积分

导读

首先复习上次的内容，由$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$出发，定义2.2.8来定义$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$的函数。就是$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$某个基本序列$u_n$点点收敛的极限$u(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)$。而$\mathcal{L}^{1}(\Omega,\mu)$里的函数用$u=f-g{\;}{a.e}$定义，这里$f,g{\in}\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$。所以存在$f_n,g_n{\subset}\mathcal{L}(\Omega,\mu)$使得$u$是$f_n-g_n$几乎处处收敛的极限。那么随便给一个$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$里的序列$u_n$，假设几乎处处收敛到一个函数$u,u$不见得是勒贝格可积的，但是应该是比较好的函数。这就是我们下面要定义的可测函数。

一，大框架上，我们已经走到了最后一步：

$$ \mathcal{L}(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{L}^1(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{M}(\Omega,\mu) $$

本节的第一个定义，定义2.2.19，是定义可测空间，

$$ \mathcal{M}(\Omega,\mu)=\left\{u:\Omega{\to}\mathbb{R},a.e.:存在(u_n){\subset}\mathcal{L}(\Omega,\mu)使得u_n{\to}u,a.e.\right\} $$

就是$u$是几乎处处有限，且是$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$某个函数列几乎处处收敛的极限。我们称这些函数$\mu-$可测函数。下面我们会定义$\mu$测度，这些函数就是关于测度$\mu$可测的可测函数。注意到$\mathcal{L}^1(\Omega,\mu){\subset}\mathcal{M}(\Omega,\mu)$，但是不见得会相等（可以相等）。例如考虑$\mathcal{K}(\mathbb{R})$情形，$u(x)=1,u{\not\in}\mathcal{L}^1,u{\in}\mathcal{M}$。按照书上的符号，对于非负函数$u{\in}\mathcal{M}{\backslash}\mathcal{L}^1$，定义${\int}ud{\mu}=+\infty$。

定义2.2.25就是定义$\Omega$里子集的可测性和测度。$A{\subset}\Omega$被称为$\mu-$可测的如果$\chi_A{\in}\mathcal{M}(\Omega,\mu)$。这时$A$的$\mu-$测度定义为$\mu(A)={\int}_X\chi_Ad{\mu}$。（不见得所有的集合都是可测的！）

这时在抽象框架下的$\mu-$测度和$\mu-$可测集合定义。具体到欧式空间$\mathbb{R}^N$勒贝格测度的定义在定义2.2.35，$\Omega$是$\mathbb{R}^N$中一个开集（所以可以就取为$\mathbb{R}^N$）,$\mathcal{K}(\Omega)$加上黎曼积分就是$\mathcal{L}$，生成的$\mathcal{L}^1$可以定义测度，叫做勒贝格测度，则$\Omega$的一个可测子集的勒贝格测度定义为

$$ m(A)=\int_A\chi_Adx $$

注意我们给这个特殊的测度一个符号$m(A)$，一般书上都是这个符号。

二，具体的内容和小的细节

命题2.2.20是$\mathcal{M}(\Omega,\mu)$基本性质。证明留作作业。

引理2.2.21，2.2.22，2.2.23这三个引理是用来证明定理2.2.24的。定理2.2.24是给出$\mathcal{M}(\Omega,\mu)$的另一个刻画：$\mathcal{M}(\Omega,\mu)$里面函数列几乎处处收敛的几乎处处有限的极限还是可测函数。按照定义，是用$\mathcal{L}$里函数列几乎处处极限，这个定理说$\mathcal{M}$里函数列几乎处处极限还在里面。请用下面这个陈述：

定理2.2.24：令$(u_n){\subset}\mathcal{M}(\Omega,\mu)$为几乎处处收敛的一个序列，收敛到几乎处处有限的极限$u$，则$u{\in}\mathcal{M}(\Omega,\mu)$。

那上面的引理分别考虑$\mathcal{L}^{+},\mathcal{L}^1,\mathcal{M}$中几乎处处单增函数列的极限，证明还在$\mathcal{M}$里。也即有

$$ 2.2.1{\Rightarrow}2.2.22{\Rightarrow}2.2.23{\Rightarrow}2.2.24 $$

命题2.2.26总结了抽象测度的一般性质。证明留作作业。

命题2.2.27：一个$\Omega$的子集是可以忽略的当且仅当其是可测的且测度为0。这个就是说可忽略集等价于零测集可测集。有了这个结论，以后说几乎处处成立，就是去掉一个零测度集成立。（这就是一般书上定义几乎处处收敛的方式）。

从定义2.2.28开始到2.2.34是为讨论欧式空间的勒贝格测度性质做准备。这个时候需要一个额外的公理。

$J_5$：一个正测度对$\mathcal{L}$有个要求：对于任意$u{\in}\mathcal{L}{\Rightarrow}\min\left\{u,1\right\}{\in}\mathcal{L}$。

显然对欧式空间的黎曼积分，$\mathcal{K}(\Omega)$满足这个形式。

下面讨论都假设对正测度进行，直到2.2.34。

定理2.2.36总结了$\mathbb{R}^N$上勒贝格测度$m$的基本性质。注意在抽象测度讨论里面，没有拓扑的性质加进去。在$\mathbb{R}^N$上我们看到，拓扑性质起了很大作用。

推论2.2.37是说$\mathbb{R}$上勒贝格测度$m$的性质和我们原来的常识是一致的，也即闭区间，开区间的测度都是它们的长度。一个点是可忽略集，则可数点集也是可忽略集。

