基础拓扑学
1 引言
从一笔画问题谈起,到所谓的戈尼斯堡七桥问题,四色问题,到欧拉示性数,到所谓的不定向流形(莫比乌斯圈,克莱因瓶)。其中均揭示了拓扑学的思考方式,从连续变换的角度去考虑问题,而不再基于所谓的长度等度量角度。
这里简要提及一下欧拉示性数。
Euler多面体定理
这个定理适用于立体几何学:凸多面体的面数$f$,棱数$l$和顶点数$v$满足Euler公式
$$ f-l+v=2 $$
定理1:球面上一个连通的图的节点数$v$,枝数$l$以及它分割球面所成的面块数$f$满足公式
$$ f-l+v=2 $$
定理2:环面上一个连通图若分割环面称为一些简单面块(即没有洞的面块),则面块数$f$,图的枝数$l$和节点数$v$满足公式
$$ f-l+v=0 $$
这个示性数完全的表示了曲面的一种几何性质。
研究目的
研究拓扑学,实际上就是研究物体在连续变换下不变的几何性质。
埃尔朗根纲领
论述了变换群在几何中的主导作用,把所有几何统一在变换群论的观点之下。将几何定义为一个变换群之下的不变性质。
换言之,就是有多少种不同的变换群,就有多少种不同的几何学。
2 拓扑空间与连续映射
实际上我们经常接触到的欧式空间,其满足代数结构和度量结构还有拓扑结构,是一个非常完美的对象。但是因为太完美,所以这些结构平常无法区分,而研究拓扑,则需要将拓扑结构抽离出来。
映射的连续性
映射的连续性是用来刻画拓扑变换的关键概念,所以拓扑结构必须能够刻画连续性概念。通过与我们之前学过的连续函数的一个对比,我们能够感受到脱离度量之后,只有开集能够刻画连续性的本质性质,而这个就是拓扑空间该具有的性质;拓扑空间就是那些具有开集结构的空间。
拓扑空间的定义
因为需要开集来刻画连续性,所以拓扑空间中的元素必然是开集,那么就需要对拓扑空间的刻画由开集来决定,我们定义拓扑空间$(X,\tau)$:
- $X,\varnothing$都包含在$\tau$中
- $\tau$中任意多个成员的并集都在$\tau$中
- $\tau$中有限多个成员的交集都在$\tau$中
于是乎这就赋予$X$一个拓扑结构,从而成为拓扑空间,其中的元素均为开集。
不同的拓扑
我们知道,对于一个集合$X$上实际上可以定义不同的拓扑,这里举几个例子:
- 平凡拓扑:$\left\{X,\varnothing\right\}$。
- 离散拓扑:$2^X$。
- 余有限拓扑:$\tau_f=\left\{A^c|A是X的有限子集\right\}{\cup}{\varnothing}$。
- 余可数拓扑:$\tau_c=\left\{A^c|A是X的可数子集\right\}{\cup}{\varnothing}$
- 欧式拓扑:$\tau_e=\left\{U|U是若干个开区间的并集\right\}$
但是我们知道对于两个拓扑:如果有$\tau_1{\subset}\tau_2$,则称呼$\tau_2$比$\tau_1$精细,实则就是分的子集更多。
赋予度量诱导拓扑
度量拓扑实则是给集合赋予了度量之后自然诱导出来的拓扑空间。
首先给与度量定义:
集合$X$上的一个度量$d$是一个映射$d:X{\times}X{\to}R$,满足:
- 正定性:$d(x,x)=0,\forall x{\in}X$,$d(x,y)>0,x\neq y$。
- 对称性:$d(x,y)=d(y,x),\forall x,y{\in}X$。
- 三角不等式:$d(x,z){\le}d(x,y)+d(y,z),\forall x,y,z{\in}X$。
当集$X$上赋予了度量之后,称为度量空间$(X,d)$。
这里需要根据这个度量给定一个开集的定义:
设$x_0{\in}X$,$\varepsilon$是一个正数,称$X$的子集
$$ B(x_0,\varepsilon):=\left\{x{\in}X|d(x_0,x)<\varepsilon\right\} $$
为以$x_0$为心,以$\varepsilon$为半径的球形邻域。
对于这个结构的若干并集定义为拓扑,那么要产生拓扑则必须要满足三大法则:显然,空集和全集都在这个拓扑里面,而对于若干个开集之并也在这个拓扑里面,所以只需要证明交在拓扑里即可。
这个证明推导到后面,实则就是该度量空间中的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集。而这个可以通过取交集中的任意点,从两个半径到两个圆心之间作差,取最小做半径即可包含这个点,得到一个开集。
所以给与了度量必然可以诱导出一个度量拓扑。
拓扑空间中的几个基本概念
闭集:闭集就是开集的余集。
实则拓扑空间也能用闭集刻画,但是由于是从连续映射概念引入,所以开集刻画拓扑已经深入人心,也没必要用闭集刻画。
而闭集的刻画结构直接通过德摩根定理可以得到。
邻域,内点和内部
设$A$是拓扑空间$X$的一个子集,点$x{\in}A$。如果存在开集$U$,使得$x{\in}U{\subset}A$,则称$x$为$A$的一个内点,而$A$称为$x$的一个邻域。$A$中所有内点的集合称为$A$的内部。
聚点与闭包
设$A$是拓扑空间$X$的一个子集,$x{\in}X$,若$x$的每一个邻域都含有$A\setminus\left\{x\right\}$中的点,则称$x$为$A$的聚点。$A$的所有聚点的集合称为$A$的导集记为$A'$,称$\overline{A}=A{\cup}A'$为$A$的闭包。
实际上内点概念容易理解,就是在集合中找到个开集去包含它,而邻域概念也很简单,内部直接就由定义给出。
这里要给出一个提醒,内部实则是包含于$A$的最大开集。
而对于聚点概念,显然这个聚点概念比内点的概念要强很多,实际上对于聚点来说,要求的是身边除了这个点之外,需要有其他点趋向于他。而导集与闭包则按定义给出。
题型:闭包实则是包含$A$的最小闭集。
其实最为形象的是单位圆,单位圆的里面都是内部,而圆曲线与内部合成的整个圆则是导集。
稠密集
定义稠密集:拓扑空间$X$的子集$A$是稠密的,如果$\overline{A}=X$。也就是闭包为全集,那么可想而知其聚点形成的导集,必然是$A^c$。具体例子可以想象实数轴$R$上的有理数集合$Q$。显然聚点是包括了无理数集的。
如果$X$有可数的稠密子集,则称$X$是可分拓扑空间。