积分
导读
从$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$出发，定义2.2.8来定义$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$的函数。就是$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$某个基本序列到$u_n$逐点收敛的极限$u(x)=\lim_{n{\to}}u_n(x)$，而$u$的积分定义为$u_n$黎曼积分值的极限，也即
$$ \int{u}d{\mu}{\equiv}\lim_{n{\to}\infty}\int{u_n(x)}d{\mu} $$
（下面如果没有混淆，积分号下不会特别写出$\Omega$）积分后的数列上方有界且也是单增的，所以极限存在。为了说明这个定义是适定的，我们已现有两个技术性的命题(2.2.6，2.2.7)。2.2.6用来证2.2.7，就是会有很多基本序列可以收敛到同一个函数$u$，用不同的基本序列，是否得到一个共同的积分值，即对不同的$u_n,\lim_{n{\to}\infty}\int{u_n(x)}d{\mu}$是否一样。用到命题2.2.7，$u=v$的情形，就有积分后的极限都是一样的，所以定义是合理的。
注意到$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$是向量空间，就是线性空间的意思，但是$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$还不是线性空间（因为不能乘上负数）。$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$中函数的性质在命题2.2.9里给出。我们有作业是给出这个性质证明的细节。
定义2.2.12是把积分扩充到$L^1(\Omega,\mu)$（勒贝格可积的函数空间）。但是在这之前，有两个结果要先证明。勒贝格积分的最大好处是可以给出一些更为灵活好用管用的积分收敛定理（主要有四个），其中之一是单调收敛定理，我们后面会在$L^1(\Omega,\mu)$证明这个定理（2.2.15）。它的一个预备形式在$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$里是命题2.2.10：$u_n{\in}\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$点点单增（或几乎处处单增，就是去掉一个可忽略集后是点点单增），且$sup{\;}\int{u_n}d{\mu}=c<\infty$。则$u_n$的点点极限（或者几乎处处极限）$u$还是属于$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$里，且
$$ \lim_{n{\to}\infty}\int{u_n}d{\mu}=\int{u}d{\mu} $$
注意，这就是说极限和积分号换序了，极限取到积分号里面去了。
课本的证明是直接考虑了复杂的情况：几乎处处的情形。我们可以试着现在走一遍处处的情形，再走一遍几乎处处的情形。由定义，我们想要找到一个$\mathcal{L}(\Omega,\mu)$里的基本序列收敛到$u$，就证明了$u{\in}\mathcal{L}(\Omega,\mu)$。首先对每个$u_k{\in}\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$，由定义有基本序列$u_{k,n}{\in}\mathcal{L}(\Omega,\mu),u_{k,n}{\uparrow}u_k$当$n{\to}\infty$。定义了一个$v_n=\max\left\{u_{1,n},{\cdots},u_{n,n}\right\}$。先证明$v_n$是一个基本序列，所以$v_n$有极限。最好叫做$v$（记得把书上的$u$改为$v$），然后再证明$v$就是$u$，满足积分极限性质。书上的证明没有问题，但是就是加上这个符号更改可以更细一点。
推论2.2.11说可数个可忽略集的并集还是可忽略集合，我们曾经研究过一个例子，$u_n(x)=\min\left\{n,\frac{1}{\sqrt{x}}\right\}$，单增，积分一致有界。可以修改一下成为$\mathbb{R}$上的基本序列（首先偶延拓一下，然后再将其连续延拓到$[-1,1]$，外面连接到0，使得它在$\mathcal{K}(\mathbb{R})$）。因为这个序列在一点趋于无穷，所以在$\mathcal{K}(\mathbb{R})$的情形，一个点是可忽略集。当然可以想象到，有限个点的集合也是可忽略集。这个推论说可数个可忽略集的并集还是可忽略集，所以在$\mathcal{K}(\mathbb{R})$上，可数点集是可忽略集。我们后面有例子，在$\mathcal{K}(\mathbb{R})$情形，有不可数点集也可能是可忽略集。
下面就到了$\mathcal{L}^1(\Omega,\mu)$（勒贝格可积函数空间）里面函数的定义2.2.12，它之前的一段计算推理是为了定义的适定性。$u{\in}\mathcal{L}^1(\Omega,\mu)$只需要几乎处处有定义的函数（不需要处处有定义），要求在它几乎处处定义的地方是两个$\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$里函数的差。
命题2.2.13是$\mathcal{L}^1(\Omega,\mu)$函数的基本性质，留做作业，就是用定义证明。
上面提出，勒贝格积分的最大好处是可以给出一些更为灵活好用管用的积分收敛定理（主要有四个），现在马上来了三个：
定理2.2.15（Levi莱维单调收敛定理）
定理2.2.16（法图引理）
定理2.2.17（勒贝格控制收敛定理）
定义2.2.8
一个函数$u:\Omega{\to}(-\infty,+\infty]$属于$\mathcal{L}^{+}=\mathcal{L}^{+}(\Omega,\mu)$，如果存在一个基本序列$(u_n)$使得$u_n{\uparrow}u$。$u$的积分（相对于$\mu$）定义为
$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
由上面的命题，$u$的积分是适定的。
命题2.2.9
令$u,v{\in}\mathcal{L}^{+}$且$\alpha,\beta{\ge}0$。则：
（a）$\max(u,v),\min(u,v),u^{+}{\in}\mathcal{L}^{+}$。
（b）$\alpha{u}+{\beta}v{\in}\mathcal{L}^{+}$且
$$ \int_{\Omega}{\alpha}u+{\beta}vd{\mu}={\alpha}\int_{\Omega}ud{\mu}+\beta\int_{\Omega}vd{\mu} $$
