思路
$Arzela-Ascoli$定理条件的改变与减弱
将该定理中的闭区间$[\alpha,\beta]$上的连续函数族扩展到无穷紧空间上的连续算子族，并且给出无穷紧空间上连续算子族相对紧性判断的一个充要条件，然后将定理中一致有界减弱为在一点有界，定理结论仍旧成立。
该定理对有限闭区间上连续函数族相对紧性判定的一个充要条件，故该定理应用非常广泛。
张恭庆的《泛函分析讲义》将闭区间$[\alpha,\beta]$推广到紧空间$K$，指出$C(K)$的子集$F$是相对紧的当且仅当$F$等度连续且一致有界。
该期刊将实值连续函数推广到向量值连续算子，也就是假设$E$为紧度量空间，$X$为巴拿赫空间，$C(E,X)$表示从$E$到$X$的连续函数的全体，给出了$C(E,X)$上任一子集相对紧的充要条件，于是大大扩展了应用范围，并且对定理要求的一致有界条件可以减弱到在一点有界，从而更为扩展适用空间。
预备知识
1.设$(X,\rho)$为距离空间，$A$是$X$的子集，如果$A$中的任何点列必有在$X$中的收敛子列，则称$A$为紧集。
2.设$(X,\rho)$是距离空间，$A$是$X$的一个子集，$B{\subseteq}A$，如果有$\varepsilon>0$，使得以$B$中各点为中心，以$\varepsilon$为半径的开球全体覆盖$A$，也就是$A{\subseteq}{\bigcup}_{x{\in}B}O(x,\varepsilon)$，则称$B$是$A$的$\varepsilon$网。如果$B$是有限集，则称$B$是$A$的有限$\varepsilon$网。
3.设$(X,\rho)$为距离空间，$A$是$B$的子集。如果对于任意$\varepsilon>0$，都存在着$A$的一个有限$\varepsilon$网，则称集合$A$是完全有界的。
从下面的引理可以看出，集合的相对紧性与完全有界有着重要的联系。
引理1：度量空间中相对紧集必是完全有界集；在完备度量空间中，完全有界集必是相对紧集。（其实就是豪斯多夫引理），这里给出证明：
必要性：反证法！若$\exists{\varepsilon_0}>0,M$中没有有限的$\varepsilon_0$网。任取$x_1{\in}M,{\exists}x_2{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon)$；
$$ 对\left\{x_1,x_2\right\}{\in}M,\exists{x_3}{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon_0){\bigcup}B(x_2,\varepsilon_0);\\{\cdots}\\对\left\{x_1,\cdots,x_n\right\}{\in}M,{\exists}x_{n+1}{\in}M{\backslash}{\bigcup}^n_{k=1}B(x_k,\varepsilon_0)\\{\cdots} $$
这样产生的点列$\left\{x_n\right\}{\subset}M$显然满足$\rho(x_n,x_m){\ge}\varepsilon_0(n{\neq}m)$，它不能有收敛的子列。而这和$M$的列紧性矛盾。
充分性：若$\left\{x_n\right\}$是$M$中的无穷点列，想找到一个收敛子列，对1网，$\exists{y_1}{\in}M,\left\{x_n\right\}$的子列$\left\{x_n^{(1)}\right\}{\subset}B(y_1,1)$。
$$ 对\frac{1}{2}网,{\exists}y_2{\in}M,\left\{x_n^{(1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(2)}\right\}{\subset}B(y_2,\frac{1}{2})\\{\cdots}\\对\frac{1}{k}网,{\exists}y_k{\in}M,\left\{x_n^{(k-1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(k)}\right\}{\subset}B(y_k,\frac{1}{k})\\{\cdots} $$
最后抽出对角线子列$\left\{x_n^{(k)}\right\}$，它是一个基本列。实际上，对${\forall}\varepsilon>0$，当$n>2/\varepsilon$时，对${\forall}p{\in}\mathbb{N}$有
$$ \begin{align*}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},x^{(n)}_n)&{\le}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},y_n)+\rho(x^{(n)}_n,y_n)\\&{\le}\frac{2}{n}<\varepsilon\end{align*} $$
引理2：设$A$是$R^n$的子集，则$A$是相对紧的当且仅当$A$是有界的。
关于连续函数的概念：
设$F$是$C[\alpha,\beta]$的子集。
如果存在$M>0$，使得对任意$x{\in}[\alpha,\beta]$，任意$f{\in}F$都有$|f(x)|{\le}M$，则称$F$是一致有界的。
