复测度
本章主要内容是给出一个复测度的快速概括，各个定理的理解和命题的使用，以便拿到书后能对该章的思路给出一定的理解，并且把精力投入到对于细节的把握上。
全变差
首先我们是对一个复测度的引入，复测度首先是一个$\sigma-$代数上的复函数，并且定义为级数形式。
$$ \mu(E)=\sum^{\infty}_{n=1}\mu(E_i){\quad}(E{\in}\mathfrak{M}) $$
其中$E=\bigcup{E_i}$，且$i{\neq}j$时，有$E_i{\cap}E_j{=}\varnothing$。（划分）
接下来我们需要考虑一个问题：前面我们学习过正测度，现在推广到复测度，那么这个复测度首先要存在，也就是级数必须要收敛（且调换顺序也收敛——重排收敛）。然后要证明这个复测度必须满足测度的定义。
正测度的控制：
接下来我们考虑取一个正测度$\lambda$来控制这个复测度$\mu$，使得这个正测度尽可能小，接近这个复测度：
也就是对$E{\in}\mathfrak{M}$的每一个划分，都满足
$$ \lambda(E)=\sum^{\infty}_{i=1}\lambda(E_i){\ge}\sum^{\infty}_{i=1}|\mu(E_i)| $$
从而启发我们定义一个集函数$|\mu|$为：
$$ |\mu|(E)=\sup\sum^{\infty}_{i=1}|\mu(E_i)|{\quad}(E{\in}\mathfrak{M}) $$
于是这个$|\mu|$为我们所能取到的最小的$\lambda$（正测度）。
我们称这个集函数$|\mu|$为$\mu$的全变差，称为全变差测度。
接下来是要证明这个全变差测度确实是一个测度。并且探讨其拥有的性质。
定理6.2指出：在$\sigma-$代数$\mathfrak{M}$上的复测度$\mu$的全变差$|\mu|$是$\mathfrak{M}$上的一个正测度。
其主要难点是在于可数可加性的证明：关键在于该等式的成立，从一个特殊划分和任意划分两个方向证明。
引理6.3告诉我们在有限集上复数的级数的一个平均值估计。（这个可以应用在定理6.4的证明中）
定理6.4告诉我们：全变差测度是有界的。（所以有时候称其为有界变差）
这个证明是从反证法的思路开始，用到引理6.3，且不断分割为两个不相交集合，从而利用可数可加性得到矛盾。
命题6.5是给出了复测度的线性性质（线性相加与数乘），并且给定范数，直接构成复测度的赋范线性空间。
命题6.6是针对实测度的全变差测度，定义了正负变差，根据前面的定理6.2，正负变差都是正测度，且根据定理6.4知道是有界变差。而正负变差则为这个正测度的若尔当分解。
绝对连续性
绝对连续性质中，首先给出了$\sigma-$代数$\mathfrak{M}$的一个正测度$\mu$，和$\mathfrak{M}$上的任意测度$\lambda$（可以是正测度或者是复测度）
绝对连续性指的是，对于每一个正测度$\mu(E)=0$的$E{\in}\mathfrak{M}$，我们都有$\lambda(E)=0$成立，记作$\lambda{\ll}\mu$，称作$\lambda$关于$\mu$绝对连续。其蕴意指的是：任意测度$\lambda$在正测度$\mu$为0的集合上，其测度也为0。
然后给出了集中函数的定义：
存在一个集合$A{\in}\mathfrak{M}$，使得$\lambda(E)=\lambda(A{\cap}E)$对于每一个$E{\in}\mathfrak{M}$成立，称呼$\lambda$集中于$A$上。直观上可以理解为：拿一个集合$A$去不断交上这些划分，发现任意测度$\lambda$关于这个划分的测度，完全可以用交集部分的测度来代替。且等价于$E{\cap}A=\varnothing$时，$\lambda(E)=0$。
最后给出一个互相奇异的测度关系：
首先有$\mathfrak{M}$上两个测度$\lambda_1$和$\lambda_2$，存在不相交的集合$A$和$B$，使得$\lambda_1$集中在$A$上，$\lambda_2$集中在$B$上，则记为
$$ \lambda_1{\perp}\lambda_2 $$
命题6.8给出了这些概念的一些性质。其证明也很详细。
最后我们说明一些很重要的定理：（是在$\sigma-$有限测度上进行的）
引理6.9告诉我们：对于一个正$\sigma-$有限测度，存在对集合$X$上每一点的一个函数$w{\in}L^1(\mu)$，其范围为$0<w(x)<1$。这个关键是可以用有限测度来代替任意测度，本质上两个测度是有一样的零测度集。（这个和绝对连续性一致）
定理6.10告诉我们：针对正$\sigma-$有限测度$\mu$和复测度$\lambda$，有两个结果：
（1）存在唯一的一对复测度$\lambda_a$和$\lambda_s$，使得