（c）如果$u{\le}v$几乎处处成立，则
$$ \int_{\Omega}ud{\mu}{\le}\int_{\Omega}vd{\mu} $$
证明：
（a）由$u,v{\in}\mathcal{L}^{+}$，存在基本序列$(u_n),(v_n){\subset}\mathcal{L}(\Omega,\mu)$，使得$u_n{\uparrow}u,v_n{\uparrow}v$，且有
$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu}<\infty,\int_{\Omega}vd{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}v_nd{\mu}<\infty $$
取到$w_n=\max(u_n,v_n)$，则由命题2.2.2知道$w_n{\in}\mathcal{L}$，且由于对${\forall}n{\in}\mathbb{N},{\forall}x{\in}\Omega$，有
$$ u_n{\le}u_{n+1}{\le}\max(u_{n+1},v_{n+1})=w_{n+1}\\v_n{\le}v_{n+1}{\le}\max(u_{n+1},v_{n+1})=w_{n+1} $$
于是有$w_n=\max(u_n,v_n){\le}\max(u_{n+1},v_{n+1})=w_{n+1}$，且
$$ \lim_{n{\to}\infty}w_n=\lim_{n{\to}\infty}[\frac{1}{2}(u_n+v_n)+\frac{1}{2}|u_n-v_n|]=\frac{1}{2}(u+v)+\frac{1}{2}|u-v|=\max(u,v) $$
故此有$w_n{\uparrow}\max(u,v)$。
然后证明$\sup_n\int_{\Omega}w_nd{\mu}<\infty$。
由于$u_n^{-}=\max(-u_n,0){\ge}-u_n{\ge}-u_{n+1}$，且$u_n^{-}{\ge}0$，则有$u_n^{-}{\ge}\max(-u_{n+1}^{-},0)$。也即有$u_n^{-}{\ge}u_{n+1}^{-}$，也就是$u_n^{-}$为单调递减的序列。则有$u_n^{-}{\le}u_1^{-}$，故此有
$$ \int_{\Omega}u_n^{-}d{\mu}{\le}\int_{\Omega}u_1^{-}d{\mu} $$
又因为$u_n^{+}=u_n+u_n^{-}$，故此有
$$ \begin{aligned}\int_{\Omega}u_n^{+}d{\mu}&=\int_{\Omega}u_nd{\mu}+\int_{\Omega}u_n^{-}d{\mu}\\&{\le}\int_{\Omega}u_nd{\mu}+\int_{\Omega}u_1^{-}d{\mu}\end{aligned} $$
则有
$$ \begin{aligned}\int_{\Omega}|u_n|d{\mu}&=\int_{\Omega}u_n^{+}d{\mu}+\int_{\Omega}u_n^{-}d{\mu}\\&{\le}\int_{\Omega}u_nd{\mu}+2\int_{\Omega}u_1^{-}d{\mu}\end{aligned} $$
同理得到
$$ \int_{\Omega}|v_n|d{\mu}{\le}\int_{\Omega}v_nd{\mu}+2\int_{\Omega}v_1^{-}d{\mu} $$
由于$w_n=\frac{1}{2}(u_n+v_n)+\frac{1}{2}|u_n-v_n|{\le}\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}v_n+\frac{1}{2}|u_n|+\frac{1}{2}|v_n|$。
故此有
$$ \begin{aligned}\sup_n\int_{\Omega}w_nd{\mu}&=\sup_n(\frac{1}{2}\int_{\Omega}u_nd{\mu}+\frac{1}{2}\int_{\Omega}v_nd{\mu}+\frac{1}{2}\int_{\Omega}|u_n|d{\mu}+\frac{1}{2}\int_{\Omega}|v_n|d{\mu})\\&{\le}\frac{1}{2}\sup_n\int_{\Omega}u_nd{\mu}+\frac{1}{2}\sup_n\int_{\Omega}v_nd{\mu}+\frac{1}{2}(\sup_n\int_{\Omega}u_nd{\mu}+2\int_{\Omega}u_1^{-}d{\mu}+\sup_n\int_{\Omega}v_nd{\mu}+2\int_{\Omega}v_1^{-}d{\mu})\\&<\infty\end{aligned} $$
因此，可以知道$(w_n)$为基本序列（单增收敛且积分一致有界），于是有$\max(u,v){\in}\mathcal{L}^{+}$，同理可以证得$\min(u,v){\in}\mathcal{L}^{+}$，由$u^{+}=\max(u,0)$，于是得到$u^{+}{\in}\mathcal{L}^{+}$。
当然也可以采取另一种方法，首先证明$\max(u_n,v_n),\min(u_n,v_n)$都是单增的。再利用
$$ \max(u_n,v_n)+\min(u_n,v_n)=u_n+v_n $$
于是有
$$ \int\max(u_n,v_n)d{\mu}=\int{u_n}d{\mu}+\int{v_n}d{\mu}-\int\min(u_n,v_n)d{\mu}{\le}\int{u_n}d{\mu}+\int{v_n}d{\mu}-\int\min(u_1,v_1)d{\mu} $$
于是关于$n$一致有界。
（b）假设$w_n=\alpha{u_n}+\beta{v_n}$，由$(\mathcal{J}_2)$可以知道$w_n{\in}\mathcal{L}$。
由于对${\forall}n{\in}\mathbb{N},{\forall}x{\in}\Omega$，于是有
$$ w_{n+1}-w_n=\alpha(u_{n+1}-u_n)+\beta(v_{n+1}-v_n){\ge}0 $$
于是$w_n{\le}w_{n+1}$。
又因为
$$ \lim_{n{\to}\infty}w_n=\alpha\lim_{n{\to}\infty}{u_n}+\beta\lim_{n{\to}\infty}v_n=\alpha{u}+\beta{v} $$
故此$w_n{\uparrow}(\alpha{u}+\beta{v})$。
由$(\mathcal{J}_2)$可以知道
