积分

动机

本章开始前,首先讲述本书的大概思路和本章的动机。

首先我们做一个类比,由有理数到无理数的过程,就像下面由黎曼积分的函数过渡到勒贝格积分函数。从有理数到无理数的过程我们已经十分熟悉,这里提及关于积分的过渡问题。

类比积分,可以黎曼积分的函数可以视为“有理数”,而很多日常可以做的事情都用黎曼积分解决,例如计算面积,体积,长度,物理加速度求速度,求路程,求力做功等等。但是到了17世纪到19世纪,由于微积分的应用,考虑如下形式的积分

$$ \int_{\Omega}|{\nabla}u|^2dx $$

这里$\Omega$是一个有界区域,我们可以想象为一个鼓面,其边界固定,内部震动。

考虑一维区域,则可以看成是琴弦振动,考虑震动频率问题时候会做

$$ \inf_u\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2dx $$

的极小问题。

令$X=\left\{u:\Omega{\to}\mathbb{R}:u{\in}C^1,u_{\partial{\Omega}}=0\right\}$。所以$(u+\phi)_{{\partial}\Omega}=\phi$。

考虑上述问题就等同于考虑

$$ \inf_{u{\in}X}\int_{\Omega}|{\nabla}(u+\phi)|^2dx $$

或者是

$$ \inf_{u{\in}X}\int_{\Omega}(|\nabla{u}|^2+2{\nabla}u{\nabla}\phi+|{\nabla}\phi|^2)dx $$

注意到

$$ F(u)=\int_{\Omega}(|{\nabla}u|^2+2{\nabla}u{\nabla}\phi+|\nabla{\phi}|^2)dx $$

是定义在$X$上的函数(因为定义在函数空间上,也称之为泛函,给了$X$里的一个$u$,就有一个数值$F(u)$),并且是一个二次的函数,那么其最小值也一定能够达到。当时的数学研究者是这么认为的。

但是在18世纪末,维尔斯特拉斯给出了一个反例,说明这样的证明是有问题的。

如$\Omega=[-1,1],X=\left\{u{\in}C^1([-1,1]):u(-1)=-1,u(1)=1\right\}$。考虑在$X$上的泛函

$$ I(u)=\int^1_{-1}|xu'(x)|^2dx $$

考虑

$$ c=\inf_{u{\in}X}I(u) $$

我们看到$I(u)$也是关于$u$的二次的,非负的,所以$c{\ge}0$。但是问题是$c$能够取到吗?$c$事实上并不能取到!

反证法:假设$c$可以取到0,则可以找到一个函数序列$u_n{\in}X$,使得$I(u_n){\to}0$。如果$F(u)=0$,则有$u'(x)=0$。所以不可能在$X$中找到这样的函数。

所以这就引起了很多问题,以前很多类似的问题都说下确界是可以达到的,那么是否还是正确的呢?如果有些的确可以达到,有些达不到,那么是什么条件保证了它们可以达到?这样的事情最终都和函数空间的完备化有关系。为了使得函数空间完备,就需要一些原来黎曼不可积分的函数成为可以积分的。一种方法就是用某种单调增加且积分一致有界的黎曼可积函数列来定义勒贝格可积函数(本书就是这么作得)。

比如我们已经验证过狄利克雷函数是黎曼不可积的,我们可以看到它是勒贝格可积的。关键是加上了这些可积函数后,所有的勒贝格可积函数构成了完备的函数空间,这对于非常多的理论问题都是非常重要的。

导言

开始定义勒贝格积分,首先回顾黎曼积分(本书的柯西积分就是黎曼积分),然后总结了几个有用的性质在定理2.1.2里面。首先$\Omega$是$\mathbb{R}^N$里的一个开集,有界无界都可以,全空间也可以。这里仅仅是定义一个概念,一个连续函数的支集,简单记为

$$ spt{\;}u=\overline{\left\{x{\in}\Omega:u(x){\neq}0\right\}}\\ \mathcal{K}=\left\{u{\in}C(\Omega,\mathbb{R}):spt是\Omega的一个紧集\right\} $$