然后举了一个例子将我们黎曼积分中的反常积分也纳入勒贝格积分框架。注意勒贝格积分是绝对可积的，也即取了绝对值也是可积的。有些反常积分不是绝对可积的不是勒贝格可积的。

最下面的例子就是康托集，其实就是一族这样的集合。我们可以先考虑一个特殊的例子，取$l_n=\frac{1}{3^{n+1}},n=0,1,2,{\cdots}$，所以$\sum^{\infty}_{n=0}2^nl_n=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{2^n}{3^{n+1}}=1$，也即$\varepsilon=1$。

我们归纳地构建一个$[0,1]$区间里的子集合$C$：第一步把$[0,1]$分为三等分，去掉中间的长度$1/3$的开区间$(1/3,2/3)$，得到两个闭区间。每个长度$1/3$。

第二步：三等分每个剩下的闭区间，去掉每个中间的长度$\frac{1}{3^2}$的开区间，得到$2^2$个闭区间，每个长度$\frac{1}{3^2}$，第$n$步，三等分每个闭区间，去掉每个中间的开区间，得到$2^n$个闭区间，每个长度$\frac{1}{3^n}$，依次下取，剩下的点构成的集合就是$C$。由构造，把每次去掉的开区间的长度加起来就是$1$，所以剩下的集合有测度为0.这个康托集的有些性质列在书上，其中之一是说$C$不是可数集，虽然它的测度是0，是可忽略集。

其他取$\varepsilon{\in}(0,1]$，构造出类似的集合，测度是$1-\varepsilon$，正测度集。这些集合都不含有内点。

（非负可测函数积分的事情）命题2.2.20后把不在$\mathcal{L}^1$里的非负可测函数也定义积分，积分值是正无穷。

对于给定的$u{\ge}0,u{\in}\mathcal{M}$，存在一个函数序列$(u_n){\subset}\mathcal{L}$，使得$u_n{\to}u$几乎处处成立（当$n{\to}\infty$）我们假设$u_n{\ge}0$。设$U_k=\inf_{k{\le}n}u_n$。则$u=\lim_{k{\to}\infty}\inf_{k{\le}n}u_n=\lim_{k{\to}\infty}U_k$几乎处处成立。因为

$$ U_k=\lim_{m{\to}\infty}\inf_{k{\le}n{\le}m}u_n,\inf_{k{\le}n{\le}m}u_n{\downarrow}U_k{\quad}as{\;}m{\to}\infty $$

且$\inf_{k{\le}n{\le}m}u_n{\le}u_k$。由勒贝格控制收敛定理（或者用莱维定理）有$U_k{\in}\mathcal{L}^1$。我们也有$U_k{\uparrow}u$几乎处处成立。

如果$\sup_k\int{U_k}d{\mu}<\infty$，由莱维定理，$u{\in}\mathcal{L}^1$且$\int{u}d{\mu}=\lim_{k{\to}\infty}U_kd{\mu}$。

如果$\sup_k\int{U_k}d{\mu}=\infty$，也即$\lim_{k{\to}\infty}\int{U_k}d{\mu}=+\infty$，则我们定义$\int{u}d{\mu}=+\infty$。

用这个修正，则对于任意$u{\ge}0,u{\in}\mathcal{M}$，我们有一个$u$的积分，有限或者无限。

我们也有单调的性质，$u,v{\in}\mathcal{M},u{\ge}v{\ge}0$几乎处处成立，则$\int{u}d{\mu}{\ge}\int{v}d{\mu}$。

定义2.2.19

一个实函数$u$在$\Omega$上几乎处处定义为可测的（相对于$\mu$）是指：如果存在$(u_n){\subset}\mathcal{L}$使得$u_n{\to}u$几乎处处。我们记在$\Omega$上的可测函数空间（相对于$\mu$）为$\mathcal{M}=\mathcal{M}(Q,\mu)$。

命题2.2.20

（a）$\mathcal{L}{\subset}\mathcal{L}^{+}{\subset}\mathcal{L}^1{\subset}\mathcal{M}$。

（b）如果$u{\in}\mathcal{M}$，则$|u|{\in}\mathcal{M}$。

（c）如果$u,v{\in}\mathcal{M}$且如果$\alpha,\beta{\in}\mathbb{R}$，则$\alpha{u}+\beta{v}{\in}\mathcal{M}$。

（d）如果$u{\in}\mathcal{M}$且如果，几乎处处，$|u|{\le}f{\in}\mathcal{L}^1$，则$u{\in}\mathcal{L}^1$。

证明：性质（d）可以从对比定理推出。

记号：令$u{\in}\mathcal{M}$使得$u{\ge}0$且$u{\not\in}\mathcal{L}^1$。我们记$\int_{\Omega}ud{\mu}=+\infty$。因此，可测非负函数的积分总是存在的。

几乎处处收敛，可测性得以保持。

这里证明$\mathcal{L}{\subset}\mathcal{L}^{+}{\subset}\mathcal{L}^1{\subset}\mathcal{M}$要注意到，前三个集合是用积分定义的，最后一个$\mathcal{M}$是用几乎处处收敛定义的。也即，$u{\in}\mathcal{M}$要满足两点：$u$是几乎处处有限值，$u$是$\mathcal{L}$里一个序列几乎处处的极限。