$$ \int_{\Omega}w_nd{\mu}=\alpha\int_{\Omega}u_nd{\mu}+\beta\int_{\Omega}v_nd{\mu} $$
故此有
$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}w_nd{\mu}=\alpha\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu}+\beta\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}v_nd{\mu}<\infty $$
于是有$\alpha{u}+{\beta}v{\in}\mathcal{L}^{+}$（单调递增且积分一致有界）且上述两边取到极限直接由$\mathcal{L}^{+}$可以知道
$$ \lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}w_nd{\mu}=\int_{\Omega}{\alpha}u+{\beta}vd{\mu}={\alpha}\int_{\Omega}ud{\mu}+\beta\int_{\Omega}vd{\mu} $$
（c）由于命题2.2.7，直接可以推出。
命题2.2.10
(在$\mathcal{L}^{+}$的单调收敛)：令$(u_n){\subset}\mathcal{L}^{+}$为处处（或者几乎处处）单增的且使得
$$ c=\sup_n\int_{\Omega}u_nd{\mu}<\infty $$
则$(u_n)$处处（或者几乎处处）收敛到$u{\in}\mathcal{L}^{+}$且
$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
证明：我们考虑几乎处处收敛。对于任意$k$，则存在一个基本序列$(u_{k,n})$使得$u_{k,n}{\uparrow}u_k$。
序列$v_n=\max(u_{1,n},{\cdots}u_{n,n})$是单增的，且几乎处处，
$$ v_n{\le}\max(u_1,{\cdots},u_n)=u_n $$
因为
$$ \int_{\Omega}v_nd{\mu}{\le}\int_{\Omega}u_nd{\mu}{\le}c $$
序列$(v_n){\subset}\mathcal{L}$是基本序列。由定义，$v_n{\uparrow}u,u{\in}\mathcal{L}^{+}$，且
$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}v_nd{\mu} $$
对于$k{\le}n$，我们有几乎处处
$$ u_{k,n}{\le}v_n{\le}u_n $$
因此我们有，几乎处处$u_k{\le}u{\le}\lim_{n{\to}\infty}u_n$且
$$ \int_{\Omega}u_kd{\mu}{\le}\int_{\Omega}ud{\mu}{\le}\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
很容易得出结论。
命题重述：设$(u_n){\subset}\mathcal{L}^{+}$，且有$u_n(x){\le}u_{n+1}(x),{\forall}x{\in}\Omega,{\forall}n$。（或者对于${\forall}n,u_n(x){\le}u_{n+1}(x),a.e.{\;}in{\;}\Omega$，也即存在一个可忽略集$S$，在$\Omega{\backslash}S$上$u_n(x){\le}u_{n+1}(x)$。）且
$$ c=\sup_n\int_{\Omega}{u_n}d{\mu}<\infty $$
则有对于${\forall}x{\in}\Omega$，有$u(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x){\in}\mathcal{L}^{+}$（或者存在$u{\in}\mathcal{L}^{+}$，有对于${\forall}x{\in}\Omega{\backslash}S$，有$u(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)$）且
$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
证明：这里仅证明几乎处处收敛的情形（处处收敛的类似且容易证明）
存在可忽略集$S{\subset}\Omega$，对于${\forall}x{\in}\Omega{\backslash}S,u_n(x){\le}u_{n+1}(x)$。所以对于$x{\in}\Omega{\backslash}S,\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)$存在（可能为$\infty$值），我们想说有$u{\in}\mathcal{L}^{+}$，使得$u(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x),{\forall}x{\in}\Omega{\backslash}S$，且
$$ \int{u}d{\mu}=\lim\int{u_n}d{\mu} $$
这个结果的意义是说积分的极限可以交换，因为$u_k{\in}\mathcal{L}^{+}$，于是存在一个基本序列$(u_{k,n}){\subset}\mathcal{L}$，使得$u_{k,n}{\uparrow}u_k$，且
$$ \int{u_k}d{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}u_{k,n}d{\mu} $$
令$v_n=\max(u_{1,n},{\cdots},u_{n,n})$，可以这样看
$$ u_{1,1}{\le}u_{1,2}{\le}\cdots{\le}u_{1,n}{\le}u_{1,n+1}{\cdots}\uparrow{u_1}\\u_{2,1}{\le}u_{2,2}{\le}\cdots{\le}u_{2,n}{\le}u_{2,n+1}{\cdots}\uparrow{u_2}\\{\vdots}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{\vdots}\\u_{k,1}{\le}u_{k,2}{\le}\cdots{\le}u_{k,n}{\le}u_{k,n+1}{\cdots}\uparrow{u_k}\\{\vdots}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{\vdots}\\u_{n,1}{\le}u_{n,2}{\le}\cdots{\le}u_{n,n}{\le}u_{n,n+1}{\cdots}\uparrow{u_n}\\{\vdots}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{\vdots} $$