这里的函数就称之为有紧支集的连续函数。因为$u$是连续的,

$$ \left\{x{\in}\Omega:u(x){\neq}0\right\}=\left\{x{\in}\Omega:|u(x)|>0\right\} $$

是开集,所以支集是一个开集的闭包。

因为紧集就是有界闭集(在这里),所以即便$\Omega$是有界的,$spt{\;}u$也是在$\Omega$内部,不会和$\Omega$的边界有交集。可以先想象$\Omega=\mathbb{R}$,这时每个函数远处都是0,所以$\mathcal{K}(\Omega)$里面的函数黎曼积分都是有定义的,且满足定理2.1.2的结论。注意$\mathcal{K}$是一个线性空间。证明里面的$|x|_{\infty}$就是$\mathbb{R}^N$里面的度量。

里面的$A_j,B_j$就是达布下和,达布上和,取了一个等分的划分,每个区间长度$1/2^j$,这样子写比较简洁,虽然是无穷和,但是其实只有有限是非零的。

这章里面,有两条平行的线索:一个是具体的勒贝格积分,一个是抽象的勒贝格积分。

抽象的勒贝格积分是公理化的。先是有一个$\Omega$可以是任意给定的集合(不见得有其他的结构:距离,拓扑等),然后有一个线性空间$\mathcal{L}$由$X$上的函数($X$到$\mathbb{R}$的函数构成),并且在$\mathcal{L}$上有一个叫做初等积分的运算$\int_{\Omega}ud{\mu}$。只要有这三样东西:集合,线性空间,运算。并且满足定义2.2.1里面四个公理条件$\mathcal{J}_1,\mathcal{J}_2,\mathcal{J}_3,\mathcal{J}_4$,就可以把它扩张并且定义成为勒贝格积分。所以$\mathbb{R}^N$上的具体勒贝格积分是一个特例。这个时候这三样东西是$\Omega=\mathbb{R},\mathcal{L}=\mathcal{K}(\mathbb{R}^N),\int{d\mu}=\int{dx}$。由定理2.1.2,这时候要求的公理四个条件都满足。

学习的时候可以先主要想象$\Omega=\mathbb{R}$,一维实数轴。另外也要记得这个可以是很抽象的集合。所以现在就是$\mathcal{K}(\Omega),\mathcal{K}(\mathbb{R})$,这里都是连续且具有紧支集的函数,是好函数(“无理数”),我们要用它们生成更多的勒贝格可积函数。

命题2.2.2,2.2.3,是由公理推出的简单性质,就是那四个性质。其证明推导都是初等方式,关键是用四个性质推导。这里注意$u^{+}$是$u$的正部($u$是负数的点处,有$u^{+}=0$)注意到,$u^{-}$是$-u$的正部,所以也是非负函数,所以总是有分解$u(x)=u^{+}(x)-u^{-}(x)$。

最重要的是定义2.2.4和2.2.5,类似于上方有界的有理数列可以定义无理数列。定义2.2.4,这里定义叫基本序列的$\mathcal{L}$里面的序列$\left\{u_n\right\}$:点点单增,积分后的数列上方有界。这时$u_n$就点点定义了一个新的函数$u(x)$(注意可能某些点处是正无穷,即使点点有限值,也不见得是连续的了),由此(等到定义2.2.8)我们就可以定义这个新的函数$u$的勒贝格积分为

$$ \int_{\Omega}ud{\mu}{\equiv}\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$

为了说明这个事情是适定的,下面先有两个技术性的命题(2.2.6,2.2.7)

定义2.2.5是定义另一个重要的概念:有了一个·基本序列,就定义了一个新的函数$u,u$等于正无穷的点的集合$S$,我们称呼其为可以忽略的集合。等到我们定义了勒贝格测度,就是等价于零测度集合。

下面我们说某个结论是对$x{\in}\Omega$几乎处处成立的,就是去掉一个可以忽略的集合(后续知道是零测度集),这个结论是成立的。

2.1 黎曼积分

勒贝格积分是一个满足单调收敛性质的正的线性泛函,它是黎曼积分的一个推广。

定义2.1.1

令$\Omega$为$\mathbb{R}^N$的一个开子集。我们定义

$$ C(\Omega)=\left\{u:\Omega{\to}\mathbb{R}:u是连续的\right\}\\ \mathcal{K}(\Omega)=\left\{u{\in}C(\mathbb{R}^N):supp{\;}u是\Omega的一个紧子集\right\} $$