证明：

（a）对于${\forall}u{\in}\mathcal{L}$，也即有对于${\forall}n$，取到$u_n=u$，则$u_n$单调递增，且${\forall}n,\int{u_n}d{\mu}{\le}\int{u}d{\mu}<+\infty$。故有$(u_n)$为$\mathcal{L}$中的初等序列，且$u_n{\uparrow}u$，故此有$u{\in}\mathcal{L}^{+}$，也即$\mathcal{L}{\subset}\mathcal{L}^{+}$。

对于$u{\in}\mathcal{L}^{+}$，容易知道$v{\equiv}0,v{\in}\mathcal{L}^{+}$（取$v_n=0$，则$(v_n)$为$\mathcal{L}$上的初等序列，且$v_n{\uparrow}u$）则$u=u-0{\;}a.e.$，故此有$u{\in}\mathcal{L}^1$，也即$\mathcal{L}^{+}{\subset}\mathcal{L}^1$。

对于${\forall}u{\in}\mathcal{L}^1,{\exists}f,g{\in}\mathcal{L}^{+}$，使得$u=f-g{\;}a.e.$，又${\exists}(f_n),(g_n){\subset}\mathcal{L}$，且$(f_n),(g_n)$都是初等序列，且$f_n{\uparrow}f,g_n{\uparrow}g$，令$u_n=f_n-g_n$，则$u_n{\in}\mathcal{L}$，且$u_n{\to}u{\;}a.e$，故此有$u{\in}\mathcal{M}$，也即$\mathcal{L}^1{\subset}\mathcal{M}$。

（b）由条件已知$u{\in}\mathcal{M}$，则存在$(u_n){\subset}\mathcal{L}$，使得$u_n{\to}u{\;}a.e$，令$v_n=|u_n|$，则$v_n{\in}\mathcal{L}$且$v_n{\to}|u|{\;}a.e.$，故此有$|u|{\in}\mathcal{M}$。

（c）由条件有$u,v{\in}\mathcal{M}$，则${\exists}(u_n),(v_n){\subset}\mathcal{L}$，使得$u_n{\to}u,v_n{\to}v{\;}a.e$，令$w_n=\alpha{u_n}+\beta{v_n}$，则$w_n{\in}\mathcal{L}$且$w_n{\to}\alpha{u}+\beta{v}{\;}a.e$，则$\alpha{u}+\beta{v}{\in}\mathcal{M}$。

（d）由条件有$u{\in}\mathcal{M}$，则${\exists}(u_n){\subset}\mathcal{L}{\subset}\mathcal{L}^1$，使得$u_n{\to}u{\;}a.e.$，且$|u|{\le}f{\in}\mathcal{L}^1{\;}a.e.$，由定理2.2.18知道$u{\in}\mathcal{L}^1$。

引理2.2.21

令$(u_n){\subset}\mathcal{L}^{+}$为一个几乎处处递增序列收敛到一个几乎处处有限函数$u$，则$u{\in}\mathcal{M}$。

该证明的技巧就是证明命题2.2.10里面用过的。

证明：对于任意$k$，存在一个基本序列$(u_{k,n})$使得$u_{k,n}{\uparrow}u_k$。递增序列$v_n=\max(u_{1,n},{\cdots},u_{n,n})$收敛到$v$，且几乎处处

$$ v_n{\le}\max(u_1,{\cdots},u_n)=u_n $$

对于$k{\le}n$，我们有，几乎处处$u_{k,n}{\le}v_n{\le}u_n$。因此几乎处处，$u_k{\le}v{\le}u$。现在很容易得出结论。

引理2.2.22

令$(u_n){\subset}\mathcal{L}^1$为一个递增序列收敛到一个几乎处处有限函数$u$，则$u{\in}\mathcal{M}$。

该引理证明用到了引理2.2.21的结论，和定理2.2.15证明的想法。

证明：由引理2.2.14，对于任意$n{\ge}1$存在$v_n,w_n{\in}\mathcal{L}^{+}$使得几乎处处

$$ 0{\le}u_n-u_{n-1}=v_n-w_n,w_n{\ge}0,\int_{\Omega}w_nd{\mu}{\le}1/2^n $$

命题2.2.10和前面的引理蕴含着

$$ \sum^{\infty}_{n=1}w_n=w{\in}\mathcal{L}^{+},\sum^{\infty}_{n=1}v_n=v{\in}\mathcal{M} $$

因为几乎处处，$u=v-w+u_0,u{\in}\mathcal{M}$。

引理2.2.23

令$(u_n){\subset}\mathcal{M}$为一个递增序列收敛到一个几乎处处有限函数$u$，则$u{\in}\mathcal{M}$。

该引理的证明再次用到命题2.2.10时用过的构造特殊序列的方法。当然也用到引理2.2.22的结论。证明里的$u_{k,n}$几乎处处收敛到$u$，但可能不是单增的收敛，所以做一个变化，定义

$$ v_{k,n}=\inf_{m{\ge}n}u_{k,m},-v_{k,n}=\lim_{t{\to}\infty}(-\min_{n{\le}m{\le}t}(-u_{k,m}))=\lim_{t{\to}\infty}\max_{n{\le}m{\le}t}(-u_{k,m}){\in}\mathcal{L}^1 $$

（因为$\max_{n{\le}m{\le}l}(-u_{k,m})$关于$l$是几乎处处单增的且积分一致小于等于0，所以可以用莱维单调收敛定理证明极限是$\mathcal{L}^1$的）这样我们就有$\mathcal{L}^1$序列$v_{k,n}$，当$n{\to}\infty$单增几乎处处收敛到$u_k$。下面的证明就和命题2.2.10时用过的构造类似了。