而且有$u_1{\le}u_2{\le}{\cdots}{\le}u_k{\le}{\cdots}u_n{\le}{\cdots}$。
所以有：
（1）$v_n{\in}\mathcal{L}$（因为是有限个$\mathcal{L}$中函数最大的那个）。
（2）${\forall}x{\in}\Omega,v_n(x){\le}v_{n+1}(x)=\max(u_{1,n+1},{\cdots},u_{n+1,n+1})$（由上图可以看出）
（3）${\forall}x{\in}\Omega,v_n(x){\le}\max(u_1(x),{\cdots},u_n(x))\stackrel{a.e}{=}u_n(x)$。
由（3）和命题2.2.9（c）知道有：
（4）
$$ \int{v_n}d{\mu}{\le}\int{u_n}d{\mu}{\le}c $$
而我们由（1）（2）和（4）可以推出$(v_n){\subset}\mathcal{L}$是一个基本序列。（单调且积分一致有界）
由定义，存在$v{\in}\mathcal{L}^{+},v(x)=\lim_{n{\to}\infty}v_n(x)$，且
$$ \int{v}d{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int{v_n}d{\mu} $$
对$k{\le}n$（由图可以看出）$u_{k,n}{\le}v_n(x),{\forall}x{\in}\Omega$，且在$\Omega$上，有${\forall}x{\in}\Omega{\backslash}S,v_n(x){\le}u_n(x){\quad}a.e.$。
对于$x{\in}\Omega{\backslash}S$，令$n{\to}\infty$，得到$u_k(x){\le}v(x){\le}\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)$。再令$k{\to}\infty$，则有$\lim_{k{\to}\infty}u_k(x){\le}v(x){\le}\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)$。也即${\forall}x{\in}\Omega{\backslash}S,v(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n(x)$。所以已经证毕，有一个$\mathcal{L}^{+}$里的函数，$v=\lim_{n{\to}\infty}u_n,a.e.$。
再由于$u_{k,n}{\le}v_n(x)\stackrel{a.e}{\le}u_n(x)$和命题2.2.9（c）知道
$$ \int{u_{k,n}}d{\mu}{\le}\int{v_n(x)}d{\mu}{\le}\int{u_n}(x)d{\mu} $$
令$n{\to}\infty$，则有
$$ \int{u_k}d{\mu}{\le}\int{v}d{\mu}{\le}\lim_{n{\to}\infty}\int{u_n}d{\mu} $$
再令$k{\to}\infty$，则有
$$ \lim_{k{\to}\infty}\int{u_k}d{\mu}{\le}\int{v}d{\mu}{\le}\lim_{n{\to}\infty}\int{u_n}d{\mu} $$
也即
$$ \int{u}d{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int{u_n}d{\mu} $$
于是证明完毕。
推论2.2.11
任意可数个可忽略集的并集还是可忽略集合。
证明：令$(S_k)$为一个可忽略集序列。对于任意$k$，存在$v_k{\in}\mathcal{L}^{+}$使得对于任意$x{\in}S_k,v_k(x)=+\infty$。我们用$v_k^{+}$代替$v_k$，且我们用一个严格正的常数乘上使得
$$ v_k{\ge}0,\int_{\Omega}v_kd{\mu}{\le}\frac{1}{2^k} $$
序列$u_n=\sum^n_{k=1}v_k$是单增的且
$$ \int_{\Omega}u_nd{\mu}{\le}\sum^n_{k=1}\frac{1}{2^k}{\le}1 $$
因此$u_n{\uparrow}u$且$u{\in}\mathcal{L}^{+}$。因此对于任意$x{\in}\bigcup^{\infty}_{k=1}S_k,u(x)=+\infty$，集合$\bigcup^{\infty}_{k=1}S_k$是可忽略的。
由定义，$\mathcal{L}^{+}$的函数是几乎处处有限的。因此$\mathcal{L}^{+}$中的两个函数的差也是几乎处处适定的。假设$f,g,v,w{\in}\mathcal{L}^{+}$且$f-g=v-w$几乎处处。则$f+w=v+g$几乎处处且
$$ \int_{\Omega}fd{\mu}+\int_{\Omega}wd{\mu}=\int_{\Omega}f+wd{\mu}=\int_{\Omega}v+gd{\mu}=\int_{\Omega}vd{\mu}+\int_{\Omega}{g}d{\mu} $$
因此
$$ \int_{\Omega}fd{\mu}-\int_{\Omega}gd{\mu}=\int_{\Omega}vd{\mu}-\int_{\Omega}wd{\mu} $$
详细证明：设$(S_k)$为一列可忽略集，则对${\forall}k$，存在基本序列$(v_{k,n}){\subset}\mathcal{L}$，使得${\forall}x{\in}S_k$，有$\lim_{n{\to}\infty}v_{k,n}(x)=+\infty$。
记$\lim_{n{\to}\infty}v_{k,n}(x)=v_k(x)$，则$v_k{\in}\mathcal{L}^{+}$且${\forall}x{\in}S_k$，有$v_k(x)=+\infty$。
由$v_k^{+}=\max(0,v_k){\ge}v_k$，且${\forall}x{\in}S_k,v_k^{+}(x)=+\infty$。则又由命题2.2.9（a）知道$v_k^{+}{\in}\mathcal{L}^{+}$，故可以用$v_k^{+}$替代$v_k$。