$u$的紧支集,记为$spt{\;}u$,是$u$不同于0的点的集合的闭包。

令$u{\in}\mathcal{K}(\mathbb{R}^N)$,由定义,存在$R>1$使得

$$ spt{\;}u{\subset}\left\{x{\in}\mathbb{R}^N:|x|_{\infty}{\le}R-1\right\} $$

我们定义$u$的黎曼和:

$$ S_j=2^{-jN}\sum_{k{\in}\mathbb{Z}^N}u(k/2^j) $$

其中因子$2^{-jN}$是$\mathbb{R}$中带边$2^{-j}$立方体的体积。令$C=[0,1]^N$且让我们定义$u$的达布和:

$$ A_j=2^{-jN}\sum_{k{\in}\mathbb{Z}^N}\min\left\{u(x):2^jx-k{\in}C\right\}\\ B_j=2^{-jN}\sum_{k{\in}\mathbb{Z}^N}\max\left\{u(x):2^jx-k{\in}C\right\} $$

令$\varepsilon>0$。由一致连续性,存在$j$使得$\omega_n(1/2^j){\le}\varepsilon$。注意到

$$ B_j-A_j{\le}(2R)^N{\varepsilon},A_{j-1}{\le}A_j{\le}S_j{\le}B_j{\le}B_{j-1} $$

则$u$的黎曼积分定义为

$$ \int_{\mathbb{R}^N}u(x)dx=\lim_{j{\to}\infty}S_j=\lim_{j{\to}\infty}A_j=\lim_{j{\to}\infty}B_j $$

定理2.1.2

空间$\mathcal{K}(\mathbb{R}^N)$和黎曼积分

$$ \mathcal{K}(\mathbb{R}^N){\to}\mathbb{R}:u{\mapsto}\int_{\mathbb{R}^N}u{dx} $$

是使得:

(a)对于任意$u{\in}\mathcal{K}(\mathbb{R}^N),|u|{\in}\mathcal{K}(\mathbb{R}^N)$。

(b)对于任意$u,v{\in}\mathcal{K}(\mathbb{R}^N)$且任意$\alpha,\beta{\in}\mathbb{R}$,

$$ \int_{\mathbb{R}^N}\alpha{u}+\beta{v}dx=\alpha\int_{\mathbb{R}^N}udx+\beta\int_{\mathbb{R}^N}vdx $$

(c)对于任意$u{\in}\mathcal{K}(\mathbb{R}^N)$使得

$$ u{\ge}0,\int_{\mathbb{R}^N}udx{\ge}0 $$

(d)对于任意序列$(u_n){\subset}\mathcal{K}(\mathbb{R}^N)$使得$u_n{\downarrow}0$,

$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_{\mathbb{R}^N}u_ndx=0 $$

证明:性质(a)到(c)是显然成立的。性质(d)从迪尼定理可以得到。由定义,存在$R>1$使得

$$ spt{\;}u_0{\subset}K=\left\{x{\in}\mathbb{R}^N:|x|_{\infty}{\le}R-1\right\} $$

由迪尼定理,$(u_n)$在$K$上一致收敛到0。因此

$$ 0{\le}\int_{\mathbb{R}^n}u_ndx{\le}(2R)^N\max_{x{\in}K}u_n(x){\to}0,{\quad}n{\to}\infty $$

上面的性质定义一个初等积分。他们足够用来构建勒贝格积分。

(具体)勒贝格积分是满足单调收敛性的黎曼积分的最小扩张,

(e)如果$(u_n)$是可积函数的一个递增序列使得

$$ \sup_n\int_{\mathbb{R}^n}u_ndx<\infty $$

则$u(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)$是可积的且

$$ \int_{\mathbb{R}^n}udx=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\mathbb{R}^n}u_ndx $$