证明：用$u_n-u_0$代替$u_n$，我们可以假设$u_n{\ge}0$。对于任意$k$，存在一个序列$(u_{k,m}){\subset}\mathcal{L}$几乎处处收敛到$u_k$。我们可以假设$u_{k,m}{\ge}0$。由莱维定理，

$$ v_{k,n}=\inf_{m{\ge}n}u_{k,m}{\in}\mathcal{L}^1 $$

对于任意$k,(v_{k,n})$是递增的且几乎处处收敛到$u_k$。我们定义

$$ v_n=\max(v_{1,n},{\cdots},v_{n,n}){\in}\mathcal{L}^1 $$

序列$(v_n)$是递增的且几乎处处收敛到$u$。由上面的引理，$u{\in}\mathcal{M}$。

定理2.2.24

令$(u_n){\subset}\mathcal{M}$为一个序列几乎处处收敛到一个有限极限，则$u{\in}\mathcal{M}$。

该定理用到引理2.2.23的结论，就是化归到2.2.23的情形。这几个的证明都是一个化归为前一个。该证明里，因为有几乎处处极限，极限也是上极限。$\lim_{n{\to}\infty}u_n=\lim_{k{\to}\infty}\sup_{k{\ge}n}u_k$，而$v_k=\sup_{k{\ge}n}u_k$是单调递减的，所以$-v_k$单调递增，可以用上一个命题证明

$$ \lim_{k{\to}\infty}(-v_k)=\sup_{k}(-v_k){\in}\mathcal{M} $$

证明：由上面的引理，

$$ v_k=\sup_{n{\ge}k}u_n{\in}\mathcal{M}且\lim{u_n}=-\sup_k(-v_k){\in}\mathcal{M} $$

可测函数类是在几乎处处收敛条件下闭的包含$\mathcal{L}$的最小类。

定义2.2.25

$\Omega$的一个子集$A$是可测的（相对于$\mu$），指的是如果$A$的特征函数是可测的。$A$的测度定义为

$$ \mu(A)=\int_{\Omega}\chi_Ad{\mu} $$

命题2.2.26

令$A$和$B$为可测集合，且令$(A_n)$为一个可测集序列。则$A{\backslash}B,\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n$，且$\bigcap^{\infty}_{n=1}A_n$是可测的，且

$$ \mu(A{\cup}B)+\mu(A{\cap}B)=\mu(A)+\mu(B) $$

此外，如果对于任意$n,A_n{\subset}A_{n+1}$，则

$$ \mu\left(\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n\right)=\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_n) $$

此外，如果$\mu(A_1)<\infty$，且对于任意$n,A_{n+1}{\subset}A_n$，则

$$ \mu\left(\bigcap^{\infty}_{n=1}A_n\right)=\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_n) $$

该命题是讨论测度基本性质。因这里测度使用可测集合特征函数的积分定义，所以要证明等式，就是把要证的集合特征函数表达为一致的可测函数的某种组合或允许的运算。

例如已知$A,B$可测，要证$A{\backslash}B$可测。就是已知$\chi_A,\chi_B$可测函数，要证$\chi_{A{\backslash}B}$是可测函数。

这里给出$\chi_{A{\backslash}B}=\chi_A-\min\left\{\chi_A,\chi_B\right\}$。就是点点验证这个等式。

对$x{\in}A{\backslash}B,\chi_A(x)=1,\chi_B(x)=0,\min\left\{\chi_A,\chi_B\right\}(x)=0$。

而对于$x{\neq}A{\backslash}B$且$x{\in}A{\cup}B,\chi_A(x)=1,\chi_B(x)=1,\min\left\{\chi_A,\chi_B\right\}(x)=1$。

对于$x{\neq}A{\backslash}B$且$x{\not\in}A{\cup}B,\chi_A(x)=0,\chi_B(x)=0,\min\left\{\chi_A,\chi_B\right\}(x)=0$。于是可以确定是可测函数。

其他几个也是要做同样的事情。另外还要用到定理2.2.15（莱维单调收敛定理）来取极限。

再说一个情况：$A_n$可测且$A_n{\subset}A_{n+1}$，则

$$ \mu\left(\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n\right)=\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_n) $$

首先验证

$$ \chi_{\cup^{\infty}_{n=1}A_n}=\lim_{n{\to}\infty}\max\left\{\chi_{A_1},{\cdots},\chi_{A_n}\right\} $$

也就是点点验证两个函数相等。然后用莱维单调收敛定理对积分取极限。两边或同时是无穷的或者同时是有限的。

最后的性质，$\mu(A_1)<\infty$（或从某个$n,\mu(A_n)<\infty$），很重要，我们可以想个反例：如果没有这个条件，结论是不成立的。

这最后的两个性质一般称为测度的上连续性和下连续性。

该命题的叙述：假设条件是$A,B$可测集合，$A_n$可测集。要证明：

（1）$A{\backslash}B$可测。

（2）$\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n$可测。

（3）$\bigcap^{\infty}_{n=1}A_n$可测。

（4）$\mu(A{\cup}B)+\mu(A{\cap}B)=\mu(A)+\mu(B)$。

（5）额外假设，对任何$n,A_n{\subset}A_{n+1}$，则$\mu(\bigcup_{n=1}A_n)=\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_n)$。