则对于${\forall}k,{\exists}c_k>0$，使得$\int_{\Omega}v_kd{\mu}{\le}c_k$。用常数$\frac{1}{c_{k+1}2^k}$乘以$v_k$后仍旧记为$v_{k}$。则$v_k$仍旧满足$v_k{\in}\mathcal{L}^{+}$且对于${\forall}x{\in}S_k,v_k(x)=+\infty$。且$v_k{\ge}0,{\forall}x{\in}\Omega,\int_{\Omega}v_kd{\mu}{\le}\frac{1}{2^k}$。
令$u_n=\sum^n_{k=1}v_k$，由命题2.2.9（b）知道$u_n{\in}\mathcal{L}^{+}$，且$u_{n+1}-u_n=v_{n+1}{\ge}0,{\forall}x{\in}\Omega$。于是有$u_n$在$\Omega$上逐点单增。
$$ \begin{aligned}\int_{\Omega}u_nd{\mu}&=\int_{\Omega}\sum^n_{k=1}v_kd{\mu}=\sum^n_{k=1}\int_{\Omega}v_nd{\mu}\\&{\le}\sum^n_{k=1}\frac{1}{2^k}=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}^n)}{1-\frac{1}{2}}=1-(\frac{1}{2})^n{\le}1\end{aligned} $$
则有$\sup_n\int_{\Omega}u_nd{\mu}{\le}1$。于是知道$u_n$为基本序列。
对于${\forall}x{\in}\bigcup^{\infty}_{k=1}S_k$，存在$k$，使得$x{\in}S_k$，此时$v_k(x)=+\infty$，则有足够大的$M$，使得$v_k(x){\ge}M$。于是对${\forall}n>k$，有$u_n=\sum^n_{k=1}v_j{\ge}M$成立。
故此$u(x)=\lim_{n{\to}\infty}u_n=+\infty$，也即$\bigcup^{\infty}_{k=1}S_k$为可忽略集（积分与在可忽略集上函数的值无关）。
定义2.2.12
一个实函数$u$在$\Omega$几乎处处有定义属于$\mathcal{L}^1=\mathcal{L}^1(\Omega,\mu)$，指的是：如果存在$f,g{\in}\mathcal{L}^{+}$使得几乎处处有$u=f-g$。则$u$的积分（相对于$\mu$）定义为
$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\int_{\Omega}fd{\mu}-\int_{\Omega}gd{\mu} $$
由上面的计算，积分是适定的。
命题2.2.13
（a）如果$u{\in}\mathcal{L}^1$，则$|u|{\in}\mathcal{L}^1$。
（b）如果$u,v{\in}\mathcal{L}^1$且如果$\alpha,\beta{\in}\mathbb{R}$，则$\alpha{u}+\beta{v}{\in}\mathcal{L}^1$且
$$ \int_{\Omega}{\alpha}u+{\beta}vd{\mu}={\alpha}\int_{\Omega}ud{\mu}+\beta\int_{\Omega}vd{\mu} $$
（c）如果$u{\in}\mathcal{L}^1$且如果$u{\ge}0$几乎处处，则$\int_{\Omega}ud{\mu}{\ge}0$。
证明：注意到
$$ |f-g|=\max(f,g)-\min(f,g) $$
证明：
（a）若$u{\in}\mathcal{L}^1$，在存在$f,g{\in}\mathcal{L}^{+}$，使得$u=f-g{\;}a.e.$，则有
$$ |u|=|f-g|=\max(f,g)-\min(f,g){\;}a.e. $$
由命题2.2.9（a）知道$\max(f,g),\min(f,g){\in}\mathcal{L}^{+}$，故此有$|u|{\in}\mathcal{L}^1$。
（b）如果$u,v{\in}\mathcal{L}^1$且$\alpha,\beta{\in}\mathbb{R}$，则存在$f_1,g_1,f_2,g_2{\in}\mathcal{L}^{+}$，使得
$$ u=f_1-g_1,v=f_2-g_2,{a.e.} $$
且
$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\int_{\Omega}f_1d{\mu}-\int_{\Omega}g_1d{\mu},\int_{\Omega}vd{\mu}=\int_{\Omega}f_2d{\mu}-\int_{\Omega}g_2d{\mu} $$
若$\alpha,\beta{\ge}0$，则
$$ \alpha{u}+\beta{v}=\alpha{f_1-\alpha{g_1}}+\beta{f_2}-\beta{g_2}=(\alpha{f_1}+\beta{f_2})-(\alpha{g_1}+\beta{g_2}){\;}a.e. $$
由命题2.2.9（b）知道$\alpha{f}+\beta{f_2}{\in}\mathcal{L}^{+},\alpha{g_1}+{\beta}g_2{\in}\mathcal{L}^{+}$且
$$ \int_{\Omega}(\alpha{f_1}+\beta{f_2})=\alpha\int_{\Omega}f_1d{\mu}+\beta\int_{\Omega}f_2d{\mu}\\\int_{\Omega}(\alpha{g_1}+\beta{g_2})=\alpha\int_{\Omega}g_1d{\mu}+\beta\int_{\Omega}g_2d{\mu} $$
故此有$\alpha{u}+\beta{v}{\in}\mathcal{L}^1$。
且
$$ \begin{aligned}\int_{\Omega}\alpha{u}+\beta{v}d{\mu}&=\int_{\Omega}(\alpha{f_1}+\beta{f_2})d{\mu}-\int_{\Omega}(\alpha{g_1}+\beta{g_2})d{\mu}\\&=\alpha{\int_{\Omega}f_1d{\mu}}+\beta\int_\Omega{f_2}d{\mu}-\alpha\int_{\Omega}g_1d{\mu}-\beta\int_{\Omega}g_2d{\mu}\\&=\alpha(\int_{\Omega}f_1d{\mu}-\int_{\Omega}g_1d{\mu})+\beta(\int_{\Omega}f_2d{\mu}-\int_{\Omega}g_2d{\mu})\\&=\alpha\int_{\Omega}ud{\mu}+\beta\int_{\Omega}vd{\mu}\end{aligned} $$
而$\alpha,\beta{\le}0$的情况类似。
若$\alpha{\ge}0,\beta{\le}0$时，则
