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可测性的概念

可测函数类与连续函数类有一些共同的基本性质(相似之处),所以对于可测函数类的刻画都是用拓扑空间、开集、连续函数这些概念与可测空间、可测集、可测函数之间的类似性(类比)。从而更好地把握住可测函数的刻画情况。

定义拓扑

  1. 集$X$的子集族$\tau$称为$X$上的一个拓扑,若$\tau$具有一下的三个性质:

    1. $\emptyset{\in}\tau$及$X{\to}\tau$(空集与全集)
    2. 若$V_i{\in}\tau,i=1,\cdots,n.则V_1{\cap}V_2{\cap}\cdots{\cap}V_n{\in}\tau$(有限交运算封闭)
    3. 若$\left\{V_{\alpha}\right\}$是由$\tau$的元素构成的集族(有限、可数或不可数),则${\cup}_{\alpha}V_{\alpha}{\in}\tau$(关于并运算封闭)
  2. 若$\tau$是$X$上的拓扑,则称$X$为一个拓扑空间,且$\tau$的元素称为$X$的开集。(拓扑中开集的定义)
  3. 若$X$和$Y$为拓扑空间,且$f$是$X$到$Y$内的映射,而对$Y$的每一个开集$V$,$f^{-1}(V)$是$X$的开集,则称$f$是连续的。(开集的原像是开集)

定义测度(长度)

  1. 集$X$的子集族$\mathfrak{M}$称为$X$的一个$\sigma$代数,若$\mathfrak{M}$具有如下性质:

    1. $X{\in}\mathfrak{M}$ (全集在代数中)
    2. 若$A{\in}\mathfrak{M}$,则$A^c{\in}\mathfrak{M}$,其中$A^c$是$A$关于$X$的补集(代数中任意集合对补运算封闭)
    3. 若$A={\cup}^{\infty}_{n=1}A_n$,且$A_n{\in}\mathfrak{M},n=1,2,3,\cdots$,则$A{\in}\mathfrak{M}$(代数对并运算封闭)
  2. 若$\mathfrak{M}$是X的$\sigma$代数,则称$X$是一个可测空间,且$\mathfrak{M}$的元素称为$X$的可测集
  3. 若$X$是可测空间,$Y$是拓扑空间,$f$是$X$到$Y$内的映射,而对$Y$的每一个开集$V$,$f^{-1}(V)$是$X$的可测集,则称$f$是可测的。(函数可测定义:开集原像是一个可测集)。

我们最为熟悉的拓扑空间是度量空间,满足了非负,对称,三角不等式。加上度量的情况下,对一个开球的描述就更为具体。(拓扑空间的概念更广)

度量空间诱导出拓扑空间

首先定义度量函数$\rho:X{\times}X{\to}R$有以下性质:

  1. $\forall x,y{\in}X,\rho(x,y){\ge}0$。
  2. $\rho(x,y)=0$,当且仅当$x=y$。
  3. $\rho(x,y)+\rho(y,z){\ge}\rho(x,z),\forall{x,y,z}{\in}X$。
  4. $\rho(x,y)=\rho(y,x)$。

为什么说度量空间能够诱导出拓扑呢?因为对于$\forall x{\in}X,r{\ge}0$可以造出一个$B(x,r)$,也就是一个开球。若$X$为度量空间,$\tau$是这样的$E{\subset}X$构成的集族:$E$是$X$上开球的任意并,则$\tau$是$X$的一个拓扑。

显然可以证明这个拓扑满足之前拓扑的三要素。

空集与全集都很简单,对于任意并也很简单,除了这个有限交运算。

有限交运算的证明需要先证明一个引理

度量诱导拓扑的交引理

$(X,\rho)$的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集。

证明:设$U=B(x_1,\varepsilon_1){\cap}B(x_2,\varepsilon_2)$,$\forall x{\in}U$。则$\varepsilon_i-d(x,x_i)>0(i=1,2)$。记$\varepsilon_x=min(\varepsilon_1-d(x,x_1),\varepsilon-d(x,x_2))$。于是不难验证$B(x,\varepsilon_x){\subset}U$,于是$U={\cup}_{x{\in}U}B(x,\varepsilon_x)$。

证明思路:首先取相交的集合中的某个点,该点到原来两个球心的距离显然小于原来两个球的半径,取半径减去两点距离的最小值,显然以这个为半径的球必然在两球相交之内。(画图更为显著)

接下来利用这个引理来证明诱导的拓扑的交:

证明:设$U,U'{\in}\tau_d$,记$U={\cup}_{\alpha}B(x_{\alpha},\varepsilon_{\alpha})$,$U'={\cup}_{\beta}B(x'_{\beta},\varepsilon'_{\beta})$。则$U{\cap}U'=(\cup_{\alpha}B(x_{\alpha},\varepsilon_{\alpha}){\cap}({\cup}_{\beta}B(x'_{\beta},\varepsilon'_{\beta}))={\cup}_{\alpha,\beta}(B(x_{\alpha},\varepsilon_{\alpha}){\cap}B(x'_{\beta},\varepsilon'_{\beta}))$。根据引理,对任何$\alpha,\beta$,$B(x_{\alpha},\varepsilon_{\alpha}){\cap}B(x'_{\alpha},\varepsilon'_{\alpha}){\in}\tau_d$,再由拓扑公理的任意并,得出$U{\cap}U'{\in}{\tau}_d$。