$$ \lambda=\lambda_a+\lambda_s,\lambda_a{\ll}\mu,\lambda_s{\perp}\mu $$
实际上就是一个测度分解。这个称为勒贝格分解。
（2）存在唯一的一个$h{\in}L^1(\mu)$，使得
$$ \lambda_a(E)=\int_Ehd{\mu}{\quad}(E{\in}\mathfrak{M}) $$
这个意味着勒贝格分解后的正有限测度$\lambda_a$，对每个划分$E$，可以写为一个积分形式。其中这个$h$被称为$\lambda_a$关于$\mu$的拉东-妮柯迪姆导数。
证明方法是由冯诺伊曼提出的：用到引理6.9做出代替，然后对特征函数先做，对可测函数做，希尔伯特空间的里斯表示（唯一性），完备性保证了存在性。取到勒贝格分解，然后证明上面（1）的性质，并且证明$h$属于$L^1(\mu)$即可。
最后讨论了$\lambda$是复测度可以用正负变差化为正测度做，而对于$\mu$和$\lambda$都是$\sigma-$有限测度，则$h$所属空间会更弱。若超出$\sigma-$有限性则定理有不成立的情况。（考虑计数测度）
定理6.11告诉我们$\lambda{\ll}\mu$为什么称为“连续”：实际上$\lambda{\ll}\mu$，等价于：对每一个$\varepsilon>0$，对应有一个$\sigma>0$，对于所有的$E{\in}\mathfrak{M},\mu(E)<\delta$时，有$|\lambda(E)|<\varepsilon$。这个等价性质有时也被作为绝对连续的定义。
而当$\lambda$是一个正的无界测度，则性质$\lambda{\ll}\mu$不蕴含后面的性质。并且给了反例
拉东-妮柯迪姆定理的推论
定理6.12告诉我们复测度可以表示为一个绝对值为1的可测函数与其全变差测度的乘积，即为
$$ d{\mu}=hd{|\mu|},|h(x)|=1,x{\in}X $$
这也称为极分解。
首先根据拉东-妮柯迪姆可以得到一个$h{\in}L^1(|\mu|)$，然后再做一个特殊划分，使得这个可测函数$h$绝对值控制为1即可。（通过勒贝格分解的再划分得到极分解）
定理6.13告诉我们：若正测度可以写为积分形式，则其全变差也可以写为积分形式。
定理6.14（哈恩分解）告诉我们，存在两个不相交的集合$A,B$，使得$A{\bigcup}B=X$，对于实测度$\mu$的正负变差，满足
$$ \mu^+(E)=\mu(A{\cap}E){\quad}\mu^-(E)=-\mu(B{\cap}E){\quad}(E{\in}\mathfrak{M}) $$
并且有推论：若$\mu=\lambda_1-\lambda_2$，则$\lambda_1{\ge}\mu^+$和$\lambda_2{\ge}\mu^-$。
$L^p$上的有界线性泛函
这个主题是由$L^p(\mu)$，其中$\mu$为正测度，其空间上的有界线性泛函是否都能写成这样的形式？
$$ \Phi_g(f)=\int_Xfgd{\mu},f{\in}L^p(\mu),g{\in}L^q(\mu) $$
且这样的表示是否唯一？
回答：对于$p=\infty$，是否定的。对于$1<p<\infty$，是肯定的。下面对于$\sigma-$有限情况，$p=1$也是肯定的。
定理6.16告诉我们：对于$\sigma-$有限的正测度，且$1{\le}p<\infty$，上面的回答是肯定的。
换句话说：在所述条件下，$L^q(\mu)$等距同构于$L^p(\mu)$的对偶空间。
里斯表示定理
这个是定理2.14的复形式
命题6.18其实阐述了一个思路：首先$X$是一个局部紧的豪斯托夫空间，而之前的定理2.14刻画了在$C_c(X)$空间上的正的线性泛函。
现在我们要刻画$C_c(X)$空间上的有界线性泛函：因为$C_c(X)$是$C_0(X)$关于上确界范数的稠密子空间，于是每一个这样的$\Phi$有唯一一个到$C_0(X)$上的有界线性泛函的开拓。于是我们可以转向先处理巴拿赫空间$C_0(X)$。
考虑$\mu$是复博雷尔测度，然后中间证明$\mu$是正则的，于是可以定义$C_0(X)$空间上的有界线性泛函。
定理6.19告诉我们的就是上面的定义$C_0(X)$空间上的有界线性泛函：存在唯一一个复的正则博雷尔测度$\mu$，使得
$$ \Phi{f}=\int_Xfd{\mu}{\quad}(f{\in}C_0(X)) $$
而且若
$$ \int{f}d{\mu}=\int{f}hd{|\mu|},|h|=1 $$
则有
$$ \|\Phi\|=|\mu|(X) $$
最后结合$C_0(X)$与$C_c(X)$的关系，刻画了$C_c(X)$上的有界线性泛函，这部分的证明是比较复杂的。