且是线性的。

(f)如果$u$和$v$是可积函数且如果$\alpha$和$\beta$是实数,则

$$ \int_{\mathbb{R}^N}{\alpha}u+{\beta}vdx={\alpha}\int{u}dx+{\beta}\int{v}dx $$

让我们来勾勒一下(具体)勒贝格积分的构造。

由定义,函数$u$属于$\mathcal{L}^{+}(\mathbb{R}^N,dx)$如果存在一个$\mathcal{K}(\mathbb{R}^N)$中的单增函数序列$(u_n)$,使得$u_n{\uparrow}u$且

$$ \sup_n\int_{\mathbb{R}^N}u_ndx<\infty $$

积分,由公式定义

$$ \int_{\mathbb{R}^N}udx=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\mathbb{R}^N}u_ndx $$

满足性质(e)。我们将证明积分只依赖于$u$。

令$f,g{\in}\mathcal{L}^{+}(\mathbb{R}^N,dx)$。除了$f(x)=g(x)=+\infty$,则差$f(x)-g(x)$是适定的。一个$\mathbb{R}^N$的子集$S$是可忽略的如果存在$h{\in}\mathcal{L}^{+}(\mathbb{R}^N,dx)$使得对于任意$x{\in}S,h(x)=+\infty$。

由定义一个函数$u{\in}\mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N,dx)$,指的是如果存在$f,g{\in}\mathcal{L}^{+}(\mathbb{R}^N,dx)$使得$u=f-g$除了在一个$\mathbb{R}^N$上可以忽略的子集上。积分定义为

$$ \int_{\mathbb{R}^N}udx=\int_{\mathbb{R}^N}fdx-\int_{\mathbb{R}^N}gdx $$

满足性质(e)和(f)。我们将再次证明积分只依赖于$u$。

勒贝格积分将被构造在一个抽象的框架中,即初等积分,推广黎曼积分。

例子(积分的极限):不是总允许对极限和积分进行交换。

让我们定义,在$[0,1],u_n(x)=2nx(1-x^2)^{n-1}$。因为对于任意$x{\in}(0,1)$,

$$ \lim_{n{\to}\infty}\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=(1-x^2)<1 $$

$u_n$在$[0,1]$上逐点收敛到0。但是

$$ 0=\int^1_0\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)dx<\lim_{n{\to}\infty}\int^1_0u_n(x)dx=1 $$

2.2 勒贝格积分

初等积分是由Daniel在1918年定义的。

定义2.2.1

在集合$\Omega$上的一个初等积分是由于一个从$\Omega$到$\mathbb{R}$的向量函数空间$\mathcal{L}=\mathcal{L}(\Omega,\mu)$且由一个函数

$$ \mu:\mathcal{L}{\to}\mathbb{R}:u{\mapsto}\int_{\Omega}ud{\mu} $$

使得

$(\mathcal{J}_1)$:对于任意$u{\in}\mathcal{L},|u|{\in}\mathcal{L}$。

$(\mathcal{J}_2)$:对于任意$u,v{\in}\mathcal{L}$且对任意$\alpha,\beta{\in}\mathbb{R}$,

$$ \int_{\Omega}\alpha{u}+\beta{v}d{\mu}=\alpha\int_{\Omega}ud{\mu}+\beta\int_{\Omega}vd{\mu} $$

$(\mathcal{J}_3)$:对于任意$u{\in}\mathcal{L}$使得$u{\ge}0$,

$$ \int_{\Omega}ud{\mu}{\ge}0 $$

$(\mathcal{J}_4)$:对于任意序列$(u_n){\subset}\mathcal{L}$使得$u_n{\downarrow}0$,

$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu}=0 $$

命题2.2.2

令$u,v{\in}\mathcal{L}$,则$u^{+},u^{-},\max(u,v),\min(u,v){\in}\mathcal{L}$。

证明:我们重新回忆起$u^{+}=\max(u,0),u^{-}=\max(-u,0)$。

$$ \max(u,v)=\frac{1}{2}(u+v)+\frac{1}{2}|u-v|,\min(u,v)=\frac{1}{2}(u+v)=\frac{1}{2}|u-v| $$