如果对于任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对于任意两点$x_1,x_2{\in}[\alpha,\beta]$，当$|x_1-x_2|<\delta$时，对$F$中每个函数$f$都有$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，则称$F$是等度连续的。
引理3(Ascoli-Arzela)：设$F=f(t)$是定义在$\alpha{\le}t{\le}\beta$上的一致有界且等度连续的实值(m维)向量函数族，则从$F$中必可选取一个在$\alpha{\le}t{\le}\beta$上一致收敛的函数列$\left\{f_n(t)\right\},(n=1,2,\cdots)$。
主要结果
先给出$C(E,X)$中的一些定义。
设$E$为紧空间，$X$是巴拿赫空间，用$C(E,X)$表示$E$到$X$的连续函数全体，令
$$ \|f\|=\sup\left\{\|f(t)\|:t{\in}E\right\} $$
容易验证$C(E,X)$为巴拿赫空间，对于$C(E,X)$的子集，也有类似的一致有界与等度连续的概念。
定义：设$F$是$C(E,X)$的子集。
（1）如果存在$M>0$，使得对于任意$x{\in}E,f{\in}F$都有$\|f\|{\le}M$，则称$F$是一致有界的。
（2）如果对任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对于$F$中的每个函数$f$都有$\|f(x_1)-f(x_2)\|{\le}\varepsilon$，则称$F$是等度连续的。
定义：设$f$是从距离空间$(X,\rho_1)$到距离空间$(Y,\rho_2)$的一个映射，如果对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对任意$x_1,x_2{\in}X$，当$\rho_1(x_1,x_2)<\delta$时，有$\rho_2(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon$，则称$f$是一致连续的。
注意到定义在闭区间上的实值函数如果连续，则必定一致连续。
这一结论从紧距离空间到距离空间的连续算子也是成立的。
引理4：若$f$是从紧距离空间$E$到距离空间$X$的连续算子，则$f$是一致连续的。
紧空间的情形
定理1：若$F{\subseteq}C(E,X)$是相对紧的，则$F$是一致有界且等度连续的。
证明：因为$C(E,X)$是完备的，由引理1，$F$是完全有界的，即对任意$\varepsilon>0$，存在有限$\frac{\varepsilon}{3}$网$\left\{f_1,f_2,\cdots,f_n\right\}$，即对任意$f{\in}F$，存在$f_{j_0}(1{\le}j_0{\le}n)$使得
$$ \|f(x)-f_{j_0}(x)\|{\le}\frac{\varepsilon}{3}{\quad}(x{\in}E) $$
又因为对于任意的$x{\in}E,f_j(x)(j=1,2,\cdots,n)$在紧空间$E$上连续，由引理4，$f_j(x)(j=1,2,\cdots,n)$在$E$上一致连续，即对上述$\varepsilon$，存在$\delta_j>0$，对于任意$x',x''{\in}E$，当$\rho(x',x'')<\delta_j$时，$\|f_j(x')-f_j(x'')\|<\frac{\varepsilon}{3},j=1,2,\dots,n$。取$\delta=\min\left\{\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n\right\}$，则对于任意$x',x''{\in}E$，当$\rho(x',x'')<\delta$时
$$ \|f_j(x')-f_j(x'')\|<\frac{\varepsilon}{3},j=1,2,\cdots,n $$
因此
$$ \|f(x')-f(x'')\|{\le}\|f(x')-f_{j_0}(x')\|+\|f_{j_0}(x')-f_{j_0}(x'')\|+\|f_{j_0}(x'')-f(x'')\|{\le}\varepsilon $$
所以$F$是等度连续的。
下面证$F$是一致有界的，事实上，取$\varepsilon=1$，存在$\left\{f_1,f_2,\cdots,f_m\right\}{\subset}F$，使得$F{\subseteq}{\bigcup}^m_{i=1}O(f_i,1)$，所以存在$M=1+\max_{1{\le}i{\le}m}\|f_i\|$，使得$\|f\|{\le}M,(f{\in}F)$，证明完毕。
一般的巴拿赫空间
对于一般的巴拿赫空间，$C(E,X)$中子集的相对紧性有如下定理：
定理2：令$E$为紧度量空间，$X$为巴拿赫空间，$F$为连续映射族$C(E,X)$的子集，则$F$为相对紧的当且仅当下面两个条件满足：
- $F$是等度连续的
- 对于任意的$x{\in}E$，集合$F(x)=f(x):f{\in}F$是相对紧的
