距离

1.1 实数

分析基于实数。

定义1.1.1.

令$S$为$\mathbb{R}$的一个非空子集。

一个实数$x$是这个非空子集$S$的上界：如果对于所有的$s{\in}S,s{\le}x$。

一个实数$x$是这个非空子集$S$的上确界：$x$是$S$的上界且对任一$S$的上界$y$，有$x{\le}y$（最小上界），记为$\sup{S}$。

一个实数$x$是这个非空子集$S$的最大值：$x$是$S$的上确界且$x{\in}S$（可以取到的最小上界），记为$\max{S}$。

一个实数$x$是这个非空子集$S$的下界：如果对于所有的$s{\in}S,s{\ge}x$。

一个实数$x$是这个非空子集$S$的下确界：$x$是$S$的下界且对任一$S$的下界$y$，有$x{\ge}y$（最大下界），记为$\inf{S}$。

一个实数$x$是这个非空子集$S$的最小值：$x$是$S$的下确界且$x{\in}S$（可以取到的最大下界），记为$\min{S}$。

让我们回忆$\mathbb{R}$实数的基本性质。

公理1.1.2.

任何$\mathbb{R}$上有上界的的非空子集必有一个上确界。

在延拓后的实数系统中，任一$\mathbb{R}$的子集有一个上确界和一个下确界。

定义1.1.3.

延拓后的实数系统$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}{\cup}\left\{-\infty,+\infty\right\}$有下面的性质：

（a）如果$x{\in}\mathbb{R}$，则$-\infty<x<+\infty$且$x+(+\infty)=(+\infty)+x=+\infty,x+(-\infty)=(-\infty)+x=-\infty$。

（b）如果$x>0$，则$x{\cdot}(+\infty)=(+\infty){\cdot}x=+\infty,x{\cdot}(-\infty)=(-\infty){\cdot}x=-\infty$。

（c）如果$x<0$，则$x{\cdot}(+\infty)=(+\infty){\cdot}x=-\infty,x{\cdot}(-\infty)=(-\infty){\cdot}x=+\infty$。

如果$S{\subset}\mathbb{R}$没有上界，则$\sup{S}=+\infty$。

如果$S{\subset}\mathbb{R}$没有下界，则$\inf{S}=-\infty$。

最终$\sup{\varnothing}=-\infty$且$\inf{\varnothing}=+\infty$。因为是空集，所以既没有上界也没有下界。

定义1.1.4.

令$X$为一个集合且$F:X{\to}\overline{\mathbb{R}}$。我们定义

$$ \sup_XF=\sup_{x{\in}X}F(x)=\sup\left\{F(x):x{\in}X\right\},\inf_XF=\inf_{x{\in}X}F(x)=\inf\left\{F(x):x{\in}X\right\} $$

这就是函数集合上的上确界和下确界的定义。

命题1.1.5.

令$X$和$Y$为集合且$f:X{\times}Y{\to}\overline{\mathbb{R}}$。则

$$ \sup_{x{\in}X}\sup_{y{\in}Y}f(x,y)=\sup_{y{\in}Y}\sup_{x{\in}X}f(x,y),\sup_{x{\in}X}\inf_{y{\in}Y}f(x,y){\le}\inf_{y{\in}Y}\sup_{x{\in}X}f(x,y) $$

这个是二元函数集合的上确界（我们看到可以交换），后者是先取下界再取上界小于等于先取上界再取下界。

这里给出一个满足严格不等式的例子：

令$X=Y=\left\{0,1\right\}$，做函数$f:X{\times}Y{\to}\overline{\mathbb{R}}$满足：

$$ f(0,0)=1,f(0,1)=3,f(1,0)=4,f(1,1)=2 $$

则有

$$ \sup_{x{\in}X}\inf_{y{\in}Y}f(x,y)=2<3=\inf_{y{\in}Y}\sup_{x{\in}X}f(x,y) $$

定义1.1.6.

一个序列$(x_n){\subset}\overline{\mathbb{R}}$是递增的：如果对任意$n,x_n{\le}x_{n+1}$。序列$(x_n)$是递减的：如果对任意$n,x_{n+1}{\le}x_n$。序列$(x_n)$是单调的如果它是递增的或者递减的。

定义1.1.7.

序列$(x_n){\subset}\overline{\mathbb{R}}$的下极限定义为

$$ \varliminf_{n{\to}\infty}x_n=\sup_k\inf_{n{\ge}k}x_n $$

序列$(x_n){\subset}\overline{\mathbb{R}}$的上极限定义为

$$ \varlimsup_{n{\to}\infty}x_n=\inf_k\sup_{n{\ge}k}x_n $$

且根据命题1.1.5可以知道下极限小于等于上极限恒成立：

$$ \varliminf_{n{\to}\infty}x_n{\le}\varlimsup_{n{\to}\infty}x_n $$

注解：

（a）序列$a_k=\inf_{n{\ge}k}x_n$是递增的（因为随着$k$增大，可以选择的序列变少，其最大的下界能够越取越大），且序列$b_k=\sup_{n{\ge}k}x_n$是递减的。（因为随着$k$增大，可以选择的序列变少，其最小的上界越取越小）。

（b）下极限和上极限一定存在，且

$$ \varliminf_{n{\to}\infty}x_n{\le}\varlimsup_{n{\to}\infty}x_n $$

因为从上下极限的定义知道，里面的一层要么递增要么递减，所以必然存在极限。

命题1.1.8.

