2{\mu}^{-1})Q_{u_0}(\varphi) $$
利用定理3.1以及庞加莱不等式，可以知道$u_0$是$I$的一个严格极小点。
共轭点
接下来通过引入共轭点概念，最后告诉我们可以通过雅可比场来判断解是不是极小值。
共轭点定义：设$u_0$是$I(u)=\int_JL(t,u(t),\dot{u}(t))dt$的E-L方程的一个解，称$(a,u_0(a))$与$(b,u_0(b))$是轨道$(t,u_0(t))$上的一对共轭点，如果存在一个沿$u_0(t)$的非零雅可比场$\varphi{\in}C^1_0([a,b],\mathbb{R}^N)$。
接下来证明一个辅助引理：
设$\varphi_0$是沿$u_0$的一个雅可比场，则$Q_{u_0}(\varphi_0)=0$。反之，若$\varphi_0{\in}Lip_0(J,\mathbb{R}^N)$满足$Q_{u_0}(\varphi_0)=0$，而且$Q_{u_0}(\varphi){\ge}0,\forall{\varphi}{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N)$，则$\varphi_0$是沿$u_0$的一个雅可比场。
证明："$ \Rightarrow $"因为$\Phi_{u_0}$对$(\xi,\eta)$是二次齐次的，由Euler公式得到
$$ 2\Phi_{u_0}(t,\xi,\eta)=(\Phi_{u_0})_{\xi}(t,\xi,\eta)\xi+(\Phi_{u_0})_{\eta}(t,\xi,\eta){\eta} $$
如果$\varphi_0{\in}C^1_0([a,b],\mathbb{R}^N),[a,b]{\subset}int(J)$是沿$u_0$的雅可比场，那么
$$ \begin{align*}&2\int^b_a(\Phi_{u_0})(t,\varphi_0(t),\dot{\varphi_0}(t))dt\\&=\int^b_a[(\Phi_{u_0})_{\xi}(t,\varphi_0(t),\dot{\varphi_0}(t))\varphi_0(t)+(\Phi_{u_0})_{\eta}(t,\varphi_0(t),\dot{\varphi_0}(t))\dot{\varphi_0}(t)]dt\\&=\int^b_a[(\Phi_{u_0})_{\xi}(t,\varphi_0(t),\varphi_0(t))-\frac{d}{dt}(\Phi_{u_0})_{\eta}(t,\varphi_0(t),\dot{\varphi_0}(t))]\varphi_0(t)dt\\&=-\int^b_aJ_{u_0}(\varphi_0)dt=0\end{align*} $$
再由$a,b$的任意性，就得到$Q_{u_0}(\varphi_0)=0$。上面式子中运用了分部积分，并且因为$\varphi_0$为沿着$u_0$的一个雅可比场，于是有$J_{u_0}(\varphi_0)=0$
"$ \Leftarrow $"利用光滑函数逼近，就得到
$$ Q_{u_0}(\varphi){\ge}0,\forall{\varphi}{\in}Lip_0(J,\mathbb{R}^N) $$
于是$\varphi_0$是$Q_{u_0}$的一个极小点，由前面的推导可以知道：它满足积分形式的E-L方程，从而也就满足微分形式的E-L方程：$J_{u_0}(\varphi_0)=0$。
定理3.3告诉我们什么时候是没有共轭点的，从而也就是极小值。——雅可比场为正的
定理3.3：设$u_0$是$I(u)=\int_JL(t,u(t),\dot{u}(t))dt$的E-L方程的一个解。又设$A_{u_0}$是正定的。若$\delta^2I(u_0,\varphi){\ge}0,\forall{\varphi}{\in}C^1_0(J,\mathbb{R}^N)$，则不存在$a{\in}(t_0,t_1)$使得$(a,u_0(a))$共轭于$(t_0,u_0(t_0))$。
证明：反证法:如果结论不成立，也就是存在$a{\in}[t_0,t_1],(a,u_0(a))$是$(t_0,u_0(t_0))$的共轭点，也就是存在沿$u_0(t)$的非零雅可比场$\xi{\in}C^2([t_0,a],\mathbb{R}^N)$，满足:$J_{u_0}(\xi)=0,\xi(t_0)=\xi(a)=0$。令
$$ \widetilde{\xi}(t)=\begin{cases}\xi(t),\quad{t}{\in}[t_0,a],\\0,\quad{t}{\in}[a,t_1]\end{cases} $$
则$\widetilde{\xi}{\in}Lip(J,\mathbb{R}^N)$满足$\widetilde{\xi}(t_0)=\widetilde{\xi}(t_1)=0$，而且
$$ Q_{u_0}(\widetilde{\xi})=\int^a_{t_0}\Phi_{u_0}(t,\xi(t),\dot{\xi}(t))dt=0 $$
根据辅助引理，$\widetilde{\xi}{\in}C^2(J,\mathbb{R}^N)$应该满足雅可比方程$J_{u_0}(\widetilde{\xi})=0$，再由于二阶微分方程初值问题的唯一性
$$ \widetilde{\xi}{\equiv}0 $$
这个和$\xi$非零矛盾。
于是，我们可以通过共轭点来导出雅可比场对极小值点的充分条件
定理3.4：若$N=1,u_0{\in}C^1(J)$是E-L方程的一个解，设$\exists{\lambda}>0$，使得$A_{u_0}(t){\ge}{\lambda},\forall{t}{\in}J$，而且在$J$上存在一个正的雅可比场$\psi>0$，则$u_0$是一个严格极小点。
证明：记
$$ \alpha=\inf_{J}(A_{u_0}(t)\psi^2(t))>0 $$
$\forall{\varphi}{\in}C^1_0(J)$，由庞加莱不等式和引理3.3，可以得到
$$ \begin{align*}Q_{u_0}(\varphi)&=\int_JA_{u_0}\psi^2(\frac{\varphi}{\psi})'^2dt\\&{\ge}{\alpha}\int_J(\frac{\varphi}{\psi})'^2dt\\&{\ge}{\alpha}\frac{1}{|J|^2}\int_J(\frac{\varphi}{\psi})^2dt\\&{\ge}a\inf_J(\frac{1}{\psi^2})\frac{1}{|J|^2}\int_J\varphi^2dt\end{align*} $$
所以存在$\mu>0$，使得
$$ Q_{u_0}(\varphi){\ge}{\mu}\int_J|\varphi|^2dt $$
再用引理3.2可以立刻得到结论。
所以现在解决问题的方法变成这样了：
1，给出泛函极值问题，然后求取E-L方程。
2，考虑$L_{pp}$是否大于0，大于0保证了满足极小值的必要条件
3，考虑其附属变分方程，然后得到雅可比方程，求解（雅可比场）
4，确定该解是否恒为正值，如果恒为正，则表示没有共轭点存在，为极小值点。
