Big Rudin
存在大量的$\sigma$代数
若$\mathcal{F}$为$X$的任意子集族，则在$X$内存在一个最小的$\sigma$代数$\mathfrak{M}^*$，使得$\mathcal{F} {\subset} \mathfrak{M}^*$。
其中$\mathfrak{M}^*$被称为由$\mathcal{F}$生成的$\sigma$代数
证明，首先先拥有一个$X$的$\sigma$代数$\mathfrak{M}$，由于要对任意子集族$\mathcal{F}$构造一个$\sigma$代数，那么我们仅仅需要取包含$\mathcal{F}$的一些$\mathfrak{M}$，让它们构成$\Omega$，通过取这些$\mathfrak{M}{\in}\Omega$的交集记为$\mathfrak{M}^*$，显然$\mathcal{F}{\in}\mathfrak{M}^*$，那么只需要对$\mathfrak{M}^*$证明是个$\sigma$代数即可。
这里只证明可数并性质，其他性质类似：
若$A_n{\in}\mathfrak{M}^*,n=1,\cdots$，因为$\mathfrak{M}^*={\cap}_{\mathfrak{M}{\in}\Omega}\mathfrak{M}$，所以对任意的$\mathfrak{M}{\in}\Omega$，有$A_n{\in}\mathfrak{M},n=1,\cdots$，这是因为交运算，也就是所有的$\mathfrak{M} $都有。于是乎因为$\mathfrak{M}$是$\sigma$代数，所以$A_n$的可数并也属于$\mathfrak{M}$，于是由于$\mathfrak{M}^*$的定义，$A_n{\in}\mathfrak{M}^*$。
博雷尔集合
设$X$为拓扑空间，在$X$内存在一个最小的$\sigma$代数$\mathcal{B}$，使得$X$内每一个开集（拓扑空间中每个元素）都属于$\mathcal{B}$，称$\mathcal{B}$的元素为$X$的博雷尔集。
特别地，由于闭集是开集的补集（满足$\sigma$代数对补运算的封闭性），闭集是博雷尔集。
同时可以推出：闭集的一切可数并及开集的一切可数交都是博雷尔集。这两者分别表示为$F_{\sigma}$集以及$G_{\delta}$集，$F$表示闭集，$G$表示开集。
显然，因为$\mathcal{B}$是$\sigma$代数，所以$X$不仅是拓扑空间，也可以看成可测空间，而博雷尔集则是这里的可测集。
TIPS：这里实则是对拓扑空间的完备化，将原来的拓扑空间中对可数交与并的运算变封闭了。
具体可以考虑一下例子：
$$ (a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}){\to}[a,b] $$
而显然$[a,b]$不在开集中，这显然是个闭集。
所以博雷尔集合是包括了开集与闭集，还有其他的一些集合，分别表示为$F_{\sigma}$集以及$G_{\delta}$集。
博雷尔可测：考虑可测空间$(X,\mathcal{B})$。若$f:X{\to}Y$是$X$的连续映射，其中$Y$为任意的拓扑空间，由定义立刻可以知道，对$Y$的每一个开集（其实就是每一个元素）$V$，$f^{-1}(V){\in}\mathcal{B}$。也就是：$X$的每一个连续映射都是博雷尔可测的。
博雷尔可测的性质
假设$\mathfrak{M}$是$X$内的$\sigma$代数，$Y$为拓扑空间，$f$是$X$到$Y$的一个映射。
- 若$\Omega$为所有集$E{\subset}Y$使得$f^{-1}(E){\in}\mathfrak{M}$的集族，则$\Omega$为$Y$内的$\sigma$代数。
- 若$f$可测且$E$为$Y$内的博雷尔集，则$f^{-1}(E){\in}\mathfrak{M}$。
- 若$Y=[-\infty,\infty]$，且对每一个实数$\alpha$，$f^{-1}((a,\infty]){\in}\mathfrak{M}$，则$f$可测
- 若$f$可测，$Z$为拓扑空间，$g:Y{\to}Z$为博雷尔映射，且$h=g\circ{f}$，则$h:X{\to}X$可测。
3常常用来作为实值函数可测性的判别标准
4则是推广了连续函数性质。
证明1：首先我们认识到$\Omega$为$Y$内的$\sigma$代数。于是乎，要证明这件事情，则要通过取$Y$的元素满足$\sigma$条件才可以。
- $Y$在$\Omega$中，因为$f^{-1}(Y)=X{\in}\Omega$，所以可以由$\Omega$的定义推出，$Y{\in}\Omega$，这里因为$\mathfrak{M}$是$X$内的$\sigma$代数，$X{\in}\mathfrak{M}$。
- $\Omega$中任意集合，其补集都在$\Omega$中。取任意$A{\in}\Omega$，因为$f^{-1}(Y-A)=X-f^{-1}(A)$，因为$\Omega$的定义显然有$f^{-1}(A){\in}\mathfrak{M}$，于是乎对于$X-f^{-1}(A)$，由于$\mathfrak{M}$是$\sigma$代数，所以也属于$\mathfrak{M}$，于是又用一次定义，知道该拉回就是$Y-A$是属于$\Omega$的。从而证毕。
- 对可数并封闭：
$$ f^{-1}(A_1{\cup}A_2{\cup}\cdots)=f^{-1}(A_1){\cup}\cdots{\in}\mathfrak{M} $$
由上述条件则可以用定义推出：
$$ A_1{\cup}A_2{\cup}\cdots{\in}\Omega $$
证明2：沿用1定义的$\Omega$，首先对$f$可测做一个表述：也就是$Y$中开集$V$，其拉回$f^{-1}(V){\in}\mathfrak{M}$，于是通过$\Omega$的定义，其$V{\in}\Omega$，这样我们知道了所有在$Y$中的开集实际上全部在$\Omega$中，又因为1中已经证明了$\Omega$是$\sigma$代数，所以由于博雷尔集的定义，$\Omega$包含$Y$中所有博雷尔集合，证毕。
证明3：这个比较简单，首先已经有了$f^{-1}((\alpha,\infty]){\in}\mathfrak{M}$，仅需证明$f^{-1}((-\infty,\beta]){\in}\mathfrak{M}$，则可以推出$f$可测。证明过程利用了数列的逼近，还有一些交并运算，实际上是因为知道开集$(\alpha,\beta)$是可测集。
证明4：这个问题实际上是对函数的要求降低了，把范围变广。本来是可测的要求，现在博雷尔可测就行。证法很简单。$V{\subset}Z$，证明$h^{-1}(V){\in}\mathfrak{M}$，这是因为$h^{-1}(V)=f^{-1}(g^{-1}(V)){\in}\mathfrak{M}$，于是可以推出$g^{-1}(V){\in}\Omega$。