一般而言这个就是度量空间决定的度量拓扑。

一些简单的常识

对于一维和二维上的简要介绍,具体可以参考那汤松的证明。

$R$上的开集:为互不相交的开区间的并。

$R^2$上的开集:为开圆盘之并。

局部连续性质

若对$f(x_0)$的每一个邻域$V$,对应有$x_0$的一个邻域$W$,使得$f(W){\subset}V$,则称$X$到$Y$内的映射$f$在点$x_0$处连续。

整体连续与局部连续性质关系

设$X$和$Y$是拓扑空间,$f$是$X$到$Y$内的映射,当且仅当$f$在$X$的每一点连续时,映射$f$是连续的。

证明:若$f:X{\to}Y$连续,我们要证明在任意一点连续,也就是取到某一点的一个邻域,证明其邻域对应过去包含在该点函数值的邻域中。首先$\forall x_0{\in}X$,对$f(x_0)$的任意邻域$V$,$f^{-1}(V)$是$X$上的开集,从而是$x_0$的一个邻域(因为映射整体连续,所以必然是开集,而且包含$x_0$),于是乎不妨设$W=f^{-1}(V)$,这样我们有$f(f^{-1}(V)){\subset}V$,从而可以证明在$x_0$该映射连续。由于$x_0$的任意性,所以该定理得证。

若$f$在每个点都连续,要证明整体连续性质,也就是找到$Y$中的一个开集$V$,证明其原像$f^{-1}(V)$也是开集。不妨取任一$V{\subset}Y$为开集,$\forall x{\in}f^{-1}(V)$,由局部连续性质,存在$x{\in}W_x$,使得$f(W_x){\subset}V$,做一个拉回$W_x{\subset}f^{-1}(V)$,于是则有${\cup}_{x}W_x{\subset}f^{-1}(V)$,于是可以推出${\cup}_{x}W_x{=}f^{-1}(V)$,从而由于开集的任意并是开集,所以知道原像$f^{-1}(V)$也是开集。证毕

对测度的补充

设$\mathfrak{M}$是集$X$内的$\sigma$代数,由$\sigma$代数的定义可以推出以下性质:

  1. 由于$\varnothing=X^c$,故可以推出$\varnothing{\in}\mathfrak{M}$(空集属于代数,与拓扑空间对应)
  2. 在定义三中取$A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots={\varnothing}$,可以得到:若$A_i{\in}\mathfrak{M},i=1,\cdots,n$,则$A_1{\cup}A_2{\cup}\cdots{\cup}A_n{\in}\mathfrak{M}$(有限并)
  3. 由于

$$ \bigcap^{\infty}_{n=1}A_n=(\bigcup^{\infty}_{n=1}A^c_n)^c $$

所以$\mathfrak{M}$对于可数交(当然对有限交)是封闭的。

  1. 由于$A-B=B^c{\cap}A$,若$A{\in}\mathfrak{M}$及$B{\in}\mathfrak{M}$,就有$A-B{\in}\mathfrak{M}$。(对差运算封闭)

所谓的$\sigma$前缀是代表对所有的可数并运算成立,而没有这个前缀则是称为一个代数,是对有限并运算成立。

定理(连续函数性质)

设$Y$和$Z$为拓扑空间,且$g:Y{\to}Z$是连续的。

  1. 若$X$是拓扑空间,$f:X{\to}Y$是连续的,且$h=g{\circ}f$,则$h:X{\to}Z$是连续的。
  2. 若$X$是可测空间,$f:X{\to}Y$是可测的,且$h=g{\circ}f$,则$h:X{\to}Z$是可测的。

简单来说就是:连续函数的连续函数是连续的;可测函数的连续函数是可测的。

证明十分简单:

1,若$V{\subset}Z$为开集,因为$g^{-1}(V)$是开集,如果$f$连续,则$f^{-1}(g^{-1}(V))$是开集,从而可以推出$h^{-1}(V)$是开集,从而可以知道$h$连续。

2,若$V{\subset}Z$为开集,因为$g^{-1}(V)$是开集,如果$f$可测,则$f^{-1}(g^{-1}(V))$是可测集,从而可以推出$h^{-1}(V)$是可测集,从而可以知道$h$可测。

二维情况下的特殊例子

设$u$和$v$是可测空间$X$上的实可测函数,设$\Phi$是平面到拓扑空间$Y$内的连续映射,且对$x{\in}X$定义:

$$ h(x)=\Phi(u(x),v(x)) $$

则$h:X{\to}Y$是可测的。

证明思路:将这个函数套用上述定理,仅需证明这个函数可测即可,该函数可测即为该函数值域的原像是可测的,而可将其分为$u$与$v$函数的原像之并,在二维平面上可以取到矩形的可数并,从而因为$u$与$v$可测,所以$\Phi$可测。证毕。