（6）额外假设，对任何$n,A_{n+1}{\subset}A_n$，且$\mu(A_1)<\infty$，则$\mu(\bigcap_{n=1}A_n)=\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_n)$。

要点：前三个是证明可测性，就是证明相关的集合的特征函数是可测函数。首先可以点点验证：$\chi_{A{\backslash}B}=\chi_A-\min\left\{\chi_A,\chi_B\right\}$。这个和集合可测不可测无关。

下面证明是这样的：由$A,B$可测，（等价于）有$\chi_A,\chi_B$可测函数，由命题2.2.20（b）和（c），则有$\min\left\{\chi_A,\chi_B\right\}$可测，从而$\chi_A-\min\left\{\chi_A,\chi_B\right\}$可测，也即$\chi_{A{\backslash}B}$可测，所以由定义$A{\backslash}B$可测。

类似可以用

$$ \chi_{A{\cap}B}=\min\left\{\chi_A,\chi_B\right\} $$

和

$$ \chi_{A{\cup}B}=\max\left\{\chi_A,\chi_B\right\} $$

证明$A{\cap}B,A{\cup}B$可测。

（2）（3）证明类似，上面已经给出了等式，只需要验证即可。还要用到定理2.2.24和（2）里面的

$$ \chi_{\cup^{\infty}_{n=1}A_n}=\lim_{n{\to}\infty}\max\left\{\chi_{A_1},{\cdots},\chi_{A_n}\right\} $$

可以用点点验证，再用定理2.2.24知道左边的函数是可测函数。

后面三个（4）（5）（6）是证明测度的等式。也即对特征函数积分后的等式。

（4）只需要验证上面给出的等式后积分即可。

（5）因为有集合列单增的性质，先验证$\max\left\{\chi_{A_1},{\cdots},\chi_{A_n}\right\}=\chi_{A_n}$且$\chi_{A_n}$是单增列。如果$\lim_{n{\to}\infty}\int{\chi_{A_n}}$有限，则可以用莱维定理得到结论。如果$\lim_{n{\to}\infty}\int\chi_{A_n}=\infty$，由积分单增性，有

$$ \int{\chi_{\cup_{n=1}A_n}}d{\mu}{\ge}\int\chi_{A_n}d{\mu},\mu(\cup_{n=1}A_n)=\int\chi_{\cup_{n=1}A_n}d{\mu}=\infty $$

（6）已假设$\mu(A_1)<\infty$，所以没有无穷的问题处理。但是如果没有这个条件，结论也可以不成立，可以想一个反例。

证明：注意到

$$ \chi_{A{\cup}B}+\chi_{A{\cap}B}=\max(\chi_A,\chi_B)+\min(\chi_A,\chi_B)=\chi_A+\chi_B,\\ \chi_{A{\backslash}B}=\chi_A-\min(\chi_A,\chi_B),\\ \chi_{\cup^{\infty}_{n=1}A_n}=\lim_{n{\to}\infty}\max(\chi_A,{\cdots},\chi_{A_n}),\\ \chi_{\cap^{\infty}_{n=1}A_n}=\lim_{n{\to}\infty}\min(\chi_A,{\cdots},\chi_{A_n}). $$

这个命题从前面的定理和莱维定理出发。

证明：

$$ (x{\in}A{\backslash}B){\Rightarrow}(\chi_A(x)=1且\chi_B(x)=0){\Rightarrow}\chi_{A{\backslash}B}(x)=1=\chi_{A}(x)-\min(\chi_A(x),\chi_B(x))\\(x{\in}A且x{\in}B){\Rightarrow}(\chi_A(x)=1且\chi_B(x)=1){\Rightarrow}\chi_{A{\backslash}B}(x)=0=\chi_{A}(x)-\min(\chi_A(x),\chi_B(x))\\(x{\not\in}A且x{\not\in}B){\Rightarrow}(\chi_A(x)=0且\chi_B(x)=0){\Rightarrow}\chi_{A{\backslash}B}(x)=0=\chi_{A}(x)-\min(\chi_A(x),\chi_B(x))\\(x{\in}B{\backslash}A){\Rightarrow}(\chi_A(x)=0且\chi_B(x)=1){\Rightarrow}\chi_{A{\backslash}B}(x)=0=\chi_{A}(x)-\min(\chi_A(x),\chi_B(x)) $$

因此得出$\chi_{A{\backslash}B}=\chi_{A}(x)-\min(\chi_A(x),\chi_B(x)){\in}\mathcal{M}$，从而$A{\backslash}B$可测。

类似可以证明

$$ \chi_{A{\cup}B}+\chi_{A{\cap}B}=\max(\chi_A,\chi_B)+\min(\chi_A,\chi_B)=\chi_A+\chi_B $$

从而有

$$ \begin{aligned}\mu(A{\cup}B)+\mu(A{\cap}B)&=\int_{\Omega}(\chi_{A{\cup}B}+\chi_{A{\cap}B})d{\mu}\\&=\int_{\Omega}(\chi_A+\chi_B)\\&=\mu(A)+\mu(B)\end{aligned} $$

因为对于任意$x$，有

$$ x{\in}\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n{\Rightarrow}{\exists}n,x{\in}A_n{\Rightarrow}{\exists}n,\chi_{A_n(x)}=1{\Rightarrow}\lim_{n{\to}\infty}(\chi_{A_1},{\cdots},\chi_{A_n})(x)=1=\chi_{\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n}(x)\\x{\not\in}\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n{\Rightarrow}{\forall}n,x{\not\in}A_n{\Rightarrow}{\forall}n,n{\in}\mathbb{N},\chi_{A_n}(x)=0{\Rightarrow}\lim_{n{\to}\infty}(\chi_{A_1},{\cdots},\chi_{A_n})(x)=0=\chi_{\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n}(x) $$