命题2.2.3

令$u,v{\in}\mathcal{L}$为使得$u{\le}v$,则

$$ \int_{\Omega}ud{\mu}{\le}\int_{\Omega}vd{\mu} $$

证明:我们从$(\mathcal{J}_2)$和$(\mathcal{J}_3)$推导出:

$$ 0{\le}\int_{\Omega}v-ud{\mu}=\int_{\Omega}vd{\mu}-\int_{\Omega}ud{\mu} $$

定义2.2.4

一个基本序列是一个单增序列$(u_n){\subset}\mathcal{L}$使得

$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu}=\sup_n\int_{\Omega}u_nd{\mu}<\infty $$

就是单增且一致有界的序列。

定义2.2.5

$\Omega$的一个子集$S$是可以忽略的(相对于$\mu$)如果存在一个基本序列$(u_n)$使得对于任意$x{\in}S,\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)=+\infty$。一个性质几乎处处是真的,指的是如果$\Omega$的点集在一个可忽略集是假的。

让我们证明一个可忽略集的定义是正确的。

命题2.2.6

令$(u_n)$为$\mathcal{L}$的一个递减函数序列使得几乎处处$u_n{\ge}0$,$\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)=0$。则

$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu}=0 $$

分析:其条件是对于所有$x{\in}\Omega,u_n(x){\ge}0$且$u_{n+1}(x){\le}u_n(x)$。几乎处处有$\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)=0$。也即:存在一个可忽略集$S$,使得对$x{\in}X{\backslash}S,u_n(x){\to}0$。(这表示对$x{\in}S,u_n(x)$可以趋于$u(x)>0$)由可忽略集的定义,存在一个$\mathcal{L}$里的基本序列$v_n$,使得对$x{\in}S$,有$\lim_{n{\to}\infty}v_n(x)=+\infty$。

而要证明的结论为:$\lim_{n{\to}\infty}{\int}_{\Omega}u_nd{\mu}=0$(也就是,在$S$上,$u_n$可能不见得趋于0,但是积分还是趋于0)所以可忽略集直观上就是做微积分的时候可以忽略的集合。如果$u_n$点点趋于0,就是$\mathcal{J}_4$,结论就对了。

首先对$v_n$做修正,不妨假设$v_n(x){\ge}0$。这个不妨假指的是虽然存在的$v_n$不见得有这个非负性质,但是可以找到一个基本序列非负,并且也恰好在$S$上趋于正无穷,做法是用给定的$v_n$的正部$v_n^{+}$,也就是说$v_n^{+}$也是一个基本序列(就是说这个还是单调递增的且积分一致有界。)且对$x{\in}S,\lim_{n{\to}\infty}v_n^{+}(x)=+\infty$。我们把这些都验证一下。显然$\lim_{n{\to}\infty}v_n^{+}(x)=+\infty$当且仅当$\lim_{n{\to}\infty}v_n(x)=+\infty$,而且容易验证$v_n^{+}$是单调递增的,而$v^{-}_n$是单调递减的。且

$$ \int{v_n^{+}}d{\mu}=\int{v_n}{d\mu}+\int{v_n^{-}}d{\mu}{\le}c+\int{v_1^{-}}d{\mu} $$

所以积分一致有界。不妨假设就是还用原来的符号,但是这就有了非负性质。这里实际上还可以做一个更为简单的修正,就是取$v_n-v_1$,这个序列显然是非负的,且还是基本序列,还是在同一个集合上趋于正无穷。另外,对于任给的$\varepsilon>0$,因为积分一致有界(比如界是$c$),可以乘上一个适当的正的常数$\frac{\varepsilon}{c+1}$使得$\int_{\Omega}v_nd{\mu}{\le}\varepsilon$。就是乘完常数后还是基本序列,且对$x{\in}S,\lim_{n{\to}\infty}v_n(x)=+\infty$。

做完这两个修正后,为了简单起见,还是用$v_n$来表示。

下面令$w_n=(u_n-v_n)^{+}$,则$w_n{\ge}u_n-v_n,u_n{\le}w_n+v_n$。然后用积分公理$\mathcal{J}_3,\mathcal{J}_2$,得到

$$ 0{\le}\int_{\Omega}u_nd{\mu}{\le}\int_{\Omega}w_nd{\mu}+\int_{\Omega}v_nd{\mu} $$

