思路

$Arzela-Ascoli$定理条件的改变与减弱

将该定理中的闭区间$[\alpha,\beta]$上的连续函数族扩展到无穷紧空间上的连续算子族,并且给出无穷紧空间上连续算子族相对紧性判断的一个充要条件,然后将定理中一致有界减弱为在一点有界,定理结论仍旧成立。

该定理对有限闭区间上连续函数族相对紧性判定的一个充要条件,故该定理应用非常广泛。

张恭庆的《泛函分析讲义》将闭区间$[\alpha,\beta]$推广到紧空间$K$,指出$C(K)$的子集$F$是相对紧的当且仅当$F$等度连续且一致有界。

该期刊将实值连续函数推广到向量值连续算子,也就是假设$E$为紧度量空间,$X$为巴拿赫空间,$C(E,X)$表示从$E$到$X$的连续函数的全体,给出了$C(E,X)$上任一子集相对紧的充要条件,于是大大扩展了应用范围,并且对定理要求的一致有界条件可以减弱到在一点有界,从而更为扩展适用空间。

预备知识

1.设$(X,\rho)$为距离空间,$A$是$X$的子集,如果$A$中的任何点列必有在$X$中的收敛子列,则称$A$为紧集

2.设$(X,\rho)$是距离空间,$A$是$X$的一个子集,$B{\subseteq}A$,如果有$\varepsilon>0$,使得以$B$中各点为中心,以$\varepsilon$为半径的开球全体覆盖$A$,也就是$A{\subseteq}{\bigcup}_{x{\in}B}O(x,\varepsilon)$,则称$B$是$A$的$\varepsilon$网。如果$B$是有限集,则称$B$是$A$的有限$\varepsilon$网

3.设$(X,\rho)$为距离空间,$A$是$B$的子集。如果对于任意$\varepsilon>0$,都存在着$A$的一个有限$\varepsilon$网,则称集合$A$是完全有界的。

从下面的引理可以看出,集合的相对紧性与完全有界有着重要的联系。

引理1:度量空间中相对紧集必是完全有界集;在完备度量空间中,完全有界集必是相对紧集。(其实就是豪斯多夫引理),这里给出证明:

必要性:反证法!若$\exists{\varepsilon_0}>0,M$中没有有限的$\varepsilon_0$网。任取$x_1{\in}M,{\exists}x_2{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon)$;

$$ 对\left\{x_1,x_2\right\}{\in}M,\exists{x_3}{\in}M{\backslash}B(x_1,\varepsilon_0){\bigcup}B(x_2,\varepsilon_0);\\{\cdots}\\对\left\{x_1,\cdots,x_n\right\}{\in}M,{\exists}x_{n+1}{\in}M{\backslash}{\bigcup}^n_{k=1}B(x_k,\varepsilon_0)\\{\cdots} $$

这样产生的点列$\left\{x_n\right\}{\subset}M$显然满足$\rho(x_n,x_m){\ge}\varepsilon_0(n{\neq}m)$,它不能有收敛的子列。而这和$M$的列紧性矛盾。

充分性:若$\left\{x_n\right\}$是$M$中的无穷点列,想找到一个收敛子列,对1网,$\exists{y_1}{\in}M,\left\{x_n\right\}$的子列$\left\{x_n^{(1)}\right\}{\subset}B(y_1,1)$。

$$ 对\frac{1}{2}网,{\exists}y_2{\in}M,\left\{x_n^{(1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(2)}\right\}{\subset}B(y_2,\frac{1}{2})\\{\cdots}\\对\frac{1}{k}网,{\exists}y_k{\in}M,\left\{x_n^{(k-1)}\right\}的子列\left\{x_n^{(k)}\right\}{\subset}B(y_k,\frac{1}{k})\\{\cdots} $$

最后抽出对角线子列$\left\{x_n^{(k)}\right\}$,它是一个基本列。实际上,对${\forall}\varepsilon>0$,当$n>2/\varepsilon$时,对${\forall}p{\in}\mathbb{N}$有

$$ \begin{align*}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},x^{(n)}_n)&{\le}\rho(x^{(n+p)}_{n+p},y_n)+\rho(x^{(n)}_n,y_n)\\&{\le}\frac{2}{n}<\varepsilon\end{align*} $$

引理2:设$A$是$R^n$的子集,则$A$是相对紧的当且仅当$A$是有界的。

关于连续函数的概念:

设$F$是$C[\alpha,\beta]$的子集。

如果存在$M>0$,使得对任意$x{\in}[\alpha,\beta]$,任意$f{\in}F$都有$|f(x)|{\le}M$,则称$F$是一致有界的。

如果对于任意的$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得对于任意两点$x_1,x_2{\in}[\alpha,\beta]$,当$|x_1-x_2|<\delta$时,对$F$中每个函数$f$都有$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$,则称$F$是等度连续的。

引理3(Ascoli-Arzela):设$F=f(t)$是定义在$\alpha{\le}t{\le}\beta$上的一致有界且等度连续的实值(m维)向量函数族,则从$F$中必可选取一个在$\alpha{\le}t{\le}\beta$上一致收敛的函数列$\left\{f_n(t)\right\},(n=1,2,\cdots)$。

主要结果

先给出$C(E,X)$中的一些定义。

设$E$为紧空间,$X$是巴拿赫空间,用$C(E,X)$表示$E$到$X$的连续函数全体,令

$$ \|f\|=\sup\left\{\|f(t)\|:t{\in}E\right\} $$

容易验证$C(E,X)$为巴拿赫空间,对于$C(E,X)$的子集,也有类似的一致有界与等度连续的概念。

定义:设$F$是$C(E,X)$的子集。

(1)如果存在$M>0$,使得对于任意$x{\in}E,f{\in}F$都有$\|f\|{\le}M$,则称$F$是一致有界的。

(2)如果对任意的$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得对于$F$中的每个函数$f$都有$\|f(x_1)-f(x_2)\|{\le}\varepsilon$,则称$F$是等度连续的。

定义:设$f$是从距离空间$(X,\rho_1)$到距离空间$(Y,\rho_2)$的一个映射,如果对任意$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得对任意$x_1,x_2{\in}X$,当$\rho_1(x_1,x_2)<\delta$时,有$\rho_2(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon$,则称$f$是一致连续的。

注意到定义在闭区间上的实值函数如果连续,则必定一致连续。

这一结论从紧距离空间到距离空间的连续算子也是成立的。

引理4:若$f$是从紧距离空间$E$到距离空间$X$的连续算子,则$f$是一致连续的。

紧空间的情形

定理1:若$F{\subseteq}C(E,X)$是相对紧的,则$F$是一致有界且等度连续的。

证明:因为$C(E,X)$是完备的,由引理1,$F$是完全有界的,即对任意$\varepsilon>0$,存在有限$\frac{\varepsilon}{3}$网$\left\{f_1,f_2,\cdots,f_n\right\}$,即对任意$f{\in}F$,存在$f_{j_0}(1{\le}j_0{\le}n)$使得

$$ \|f(x)-f_{j_0}(x)\|{\le}\frac{\varepsilon}{3}{\quad}(x{\in}E) $$

又因为对于任意的$x{\in}E,f_j(x)(j=1,2,\cdots,n)$在紧空间$E$上连续,由引理4,$f_j(x)(j=1,2,\cdots,n)$在$E$上一致连续,即对上述$\varepsilon$,存在$\delta_j>0$,对于任意$x',x''{\in}E$,当$\rho(x',x'')<\delta_j$时,$\|f_j(x')-f_j(x'')\|<\frac{\varepsilon}{3},j=1,2,\dots,n$。取$\delta=\min\left\{\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n\right\}$,则对于任意$x',x''{\in}E$,当$\rho(x',x'')<\delta$时

$$ \|f_j(x')-f_j(x'')\|<\frac{\varepsilon}{3},j=1,2,\cdots,n $$

因此

$$ \|f(x')-f(x'')\|{\le}\|f(x')-f_{j_0}(x')\|+\|f_{j_0}(x')-f_{j_0}(x'')\|+\|f_{j_0}(x'')-f(x'')\|{\le}\varepsilon $$

所以$F$是等度连续的。

下面证$F$是一致有界的,事实上,取$\varepsilon=1$,存在$\left\{f_1,f_2,\cdots,f_m\right\}{\subset}F$,使得$F{\subseteq}{\bigcup}^m_{i=1}O(f_i,1)$,所以存在$M=1+\max_{1{\le}i{\le}m}\|f_i\|$,使得$\|f\|{\le}M,(f{\in}F)$,证明完毕。

一般的巴拿赫空间

对于一般的巴拿赫空间,$C(E,X)$中子集的相对紧性有如下定理:

定理2:令$E$为紧度量空间,$X$为巴拿赫空间,$F$为连续映射族$C(E,X)$的子集,则$F$为相对紧的当且仅当下面两个条件满足:

  1. $F$是等度连续的
  2. 对于任意的$x{\in}E$,集合$F(x)=f(x):f{\in}F$是相对紧的

证明:假设$F$满足两个条件。我们证明$F$是相对紧的,由已知$X$为巴拿赫空间,所以$C(E,X)$为完备的,从引理1,只需要证明$F$是完全有界集。

因为$F$是等度连续的,也就是对任意的$\varepsilon>0$,存在$\delta=\delta(\varepsilon)>0$,对于任意的$f{\in}F$,任意的$x_1,x_2{\in}E$,当$\rho(x_1,x_2)<\delta$时,

$$ \|f(x_1)-f(x_2)\|<\frac{\varepsilon}{4} $$

又$E$是紧度量空间,由引理1,对于上述$\delta>0$,存在$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}{\subset}E$,对于任意$x{\in}E$,存在$1{\le}i_0{\le}n$,使得$\rho(x,x_{i_0})<\delta$。

由条件(2),$F(x_1),F(x_2),\cdots,F(x_n)$是相对紧的,所以

$$ Y=F(x_1){\bigcup}{\cdots}{\bigcup}F(x_n) $$

也还是相对紧的,由引理1,$Y$存在有限的$\frac{\varepsilon}{4}$网$\left\{a_1,a_2,\cdots,a_m\right\}$,故对任意的$i=1,2,\cdots,n$,存在$a_{{\sigma}i}$,使得

$$ \|f(x_i)-a_{{\sigma}i}\|<\frac{\varepsilon}{4} $$

其中$\sigma:\left\{1,\cdots,n\right\}{\to}\left\{1,\cdots,m\right\}$是一个映射,对于任意的$\sigma$,令

$$ F_{\sigma}=\left\{f{\in}F:\|f(x_i)-a_{\sigma{i}}\|<\frac{\varepsilon}{4},i=1,2,\cdots,n\right\} $$

则有限个$F_{\sigma}$覆盖$F$,要说明$F_{\sigma}$为$F$的有限$\varepsilon$网,只要说明$F_{\sigma}$的半径小于$\varepsilon$即可。对于任意的$f,g{\in}F_{\sigma},x{\in}E$,

$$ \|f(x)-g(x)\|{\le}\|f(x)-f(x_{i_0})\|+\|f(x_{i_0})-a_{{\sigma}i}\|+\|a_{{\sigma}i}-g(x_{i_0})\|+\|g(x_{i_0})-g(x)\|<\varepsilon $$

充分性得以证明。下面证明必要性:对于等度连续,证法等同定理1,对于(2)则由$F$的相对紧性易得。

减弱条件到一点有界

最后可以将原定理中的条件适当减弱:

定理3:Ascoli-Arzela定理中函数族的一致有界性减弱为在某一点有界,结论仍旧成立。

证明:不妨设$F$在$a$点有界,我们只需证$F$一致有界。(一点有界可以推出一致有界)

由$F$等度连续,则对任意的$\varepsilon>0$,存在$\delta=\delta(\varepsilon)>0$,对任意的$f{\in}F$,任意的$x_1,x_2{\in}[\alpha,\beta]$,当$|x_1-x_2|<\delta$时

$$ |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon $$

对上述的$\delta$,$[\alpha,\beta]$存在有限$\frac{\delta}{2}$网$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}$,且$x_1{\le}x_2{\le}\cdots{\le}x_n)$,也就是对于任意的$x{\in}[\alpha,\beta]$,存在$x_{i_0}(1{\le}i_0{\le}n)$,使得$|x-x_{i_0}|<\frac{\delta}{2}<\delta$,所以

$$ |f(x)-f(x_{i_0})|<\varepsilon $$

又因为$|x_1-a|<\frac{\delta}{2}<\delta,|x_i-x_{i-1}|<\delta(i=2,3,\cdots,n)$,故

$$ |f(x_1)-f(a)|<\varepsilon,|f(x_i)-f(x_{i-1})|<\varepsilon(i=2,3,\cdots,n) $$

于是,对于任意的$f{\in}F$,任意$x{\in}[\alpha,\beta]$,

$$ |f(x)|{\le}|f(x)-f(x_{i_0})|+|f(x_{i_0})-f(x_{i_0-1})|+{\cdots}+|f(x_2)-f(x_1)|+|f(x_1)-f(a)|+|f(a)|<(n+1)\varepsilon+|f(a)| $$

故$f$在$[\alpha,\beta]$上一致有界。(通过不断地加一项减一项,然后利用等度连续,直接放到$n-1$个$\varepsilon$。)

Last modification:December 16th, 2019 at 02:41 pm
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