我们有

$$ \chi_{\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n}=\lim_{n{\to}\infty}\max(\chi_{A_1},{\cdots},\chi_{A_n}){\in}\mathcal{M} $$

类似地我们也有

$$ \chi_{\bigcap^{\infty}_{n=1}A_n}=\lim_{n{\to}\infty}\min(\chi_{A_1},{\cdots},\chi_{A_n}){\in}\mathcal{M} $$

当$(A_n)$递增的时候，$\chi_{A_n}$递增，从而有

$$ \chi_{\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n}=\lim_{n{\to}\infty}\max(\chi_{A_1},{\cdots},\chi_{A_n})=\lim_{n{\to}\infty}\chi_{A_n} $$

故此

$$ \begin{aligned}\mu(\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n)&=\int_{\Omega}\chi_{\bigcup^{\infty}_{n=1}A_n}d{\mu}\\&=\int_{\Omega}\lim_{n{\to}\infty}\chi_{A_n}d{\mu}\\&=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}\chi_{A_n}d{\mu}\\&=\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_n)\end{aligned} $$

若$\mu(A_1)<+\infty$，且$(A_n)$为递减集列时，则$(A_1{\backslash}A_n)$为递增集列，从而

$$ \begin{aligned}\mu(A_1)-\mu(\bigcap^{\infty}_{n=1}A_n)&=\mu(A_1{\backslash}\bigcap^{\infty}_{n=1}A_n)\\&=\mu(\bigcup^{\infty}_{n=1}A_1{\backslash}A_n)\\&=\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_1{\backslash}A_n)\\&=\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_1)-\mu(A_n)\\&=\mu(A_1)-\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_n)\end{aligned} $$

由$\mu(A_1)<+\infty$得到

$$ \mu(\bigcap^{\infty}_{n=1}A_n)=\lim_{n{\to}\infty}\mu(A_n) $$

命题2.2.27

$\Omega$的一个子集是可忽略的当且仅当它是可测的且其测度等于0。

证明：令$A{\subset}\Omega$为一个可忽略集。因为$\chi_A=0$几乎处处成立，我们由定义有$\chi_A{\in}\mathcal{L}^1$且$\mu(A)=\int_{\Omega}\chi_Ad{\mu}=0$。

令$A$为一个可测的集合使得$\mu(A)=0$。对于任意$n,\int_{\Omega}n\chi_Ad{\mu}=0$。由莱维定理，$u=\lim_{n{\to}\infty}n\chi_A{\in}\mathcal{L}^1$。因为$u$是几乎处处有限的且$u(x)=+\infty$在$A$上成立，集合$A$是可忽略的。

下面定义中的假设将用来证明当函数$u{\ge}0$是可测的时，集合$\left\{u>t\right\}$是可测的。

定义2.2.28

一个在$\Omega$上的一个正测度是一个初等积分$\mu:\mathcal{L}{\to}\mathbb{R}$在$\Omega$上，使得

$$ (\mathcal{J}_5)对于任意u{\in}\mathcal{L},\min(u,1){\in}\mathcal{L} $$

命题2.2.29

令$\mu$为一个在$\Omega$上的一个正测度，$u{\in}\mathcal{M}$，且$t{\ge}0$。则$\min(u,t){\in}\mathcal{M}$。

从这个命题开始，结论都假设了正测度的性质，也就是满足$\mathcal{J}_5$.

证明：如果$t=0,\min(u,0)=-u^{-}{\in}\mathcal{M}$，令$t>0$，则有一个序列$(u_n){\subset}\mathcal{L}$几乎处处收敛到$u$。则$v_n=t\min(t^{-1}u_n,1){\in}\mathcal{L}$且$v_n{\to}\min(u,t)$几乎处处成立。

定理2.2.30

令$\mu$是在$\Omega$上一个正测度且令$\mu:\Omega{\to}[0,+\infty]$为几乎处处有限的。下面的性质是等价的：

（a）$u$是可测的。

（b）对于任何$t{\ge}0,\left\{u>t\right\}=\left\{x{\in}\Omega:u(x)>t\right\}$是可测的。

该定理是刻画非负可测函数的性质，用下半水平集作为集合是否可测集合来刻画（有点像连续函数下半水平集是否开集，或者下半连续函数下半水平集是否开集）。

（b）推出（a）这里有个公式$(*)$：

$$ u_n=\frac{1}{2^n}\sum^{\infty}_{k=1}\chi_{\left\{u>k/2^n\right\}}\tag{*} $$

我们可以画图看看$n=1,2$时$u_n$的图形，就是用分段（或者更精确地说是分集合）常数的函数逼近于原来的$u$。

证明：假设$u$是可测的。对于任意$t{\ge}0$且$n{\ge}1$，上面的命题蕴含着

$$ u_n=n[\min(u,t+1/n)-\min(u,t)] $$

是可测的。于是从定理2.2.24知道

$$ \chi_{\left\{u>t\right\}}=\lim_{n{\to}\infty}u_n{\in}\mathcal{M} $$

因此$\left\{u>t\right\}$是可测的。

假设$u$满足（b）。让我们定义，对于$n{\ge}1$，函数

$$ u_n=\frac{1}{2^n}\sum^{\infty}_{k=1}\chi_{\left\{u>k/2^n\right\}}\tag{*} $$

对于任意$x{\in}\Omega,u(x)-1/2^n{\le}u_n(x){\le}u(x)$。因此$(u_n)$是逐点收敛到$u$的。定理2.2.24蕴含着$(u_n){\subset}\mathcal{M}$且$u{\in}\mathcal{M}$。