$$ \alpha{u}+\beta{v}=(\alpha{f_1}-\beta{g_2})-(\alpha{g_1}-\beta{f_2}){\;}a.e. $$
由$\alpha{f_1}-\beta{g_2}{\in}\mathcal{L}^{+},\alpha{g_1}-\beta{f_1}{\in}\mathcal{L}^{+}$，且
$$ \int_{\Omega}(\alpha{f_1}-\beta{g_2})d{\mu}=\alpha\int_{\Omega}f_1d{\mu}-\beta\int_{\Omega}g_2d{\mu},\\\int_{\Omega}(\alpha{g_1}-\beta{f_2})d{\mu}=\alpha\int_{\Omega}g_1d{\mu}-\beta\int_{\Omega}f_2d{\mu}. $$
则有$\alpha{u}+\beta{v}{\in}\mathcal{L}^1$。
且
$$ \begin{aligned}\int_{\Omega}\alpha{u}+\beta{v}d{\mu}&=\int_{\Omega}(\alpha{f_1}-\beta{g_2})d{\mu}-\int_{\Omega}(\alpha{g_1}-\beta{f_2})d{\mu}\\&=\alpha\int_{\Omega}f_1d{\mu}-\beta\int_{\Omega}g_2d{\mu}-\alpha\int_{\Omega}g_1d{\mu}+\beta\int_{\Omega}f_2d{\mu}\\&=\alpha(\int_{\Omega}f_1d{\mu}-\int_{\Omega}g_1d{\mu})+\beta(\int_{\Omega}f_2d{\mu}-\int_{\Omega}g_2d{\mu}\\&=\alpha\int_{\Omega}ud{\mu}+\beta\int_{\Omega}vd{\mu}\end{aligned} $$
而$\alpha{\le}0,\beta{\ge}0$的情况与之类似。
（c）若是$u{\in}\mathcal{L}^{1}$且$u{\ge}0{\;}a.e.$，则存在$f,g{\in}\mathcal{L}^{+}$，使得$u=f-g{\;}a.e$。且
$$ \int_{\Omega}ud{\mu}=\int_{\Omega}fd{\mu}-\int_{\Omega}gd{\mu} $$
由推论2.2.11知道$f-g{\ge}0$，也即$f{\ge}g{\;}a.e.$。再由命题2.2.9（c）知道
$$ \int_{\Omega}fd{\mu}{\ge}\int_{\Omega}gd{\mu} $$
则有
$$ \int_{\Omega}fd{\mu}-\int_{\Omega}gd{\mu}{\ge}0{\quad}i.e.{\quad}\int_{\Omega}ud{\mu}{\ge}0 $$
引理2.2.14
令$u{\in}\mathcal{L}^1$且$\varepsilon>0$。则存在$v,w{\in}\mathcal{L}^{+}$使得$u=v-w$几乎处处成立，$w{\ge}0$且$\int_{\Omega}wd{\mu}{\le}\varepsilon$。
证明：由定义，存在$f,g{\in}\mathcal{L}^{+}$使得$u=f-g$几乎处处成立。令$(g_n)$为一个基本序列使得$g_n{\uparrow}g$。因为
$$ \int_{\Omega}gd{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}g_nd{\mu} $$
则存在$n$使得$\int_{\Omega}g-g_nd{\mu}{\le}\varepsilon$。我们取定$w=g-g_n{\ge}0$且$v=f-g_n$。
我们推广单调收敛性质到$\mathcal{L}^1$上。
定理2.2.15
(莱维单调收敛定理)：令$(u_n){\subset}\mathcal{L}^1$为一个几乎处处单调递增序列使得
$$ c=\sup_n\int_{\Omega}u_nd{\mu}<\infty $$
则$\lim_{n{\to}\infty}u_n{\in}\mathcal{L}^1$且
$$ \int_{\Omega}\lim_{n{\to}\infty}u_nd{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
证明：在用$u_n-u_0$代替$u_n$后，我们可以假设$u_0=0$.由上面的引理，对于任意$k{\ge}1$，存在$v_k,w_k{\in}\mathcal{L}^{+}$使得$w_k{\ge}0,\int_{\Omega}w_kd{\mu}{\le}1/2^k$，且，几乎处处有
$$ u_k-u_{k-1}=v_k-w_k $$
因为$(u_k)$是几乎处处递增的，$v_k{\ge}0$几乎处处。
我们定义
$$ f_n=\sum^n_{k=1}v_k,g_n=\sum^{n}_{k=1}w_k $$
序列$(f_n)$和$(g_n)$是几乎处处单增的，且
$$ \int_{\Omega}g_nd{\mu}=\sum^n_{k=1}\int_{\Omega}w_kd{\mu}{\le}\sum^n_{k=1}\frac{1}{2^k}{\le}1,\int_{\Omega}f_nd{\mu}=\int_{\Omega}u_n+g_nd{\mu}{\le}c+1 $$
命题2.2.10蕴含着几乎处处有
$$ \lim_{n{\to}\infty}f_n=f{\in}\mathcal{L}^{+},\lim_{n{\to}\infty}g_n=g{\in}\mathcal{L}^{+} $$
且
$$ \int_{\Omega}fd{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}f_nd{\mu},\int_{\Omega}gd{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}gd{\mu} $$
我们从推论2.2.11推导出几乎处处成立
$$ f-g=\lim_{n{\to}\infty}(f_n-g_n)=\lim_{n{\to}\infty}u_n $$
因此$\lim_{n{\to}\infty}u_n{\in}\mathcal{L}^1$且
$$ \int_{\Omega}\lim_{n{\to}\infty}u_nd{\mu}=\int_{\Omega}fd{\mu}-\int_{\Omega}gd{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}f_n-g_nd{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