令$(x_n),(y_n){\subset}(-\infty,+\infty]$为使得$-\infty<\varliminf_{n{\to}\infty}x_n$且$-\infty<\varliminf_{n{\to}\infty}y_n$。则

$$ \varliminf_{n{\to}\infty}x_n+\varliminf_{n{\to}\infty}y_n{\le}\varliminf_{n{\to}\infty}(x_n+y_n) $$

令$(x_n),(y_n){\subset}[-\infty,+\infty)$为使得$\varlimsup_{n{\to}\infty}x_n<+\infty$且$\varlimsup_{n{\to}\infty}y_n<+\infty$。则

$$ \varlimsup_{n{\to}\infty}(x_n+y_n){\le}\varlimsup_{n{\to}\infty}x_n+\varlimsup_{n{\to}\infty}y_n $$

证明一下该命题，首先考虑上面的不等式，用下极限定义写开：即证明

$$ \sup_k\inf_{n{\ge}k}x_n+\sup_k\inf_{n{\ge}k}y_n{\le}\sup_k\inf_{n{\ge}k}(x_n+y_n) $$

然后我们考虑到有

$$ \inf_{n{\ge}k}x_n+\inf_{n{\ge}k}y_n{\le}\inf_{n{\ge}k}(x_n+y_n) $$

即可证明。

考虑下面的不等式，用上极限定义写开：即证明

$$ \inf_k\sup_{n{\ge}k}(x_n+y_n){\le}\inf_k\sup_{n{\ge}k}x_n+\inf_k\sup_{n{\ge}k}y_n $$

然后我们考虑到

$$ \sup_{n{\ge}k}(x_n+y_n){\le}\sup_{n{\ge}k}x_n+\sup_{n{\ge}k}y_n $$

即可证明。

定义1.1.9.

一个序列$(x_n){\subset}\mathbb{R}$收敛到$x{\in}\mathbb{R}$：如果对任意$\varepsilon>0$，存在$m{\in}\mathbb{N}$使得对任意$n{\ge}m,|x_n-x|{\le}\varepsilon$。则我们记为$\lim_{n{\to}\infty}x_n=x$。（在一点处收敛）

序列$(x_n)$是一个柯西列：如果对任意$\varepsilon>0$，存在$m{\in}\mathbb{N}$使得对任意$j,k{\ge}m,|x_j-x_k|{\le}\varepsilon$。

定理1.1.10

下面的性质是等价的：

（a）$(x_n)$收敛。

（b）$(x_n)$是一个柯西序列。

（c）$-\infty<\varlimsup_{n{\to}\infty}x_n{\le}\varliminf_{n{\to}\infty}x_n<+\infty$。

如果任一成立，则所有这些性质成立，则有

$$ \lim_{n{\to}\infty}x_n=\varliminf_{n{\to}\infty}x_n=\varlimsup_{n{\to}\infty}x_n $$

证明一下其等价性质：

首先$(x_n)$收敛，于是我们由收敛定义：对于任意$\varepsilon>0$，存在$m{\in}\mathbb{N}$，使得对任意$n{\ge}m,|x_n-x|{\le}\varepsilon$。我们取到这里为$\frac{\varepsilon}{2}$，于是成立下面

$$ |x_j-x|{\le}\frac{\varepsilon}{2};|x_k-x|{\le}\frac{\varepsilon}{2}{\quad}j,k{\ge}m\\ |x_j-x_k|{\le}|x_j-x|+|x_k-x|{\le}\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $$

于是乎正好就是柯西序列的定义。

另外两个等价证明需要引用到上下确界的定义和上下极限定义，这里从略。并且因为我们知道下极限必然小于等于上极限，于是推论中的三等式也成立。

定理1.1.11.

任意递增且极大化，或者递减且极小化的实数序列是收敛的。

注解：任意实数的递增序列非优化在$\overline{\mathbb{R}}$中收敛到$+\infty$。任意实数的递减序列且非极小化在$\overline{\mathbb{R}}$中收敛到$-\infty$。因此，如果$(x_n)$是递增的，则

$$ \lim_{n{\to}\infty}x_n=\sup_{n}x_n $$

且如果$(x_n)$是递减的，则

$$ \lim_{n{\to}\infty}x_n=\inf_nx_n $$

特别地，对于任意序列$(x_n){\subset}\overline{\mathbb{R}}$，

$$ \varliminf_{n{\to}\infty}x_n=\lim_{k{\to}\infty}\inf_{n{\ge}k}x_n $$

且

$$ \varlimsup_{n{\to}\infty}x_n=\lim_{k{\to}\infty}\sup_{n{\ge}k}x_n $$

上述定理通过一个优化和极小化的引入，把之前延拓的实数系统中的无穷给对应上，从而将极限和取上下确界的过程等同起来，使得我们在之前未延拓前的极限和取上下确界过程一致了。

定义1.1.12

级数$\sum^{\infty}_{n=0}x_n$收敛，且它的和是$x{\in}\mathbb{R}$：如果部分和序列$\sum^k_{n=0}x_n$收敛到$x$。我们记$\sum^{\infty}_{n=0}x_n=x$。

定理1.1.1.3

下列陈述是等价的：

（a）$\sum^{\infty}_{n=0}x_n$收敛。

（b）

$$ \lim_{j{\to}\infty\\j<k}\sum^k_{m=j+1}x_n=0 $$

证明：首先我们知道该级数收敛，则意味着部分和序列收敛，那么容易从收敛和柯西收敛的等价性推出，在级数序列的后半部分的极限为0。

实数系统上面的事情讲完了，接下来我们引入度量空间。