这里的$(*)$定义的$u_n$是由无穷级数定义的，所以是部分和的极限，所以可以由定理2.2.24得出$u_n{\in}\mathcal{M}$。再由$u_n$点点收敛到$u$，由定理2.2.24知道$u{\in}\mathcal{M}$。那个$u_n$可以对$n$足够小。

推论2.2.31

令$u,v{\in}\mathcal{M}$，则$uv{\in}\mathcal{M}$。

证明：如果$f$是可测的，则对任意$t{\ge}0$，集合

$$ \left\{f^2>t\right\}=\left\{|f|>\sqrt{t}\right\} $$

是可测的。因此$f^2$是可测的。我们总结得到

$$ uv=\frac{1}{4}[(u+v)^2-(u-v)^2]{\in}\mathcal{M} $$

定义2.2.32

一个函数$u:\Omega{\to}[0,+\infty]$是可接受的（相对于正测度$\mu$）是指：如果$u$是可测的且如果对任意$t>0$，

$$ \mu_u(t)=\mu(\left\{u>t\right\})=\mu(\left\{x{\in}\Omega:u(x)>t\right\})<+\infty $$

函数$\mu_n$是函数$u$的分布函数。

这里定义了$u$是可接受的，如果$u$的分布函数$\mu_u(t)=\mu(\left\{u>t\right\})$对任何$t$都是有限的。是个关于$t$单调递减的函数。

推论2.2.33

(Markov不等式)：令$u{\in}\mathcal{L}^1,u{\ge}0$。则$u$是可接受的，且对于任意$t>0$，

$$ \mu_u(t){\le}t^{-1}\int_{\Omega}ud{\mu} $$

证明：注意到对于任意$t>0,v=t\chi_{\left\{u{>}t\right\}}{\le}u$。由对比定理，有

$$ v{\in}\mathcal{L}^1且\int_{\Omega}vd{\mu}{\le}\int_{\Omega}ud{\mu} $$

推论2.2.34

(Cavalieri’s principle-卡瓦列里原理)：令$u{\in}\mathcal{L}^1,u{\ge}0$。则

$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\int^{\infty}_0\mu_u(t)dt $$

证明：由$(*)$定义的序列是递增的且逐点收敛到$u$。函数$\mu_u:(0,+\infty){\to}[0,+\infty)$是非递增的。我们可以从莱维定理推导出

$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\frac{1}{2^n}\sum^{\infty}_{k=1}\mu_u(\frac{k}{2^n})=\int^{\infty}_0\mu_u(t)dt $$

其中第1个等号是由莱维单调收敛定理，第2个等号是由$u_n$定义和勒贝格积分，第3个等号是$\mu_u(t)$在$(0,\infty)$上黎曼积分的定义（黎曼和收敛到黎曼积分）。

定义2.2.35

令$\Omega$为$\mathbb{R}^N$的一个开集。在$\Omega$上的勒贝格测度是一个正测度由黎曼积分定义为：

$$ \mathcal{K}(\Omega){\to}\mathbb{R}:u{\mapsto}\int_{\Omega}udx $$

则一个$\Omega$上的可测子集$A$的勒贝格测度定义为

$$ m(A)=\int_{\Omega}\chi_Adx $$

在勒贝格积分的抽象理论中是没有用到拓扑的。相反，Lebesgue测度的具体理论依赖于$\mathbb{R}^N$的拓扑结构。

定理2.2.36

我们考虑在$\mathbb{R}^N$上的勒贝格测度。

（a）任意开集是可测的，且任意闭集是可测的。

（b）对于$\mathbb{R}^N$中的任意可测集$A$，存在$\mathbb{R}^N$中的一个开集序列$(G_k)$和一个$\mathbb{R}^N$中的可忽略集$S$使得

$$ A{\cup}S=\bigcap^{\infty}_{k=1}G_k $$

（c）对于任意$\mathbb{R}^N$中的可测集$A$，存在一个$\mathbb{R}^N$中的闭集序列和一个$\mathbb{R}^N$中的可忽略集$T$使得

$$ A=\bigcup^{\infty}_{k=1}F_k{\cup}T $$

该定理是讨论在$\mathbb{R}^N$上勒贝格测度$m$的基本性质，给出可测集合关于$\mathbb{R}^N$上拓扑性质的刻画（相对于开集，闭集）

（a）是说开集，闭集都是可测的。

（b）我们知道可数个开集的交集不见得是交集，但是它们是可测集（命题2.2.26），且任意可测集和这样的集合最多就是差（少）一个可忽略集。可数个开集的交集一般课本上称之为$G_{\delta}-$型集。

（c）我们可能马上想到应该有个对偶的关于闭集的类似结论。我们知道可数个闭集的并集不见得是闭集，但是它们是可测集（命题2.2.26），且任意可测集和这样的集合最多就差（多）一个可忽略集。可数个闭集的并集一般课本上称之为$F_{\sigma}-$型集。