验证对于任何$x,w_n(x){\downarrow}0$,再用$\mathcal{J_4}$,则有$\int_{\Omega}w_nd{\mu}{\to}0$。

关于验证对于任何$x$,点点$w_n(x){\downarrow}0$,可以分成$x{\in}S$和$x{\in}X{\backslash}S$来验证。如果没有$v_n(x){\ge}0$,就不能验证$w_n(x){\downarrow}0$。比如对某个$x,v_n(x){\to}a<0$,那么$w_n(x){\to}-a>0$。

证明:令$\varepsilon>0$。由假设,存在一个基本序列$(v_n)$使得如果$\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)>0$,则$\lim_{n{\to}\infty}v_n(x)=+\infty$。我们用$v_n^{+}$代替$v_n$,且我们乘以一个严格正的常数使得

$$ v_n{\ge}0,\int_{\Omega}v_nd{\mu}{\le}\varepsilon $$

我们定义$w_n=(u_n-v_n)^{+}$。则$w_n{\downarrow}0$,且我们从公理$(\mathcal{J}_4)$推导出

$$ \begin{aligned} 0{\le}\lim\int_{\Omega}u_nd{\mu}{\le}\lim\int_{\Omega}w_n+v_nd{\mu}&=\lim\int_{\Omega}w_nd{\mu}+\lim\int_{\Omega}v_nd{\mu}\\ &=\lim\int_{\Omega}v_nd{\mu}{\le}\varepsilon \end{aligned} $$

因为$\varepsilon>0$是任取的,证明完毕。

详细证明:设$\varepsilon>0$,因为$\lim_{n{\to}\infty}u_n=0$几乎处处成立,则存在一基本序列$(v_n)$,对于使$u_n(x)$不收敛于0的点$x$,有$\lim_{n{\to}\infty}v_n(x)=+\infty$。

由$v_n{\in}\mathcal{L}$推出$v_n^{+},v_n^{-}{\in}\mathcal{L}$,从而由

$$ \begin{aligned}&\sup_n(\int_{\Omega}v_n^{+}d{\mu})-\int_{\Omega}v_1^-d{\mu}\\=&\sup_n(\int_{\Omega}v_n^{+}d{\mu}-\int_{\Omega}v_1^{-}d\mu)\\{\le}&\sup_n(\int_{\Omega}v_n^{+}d{\mu}-\int_{\Omega}v_n^{-}d{\mu})\\=&\sup_n\int_{\Omega}v_nd{\mu}<\infty\end{aligned} $$

知道$\sup_n\int_{\Omega}v_n^{+}d{\mu}<+\infty$。于是可设$\int_{\Omega}v_n^{+}d{\mu}<M$,其中$M{\in}(0,+\infty)$。则有$(\frac{\varepsilon}{M}v_n^{+})$也是基本序列,且满足$\sup_n\int_{\Omega}\frac{\varepsilon}{M}v_n^{+}d{\mu}<\varepsilon$。再令$w_n=(u_n-\frac{\varepsilon}{M}v_n^{+})^{+}$,则有

$$ 0{\le}w_n{\le}u_n^{+}=u_n{\to}0 $$

且有$w_{n+1}=(u_{n+1}-\frac{\varepsilon}{M}v_{n+1}^{+})^{+}{\le}(u_n-\frac{\varepsilon}{M}v_n^{+})^{+}=w_n(x)$。因此由$(\mathcal{J}_4)$知道有$\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}w_nd{\mu}=0$。

又由$w_n{\ge}u_n-\frac{\varepsilon}{M}v_n^{+}$得到$u_n{\le}w_n+\frac{\varepsilon}{M}v_n^{+}$。于是有

$$ \begin{aligned}0{\le}\lim\int_{\Omega}u_nd{\mu}{\le}\lim\int_{\Omega}(w_n+\frac{\varepsilon}{M}v_n^{+})d{\mu}&=\lim\int_{\Omega}w_nd{\mu}+\lim\int_{\Omega}\frac{\varepsilon}{M}v_n^{+}d{\mu}\\&=\lim\int_{\Omega}\frac{\varepsilon}{M}v_n^{+}d{\mu}{\le}\varepsilon\end{aligned} $$