证明：假设$F$满足两个条件。我们证明$F$是相对紧的，由已知$X$为巴拿赫空间，所以$C(E,X)$为完备的，从引理1，只需要证明$F$是完全有界集。
因为$F$是等度连续的，也就是对任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta=\delta(\varepsilon)>0$，对于任意的$f{\in}F$，任意的$x_1,x_2{\in}E$，当$\rho(x_1,x_2)<\delta$时，
$$ \|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac{\varepsilon}{4} $$
又$E$是紧度量空间，由引理1，对于上述$\delta>0$，存在$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}{\subset}E$，对于任意$x{\in}E$，存在$1{\le}i_0{\le}n$，使得$\rho(x,x_{i_0})<\delta$。
由条件（2），$F(x_1),F(x_2),\cdots,F(x_n)$是相对紧的，所以
$$ Y=F(x_1){\bigcup}{\cdots}{\bigcup}F(x_n) $$
也还是相对紧的，由引理1，$Y$存在有限的$\frac{\varepsilon}{4}$网$\left\{a_1,a_2,\cdots,a_m\right\}$，故对任意的$i=1,2,\cdots,n$，存在$a_{{\sigma}i}$，使得
$$ \|f(x_i)-a_{{\sigma}i}\|<\frac{\varepsilon}{4} $$
其中$\sigma:\left\{1,\cdots,n\right\}{\to}\left\{1,\cdots,m\right\}$是一个映射，对于任意的$\sigma$，令
$$ F_{\sigma}=\left\{f{\in}F:\|f(x_i)-a_{\sigma{i}}\|<\frac{\varepsilon}{4},i=1,2,\cdots,n\right\} $$
则有限个$F_{\sigma}$覆盖$F$，要说明$F_{\sigma}$为$F$的有限$\varepsilon$网，只要说明$F_{\sigma}$的半径小于$\varepsilon$即可。对于任意的$f,g{\in}F_{\sigma},x{\in}E$，
$$ \|f(x)-g(x)\|{\le}\|f(x)-f(x_{i_0})\|+\|f(x_{i_0})-a_{{\sigma}i}\|+\|a_{{\sigma}i}-g(x_{i_0})\|+\|g(x_{i_0})-g(x)\|<\varepsilon $$
充分性得以证明。下面证明必要性：对于等度连续，证法等同定理1，对于（2）则由$F$的相对紧性易得。
减弱条件到一点有界
最后可以将原定理中的条件适当减弱：
定理3：Ascoli-Arzela定理中函数族的一致有界性减弱为在某一点有界，结论仍旧成立。
证明：不妨设$F$在$a$点有界，我们只需证$F$一致有界。（一点有界可以推出一致有界）
由$F$等度连续，则对任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta=\delta(\varepsilon)>0$，对任意的$f{\in}F$，任意的$x_1,x_2{\in}[\alpha,\beta]$，当$|x_1-x_2|<\delta$时
$$ |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon $$
对上述的$\delta$，$[\alpha,\beta]$存在有限$\frac{\delta}{2}$网$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}$，且$x_1{\le}x_2{\le}\cdots{\le}x_n)$，也就是对于任意的$x{\in}[\alpha,\beta]$，存在$x_{i_0}(1{\le}i_0{\le}n)$，使得$|x-x_{i_0}|<\frac{\delta}{2}<\delta$，所以
$$ |f(x)-f(x_{i_0})|<\varepsilon $$
又因为$|x_1-a|<\frac{\delta}{2}<\delta,|x_i-x_{i-1}|<\delta(i=2,3,\cdots,n)$，故
$$ |f(x_1)-f(a)|<\varepsilon,|f(x_i)-f(x_{i-1})|<\varepsilon(i=2,3,\cdots,n) $$
于是，对于任意的$f{\in}F$，任意$x{\in}[\alpha,\beta]$，
$$ |f(x)|{\le}|f(x)-f(x_{i_0})|+|f(x_{i_0})-f(x_{i_0-1})|+{\cdots}+|f(x_2)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(a)|+|f(a)|<(n+1)\varepsilon+|f(a)| $$
故$f$在$[\alpha,\beta]$上一致有界。（通过不断地加一项减一项，然后利用等度连续，直接放到$n-1$个$\varepsilon$。）