证明：

（a）令$G$为一个开的有界集合且定义

$$ u_n(x)=\min\left\{1,nd(x,\mathbb{R}^N{\backslash}G)\right\}\tag{*} $$

因为$(u_n){\subset}\mathcal{K}(\mathbb{R}^N)$且$u_n{\to}\chi_G$。集合$G$是可测的。对于任意开集$G,G_n=G{\cap}B(0,n)$是可测的。因此$G=\bigcup^{\infty}_{n=1}G_n$是可测的。取补集，任意闭集也是可测的。

（b）令$A$为一个$\mathbb{R}^N$中的可测集合，由定义，存在一个序列$(u_n){\subset}\mathcal{K}(\mathbb{R}^N)$和$\mathbb{R}$中一个可忽略集$R$使得在$\mathbb{R}^N{\backslash}R$上，$u_n{\to}\chi_A$。也有$f{\in}\mathbb{L}^{+}$使得$R{\subset}S=\left\{f=+\infty\right\}$。由命题1.3.10，$f$是下半连续的。命题1.3.12蕴含着对于任意$t{\in}\mathbb{R},\left\{f>t\right\}$是开集。让我们定义开集

$$ U_n=\left\{u_n>1/2\right\}{\cup}\left\{f>n\right\}和G_k=\bigcup^{\infty}_{n=k}U_n $$

显然对于任意$k,A{\cup}S{\subset}G_k$且$A{\cup}S=\bigcup^{\infty}_{k=1}G_k$。因为$S$由定义是一个可忽略集，于是证毕。

（c）取补集，则存在一个$\mathbb{R}^N$的闭集序列$(F_k)$和一个$\mathbb{R}^N$中的可忽略集合使得

$$ A{\cap}(\mathbb{R}^N{\backslash}S)=\bigcup^{\infty}_{k=1}F_k $$

然后定义$T=A{\cap}S$则足够证明。

推论2.2.37

令$a<b$。则

$$ m((a,b))=m([a,b])=b-a $$

特别地，$m([a])=0$，且任意可数集合是可忽略的。

证明：令$(u_n)$为由$(*)$定义的序列，命题2.2.10蕴含着

$$ m((a,b))=\int_{\mathbb{R}}\chi_{(a,b)}dx=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\mathbb{R}}u_ndx=b-a $$

因为$[a,b]=\bigcap^{\infty}_{n=1}(a-1/n,b+1/n)$。于是由命题2.2.26知道

$$ m([a,b])=\lim_{n{\to}\infty}b-a+2/n=b-a $$

例子：令$\lambda>-1$，对于任意$n{\ge}2$，函数

$$ u_n(x)=x^{\lambda}\chi_{(1/n,1)}(x) $$

由对比定理知道是可积的。于是由莱维单调收敛定理有

$$ \int^1_0x^{\lambda}dx=1/(\lambda+1) $$

令$\lambda<-1$。对于任意$n{\ge}2$，函数

$$ v_n(x)=x^{\lambda}\chi_{(1,n)}(x) $$

是可积的，于是

$$ \int^{\infty}_1x^{\lambda}dx=1/[\lambda+1] $$

例子（康托尔集）令$0<\varepsilon{\le}1$且$(\ell_n){\subset}(0,1)$为使得

$$ \varepsilon=\sum^{\infty}_{n=0}2^n\ell_n $$

从区间$C_0=[0,1]$，移除掉开的长度为$\ell_0$的中间区间$J_{0,1}$。然后再移除掉两个剩下的闭集中间长度为$\ell_1$的开区间$J_{1,1}$和$J_{1,2}$。一般地，移除掉$2^n$个剩下的闭集中间长度为$\ell_n$的开区间$J_{n,1},{\cdots},J_{n,2^n}$。定义

$$ C_{n+1}=C_n{\backslash}\bigcup^{2^n}_{k=1}J_{n,k},C=\bigcap^{\infty}_{n=1}C_n $$

则集合$C$为康托集（对应于$(\ell_n)$）。让我们描述一下Cantor集的迷人性质。

集合$C$是闭集，事实上，任意$C_n$都是闭集。

集合$C$的内部是空的。事实上，任意$C_n$由$2^n$个等长的闭区间组成，于是$\varnothing$是$C$中唯一的开集。

集合$C$的勒贝格测度等于$1-\varepsilon$。由归纳，我们有对于任意$n$，

$$ m(C_{n+1})=1-\sum^n_{j=0}2^j\ell_j $$

命题2.2.26蕴含着

$$ m(C)=1-\sum^{\infty}_{j=0}2^j\ell_j=1-\varepsilon $$

集合$C$是不可数的。令$(x_n){\subset}C$.用$[a_1,b_1]$表示$C_1$不包含$x_1$的区间。用$[a_2,b_2]$表示$C_2{\cap}[a_1,b_1]$不包含$x_2$的第一个区间，令$[a_n,b_n]$表示$C_n{\cap}[a_{n-1},b_{n-1}]$不包含$x_n$的第一个区间。定义$x=\sup_na_n=\lim_{n{\to}\infty}a_n$。对于任意$n$，我们有

$$ [a_n,b_n]{\subset}C_n,x_n{\not\in}[a_n,b_n],x{\in}[a_n,b_n] $$

因此$x{\in}C$，且对于任意$n,x_n{\neq}x$。

对于$\varepsilon=1,C$是不可数且可以忽略的。

最终，$C$的特征函数是上半连续的，可积分的且在$C$的任意点是不连续的。

第一个康托集是由Smith在1975年定义的，由Volterra在1881定义的，由Cantor在1883年定义的。