然后由$\varepsilon$的任意性就可以得到结论

命题2.2.7

令$(u_n)$和$(v_n)$为基本序列使得几乎处处

$$ u(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x){\le}\lim_{n{\to}\infty}v_n(x)=v(x) $$

$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu}{\le}\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}v_nd{\mu} $$

分析:首先条件:有两个基本序列$u_n,v_n$,由定义,它们都是点点收敛,也即$\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)=u(x),\lim_{n{\to}\infty}v_n(x)=v(x)$,由假设几乎处处有$u(x){\le}v(x)$,就是存在一个可忽略集$S$,对于$x{\in}X{\backslash}S$,有$u(x){\le}v(x)$。

要证明:$\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu}{\le}\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}v_nd{\mu}$,这两个数就是我们要定义的$u$和$v$的勒贝格积分的值。

证明思路:注意到这里$u_n$和$v_n$是没有假设可以比较的。对于固定的$k$,可以定义$w_n=(u_k-v_n)^{+}$是一个关于$n$的序列。可以验证$w_n$是满足命题2.2.6的条件的一个序列,所以就有$\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}w_n(x)d{\mu}=0$。再计算一下就可以证明。

证明:我们取定$k$,且定义$w_n=(u_k-v_n)^{+}$。则$(w_n){\subset}\mathcal{L}$是一个正函数的递减序列使得几乎处处有

$$ {\lim}w_n(x)=(u_k(x)-v(x))^{+}{\le}(u(x)-v(x))^{+}=0 $$

我们从上述命题推导出

$$ \int_{\Omega}u_kd{\mu}{\le}\lim\int_{\Omega}w_n+v_nd{\mu}=\lim\int_{\Omega}w_nd{\mu}+\lim\int_{\Omega}v_nd{\mu}=\lim\int_{\Omega}v_nd{\mu} $$

因此$k$是任意的,则证毕。

详细证明:任取$k$,定义$w_n=(u_k-v_n)^{+}$,由$\mathcal{L}$是一个线性空间,且$(\mathcal{J}_1)$,容易得到$w_n{\in}\mathcal{L}$。又由于$u_n$的单调性得到

$$ w_n=(u_k-v_n)^{+}{\ge}(u_k-v_{n+1})^{+}=w_{n+1} $$

得到$(w_n)$是一个递减的序列,因为$u{\le}v$几乎处处成立,因此有

$$ {\lim}w_n(x)=(u_k(x)-v(x))^{+}{\le}(u(x)-v(x))^{+}=0 $$

几乎处处成立,从而有

$$ \int_{\Omega}u_kd{\mu}{\le}\lim\int_{\Omega}w_n+v_nd{\mu}=\lim\int_{\Omega}w_nd{\mu}+\lim\int_{\Omega}v_nd{\mu}=\lim\int_{\Omega}v_nd{\mu} $$

在上式两端对$k{\to}\infty$取极限即可得到结论。

小总结

关于大的框架,已经说过有两个平行的线索。抽象的是从$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$出发(只要满足定义2.2.1的四个公理条件)。我们要一步步扩大考虑的函数的范围:

$$ \mathcal{L}(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{L}^1(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{M}(\Omega,\mu) $$

而$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$里的函数就是由$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$里基本序列点点收敛定义的那些函数,这些函数允许在某些点上取值为正无穷,但是还是不能取负无穷。$\mathcal{L}^1(\Omega,\mu)$是由$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$里两个函数的差给出(所以就可以取到负无穷了)。这个就是勒贝格可积函数的空间了,每个函数的勒贝格积分值都是有限的。最后还有$\mathcal{M}(\Omega,\mu)$,我们称之为勒贝格可测函数的空间,比如在$\mathbb{R}$上,$u(x)=1$就是很好的函数,但是其积分是无穷,这就是个可测函数,但是不可积,可测函数是由$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$里面函数点点极限定义的。

具体的勒贝格积分的线索是,$\Omega$是$\mathbb{R}^N$里面的一个开集,$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$就是$\mathcal{K}(\Omega)$,和在$\Omega$上的黎曼积分,我们可以用$\Omega=\mathbb{R}$来想问题。

Last modification:April 13th, 2020 at 10:39 pm
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