证明细节:令$f(x)=(u(x),v(x)),f:X{\to}R,h=\Phi{\circ}f$,那么仅需证明$f$可测即可。

设$B$为$R^2$上开矩形,$B=I_1{\times}I_2=\left\{(x,y),x{\in}I_1,y{\in}I_2\right\}$。于是有$f^{-1}(B)=u^{-1}(I_1){\cap}v^{-1}(I_2)$。因为这两个函数$u,v$均为可测函数,所以拉回是可测集,可测集之交还是可测集,所以$f$在这种情况下可测。

又因为平面上的开集$V$都是由这样的可数个矩形之并表示的(细隔法:与有理数对应的可数),于是乎$U={\cup}_{i=1}^{\infty}B_i$,

$$ f^{-1}(V)=f^{-1}(\cup^{\infty}_{i=1}B_i)=\cup^{\infty}_{i=1}f^{-1}(B_i) $$

于是乎由于拉回是可测集已经证明,由于是$\sigma$代数,所以对可数并也是封闭的,所以也是可测集合,证毕。

推论:引用到复数域

  1. 若$u$和$v$是$X$上的实可测函数,$f=u+iv$,则$f$为$X$上的复可测函数。
  2. 若$f=u+iv$是$X$上的复可测函数,则$u,v,|f|$都是$X$上的实可测函数。
  3. 若$f$及$g$是$X$上的复可测函数,则$f+g$及$fg$也是复可测函数。
  4. 若$E$是$X$上的可测集,并且

$$ \mathcal{X}_E(x)=\begin{cases}1 \quad 当x{\in}E,\\0 \quad 当x{\notin}E \\\end{cases} $$

则$\mathcal{X}_E$是可测函数。

  1. 若$f$为$X$上的复可测函数,则存在$X$上的复可测函数$\alpha$,使得$|\alpha|=1$,且$f=\alpha|f|$。

证明:对于2式,可以知道$f:X{\to}C$,于是乎对于$(a,b){\in}R$,要证明$u^{-1}(a,b)$可测。仅需这样取,取$C$的开集$(a,b){\cup}R$,而拉回$f^{-1}((a,b){\times}R)=u^{-1}(a,b){\cap}v^{-1}(R)$,显然有$v^{-1}(R)=X$,所以因为$f$可测性质,直接可以推出:$u^{-1}(a,b)$可测。另一个同理。

这里比较特别是4,对于4,需要进行分段处理,我们知道的是$\mathcal{X}_E:X{\to}R$,于是按照定义应该取$R$中开集$(a,b)$,则应该对开集$(a,b)$分情况讨论:

  1. $(a,b)$中仅仅包含1,则拉回是一个可测集合$E$,所以显然可测
  2. $(a,b)$中仅仅包含0,则拉回是一个可测集合$E^c$,因为可测集对补运算封闭,显然可测
  3. $(a,b)$中包含0和1,则拉回是一个空集,所以可测(空集可测)
  4. $(a,b)$中不包含0和1,则拉回是一个全集,所以可测。

对于5,则是很巧妙的一种函数设置方法:

证明:设$E=\left\{x:f(x)=0\right\},Y=C-{0}$,$\phi(z)=\frac{z}{|z|},\forall z{\in}Y$,令$\alpha(x)=\phi(f(x)+\mathcal{X}_E(x))$,于是有一下结论:

$x{\in}E$,$\alpha(x)=1,f(x)=0$成立;当$x{\notin}E,\alpha(x)=\frac{f(x)}{|f(x)|},f=\alpha|f|$,所以满足以上条件,但是需要证明该函数$\alpha(x)$复可测,显然$\phi$连续,而$f(x)$又是复可测,那么主要就是要证明$\mathcal{X}_E(x)$可测,而证明该函数可测,实则就是要证明$E$是可测集,仔细看下$E$的定义,不难想到要证明该函数可测,也就是$f(x)=0$的拉回是一个可测集,$0$显然不是个开集,所以只能选择用$0{\subset}{\cap}_{n=1}^{\infty}B(0,\frac{1}{n})$。因为$f$可测,所以对于任意在$C$上的开球$B(0,\frac{1}{n})$其拉回显然可测,如果有$f^{-1}({\cap}_{n=1}^{\infty}B(0,\frac{1}{n}))={\cap}_{n=1}^{\infty}(f^{-1}(B(0,\frac{1}{n})))$则显然可以证明完成,因为对任意可测集的交集还是可测的。

其实真实情况是:

$$ E=\cap^{\infty}_{n=1}\left\{x:|f(x)|<\frac{1}{n}\right\} $$

而这个$E$这样显然可测。

Last modification:October 31st, 2019 at 09:02 am
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