详细证明：由定义，如果$u{\in}\mathcal{L}^1$，则${\exists}f,g{\in}\mathcal{L}^{+}$，使得$u=f-g{\;}a.e.$。引理2.2.14是说可以把$g$的积分取成非负且很小，给定$\varepsilon$，也即存在$v,w{\in}\mathcal{L}^{+},u=v-w{\;}a.e.,w{\ge}0,\int{w}d{\mu}{\le}\varepsilon$。
首先不妨设$u_0{\equiv}0$（可以取$u_n-u_0$）而$u_0$是第一项，想法是把$u_n$写成
$$ \begin{aligned}u_n&=\sum^n_{k=1}u_k-u_{k-1}=\sum^n_{k=1}v_k-w_k\\&=\sum^n_{k=1}v_k-\sum^n_{k=1}w_k:=f_n-g_n\end{aligned} $$
然后对$f_n,g_n$分别用$\mathcal{L}^{+}$里的命题2.2.10取极限。
对于$k{\ge}1$，对$u_k-u_{k-1}$用引理2.2.14，也即${\exists}v_k,w_k{\in}\mathcal{L}^{+},w_k{\ge}0,\int{w_k}d{\mu}{\le}\frac{1}{2^k}$且$u_k-u_{k-1}=v_k-w_k{\;}a.e.$。（严格地说就是存在$S_k$可忽略集合，在$\Omega{\backslash}S_k$上成立）
由于$u_k{\uparrow}{\;}{a.e.}$，而$v_k{\ge}w_k{\ge}0{\;}a.e.$。
令$f_n=\sum^n_{k=1}v_k,g_n=\sum^n_{k=1}w_k$，则$u_n=f_n-g_n{\;}a.e.$。我们有
$$ (g_n){\subset}\mathcal{L}^{+},g_n{\uparrow}{\;}a.e.{\quad}\int{g_n}d{\mu}=\sum^n_{k=1}\int{w_k}d{\mu}{\le}1\\(g_n){\subset}\mathcal{L}^{+},g_n{\uparrow}{\;}a.e.{\quad}\int{g_n}d{\mu}=\int{u_n}d{\mu}+\int{g_n}d{\mu}{\le}c+1 $$
所以对于$(g_n)$和$(f_n)$应用命题2.2.10（在$\mathcal{L}^{+}$的单调收敛），因为$S=\bigcup^{\infty}_{k=1}S_k$还是可忽略集，用到命题2.2.10，在$\Omega{\backslash}S$上，
$$ \lim_{n{\to}\infty}f_n=f{\in}\mathcal{L}^{+},\lim_{n{\to}\infty}g_n=g{\in}\mathcal{L}^{+} $$
且
$$ \int{f}d{\mu}=\lim\int{f_n}d{\mu},\int{g}d{\mu}=\lim\int{g_n}d{\mu} $$
在$\Omega{\backslash}S$上，$f-g=\lim_{n{\to}\infty}(f-g)=\lim_{n{\to}\infty}u_n$。也即有$\lim_{n{\to}\infty}u_n=f-g{\;}a.e.$。所以有$\lim_{n{\to}\infty}u_n{\in}\mathcal{L}^{+}$，且
$$ \int\lim_{n{\to}\infty}u_nd{\mu}=\int{f}d{\mu}-\int{g}d{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int{(f_n-g_n)}d{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int{u_n}d{\mu} $$
注：已经用到了$u,v{\in}\mathcal{L}^1,u=v{\;}a.e.$，则
$$ \int{u}d{\mu}=\int{v}d{\mu} $$
定理2.2.16
(法图引理)：令$(u_n){\subset}\mathcal{L}^1$且$f{\in}\mathcal{L}^1$为使得：
（a）$\sup_n\int_{\Omega}u_nd{\mu}<\infty$>
（b）对于任意$n,f{\le}u_n$几乎处处成立，则$\varliminf_{n{\to}\infty}u_n{\in}\mathcal{L}^1$且
$$ \int_{\Omega}\varliminf_{n{\to}\infty}u_nd{\mu}{\le}\varliminf_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
证明：我们取定$k$，且我们定义，对于$m{\ge}k$，
$$ u_{k,m}=\min(u_k,{\cdots},u_m) $$
序列$(u_{k,m})$递减到$v_k=\inf_{n{\ge}k}u_n$，且
$$ \int_{\Omega}fd{\mu}{\le}\int_{\Omega}u_{k,m}d{\mu} $$
上面的定理，应用到$(-u_{k,m})$，蕴含着$v_k{\in}\mathcal{L}^1$且
$$ \int_{\Omega}v_kd{\mu}=\lim_{m{\to}\infty}\int_{\Omega}u_{k,m}d{\mu}{\le}\lim_{m{\to}\infty}\min_{k{\le}n{\le}m}\int_{\Omega}u_nd{\mu}=\inf_{n{\ge}k}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
序列$(v_k)$单调递增到$\varliminf_{n{\to}\infty}u_n$且
$$ \int_{\Omega}v_kd{\mu}{\le}\sup_n\int_{\Omega}u_nd{\mu}<\infty $$
于是由上面的定理有$\varliminf_{n{\to}\infty}u_n{\in}\mathcal{L}^1$且
$$ \int_{\Omega}\varliminf_{n{\to}\infty}u_nd{\mu}=\lim_{k{\to}\infty}\int_{\Omega}v_kd{\mu}{\le}\lim_{k{\to}\infty}\inf_{n{\ge}k}\int_{\Omega}u_nd{\mu}=\varliminf_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
证明思路：注意到$(u_n)$没有单调性，所以$u_n(x)$不见得收敛，而且$\int{u_n}d{\mu}$也不见得收敛，但是$\varliminf_{n{\to}\infty}$总是存在的。由定义
$$ \varliminf_{n{\to}\infty}u_n(x)=\lim_{k{\to}\infty}(\inf_{n{\ge}k}u_n(x))=\lim_{k{\to}\infty}v_k(x) $$
这里令$v_k(x)=\inf_{n{\ge}k}u_n(x),v_k(x){\uparrow}$是单增的。
如果$v_k{\in}\mathcal{L}^1$，且$\sup\int{v_k}{d\mu}<\infty$，就可以用定理2.2.15（单调收敛定理）得到
$$ \int\varliminf{u_n}d{\mu}=\int\lim_{k{\to}\infty}(\inf_{n{\ge}k}u_n)d{\mu}=\lim_{k{\to}\infty}\int(\inf_{n{\ge}k}u_n)d{\mu} $$
但是先要知道$v_k=\inf_{n{\ge}k}u_n{\in}\mathcal{L}^1$。
证明：对于$m{\ge}k$，令$u_{k,m}=\min(u_k,{\cdots},u_m)$，则有$u_{k,m}{\in}\mathcal{L}^1$（有限项的极小），对于$m,u_{k,m}{\downarrow}$。于是当$m{\to}\infty$有$u_{k,m}{\downarrow}v_k$，且由于$u_n{\ge}f{\;}a.e$，则有$u_{k,m}{\ge}f$。所以$(-u_{k,m}){\subset}\mathcal{L}^1$，且$-u_{k,m}{\uparrow}-v_k$，
$$ \int(-u_{k,m})d{\mu}{\le}-\int(f)d{\mu}<{\infty} $$
然后应用定理2.2.15对$(-u_{k,m})$，就得到了$-v_k{\in}\mathcal{L}^1$。
$$ \int\lim(-u_{k,m})d{\mu}=\lim_{m{\to}\infty}\int(-u_{k,m})d{\mu} $$
也即
$$ \int{v_k}d{\mu}=\lim_{m{\to}\infty}\int(u_{k,m})d{\mu},v_k{\in}\mathcal{L}^1 $$
但是
$$ \lim_{m{\to}\infty}\int{u_{k,m}}d{\mu}{\le}\lim_{m{\to}\infty}\min_{k{\le}n{\le}m}\int{u_n}d{\mu}=\inf_{n{\ge}k}\int{u_n}d{\mu}{\le}c $$
这时候用我们一开始推导的就有
$$ \int\lim_{k{\to}\infty}u_nd{\mu}=\int\lim_{k{\to}\infty}(\inf_{n{\ge}k}u_n)d{\mu}=\int\lim_{k{\to}\infty}v_kd{\mu}=\lim_{k{\to}\infty}\int{v_k}d{\mu}{\le}\lim_{k{\to}\infty}\inf_{n{\ge}k}\int{u_n}d{}\mu=\varliminf_{k{\to}\infty}\int{u_n}d{\mu} $$
定理2.2.17
(勒贝格控制收敛定理)：令$(u_n){\subset}\mathcal{L}^1$且$f{\in}\mathcal{L}^1$为使得
（a）$u_n$几乎处处收敛
（b）对于任意$n,|u_n|{\le}f$几乎处处成立。
则$\lim_{n{\to}\infty}u_n{\in}\mathcal{L}^1$且
$$ \int_{\Omega}\lim_{n{\to}\infty}u_nd{\mu}=\lim_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}u_nd{\mu} $$
证明：由法图引理蕴含着$u=\lim_{n{\to}\infty}u_n{\in}\mathcal{L}^1$且
$$ 2\int_{\Omega}fd{\mu}{\le}\varliminf_{n{\to}\infty}\int2f-|u_n-u|d{\mu}=2\int_{\Omega}fd{\mu}-\varlimsup_{n{\to}\infty}\int_{\Omega}|u_n-u|d{\mu} $$
因此
$$ \lim_{n{\to}\infty}|\int_{\Omega}u_n-ud{\mu}|{\le}\lim_{n{\to}\infty}|u_n-u|d{\mu}=0 $$
这个证明主要是：因为$|u_n|{\le}f$，所以$-f{\le}u_n{\le}f$。可以用法图引理（2.2.16），说明$\lim{u_n}=\varliminf{u_n}{\in}\mathcal{L}^1$。这样就有$U_n=2f-|u_n-u|{\in}\mathcal{L}^1$。下面在对$U_n=2f-|u_n-u|$用法图引理，则有
$$ \int2fd{\mu}=\int\varliminf{2f-|u_n-u|}d{\mu}{\le}\varliminf\int{2f-|u_n-u|}d{\mu}=\int2f-\varlimsup\int|u_n-u|d{\mu} $$
这样就有了$\varlimsup\int{|u_n-u|}d{\mu}{\le}0$。
我们还可以用另一种方式：用$-f{\le}u_n{\le}f$，则$-f{\le}u_n,-f{\le}-u_n$。
对$u_n$用法图引理，则有
$$ \int{u}d{\mu}-\int\varliminf{u_n}d{\mu}{\le}\varliminf\int{u_n}d{\mu} $$
再对$-u_n$用法图引理：
$$ -\int{u}d{\mu}-\int\varliminf{(-u_n)}d{\mu}{\le}\varliminf\int{(-u_n)}d{\mu}=-\varlimsup\int{u_n}d{\mu} $$
放在一块就有了
$$ \varlimsup\int{u_n}d{\mu}{\le}\int{u}d{\mu}{\le}\varliminf\int{u_n}d{\mu} $$
定理2.2.18
(对比定理)：令$(u_n){\subset}\mathcal{L}^1$且$f{\in}\mathcal{L}^1$为使得：
（a）$u_n$几乎处处收敛到$u$。
（b）$|u|{\le}f$几乎处处
则$u{\in}\mathcal{L}^1$。
证明：我们定义
$$ v_n=\max(\min(u_n,f),-f) $$
序列$(v_n){\subset}\mathcal{L}^1$是使得：
（a）$v_n$几乎处处收敛到$u$。
（b）对于任意$n,|v_n|{\le}f$几乎处处。
上面的定理蕴含着$u=\lim_{n{\to}\infty}v_n{\in}\mathcal{L}^1$。
证明里面的$v_n$就是大于$f$的就定义为$f$，小于$-f$的定义为$-f$。
