定义

第一章

拓扑空间

拓扑空间：设$X$是一个非空集合，$X$的一个子集族$\tau$称为一个拓扑，如果它满足：

1. $X,\varnothing$都包含在$\tau$中
2. $\tau$中任意多个成员的并集仍在$\tau$中
3. $\tau$中有限多个成员的交集仍在$\tau$中

集合$X$与它的一个拓扑$\tau$一起称为一个拓扑空间，记作$(X,\tau)$，并且称$\tau$中的成员为这个拓扑空间的开集。

稠密

稠密：拓扑空间$X$的子集$A$称为稠密的，指的是有$\overline{A}=X$。如果$X$有一个可数的稠密子集，则$X$是可分的。

子空间

子空间：$A$是拓扑空间$(X,\tau)$的非空子集。$A$的子集族$\tau_A=\left\{U{\cap}A|U{\in}\tau\right\}$是$A$的一个拓扑，则称$\tau$诱导出的$A$上的子空间拓扑$(A,\tau_A)$为$(X,\tau)$的子空间。

连续映射

如果映射$f:X{\to}Y$在任一点$x{\in}X$处都连续，称$f$为连续映射。

连续

连续：$X$和$Y$是拓扑空间，$f:X{\to}Y$是一个映射，对$x{\in}X$，如果对于$f(x){\in}Y$的任一邻域$V$，$f^{-1}(V)$总是$X$的邻域，则称$f$在$x$处连续。

同胚映射

同胚映射：如果$f:X{\to}Y$是一一对应的（双射），并且$f$与其逆$f^{-1}:Y{\to}X$都是连续的，则称$f$是一个同胚映射。

第二章

列紧

列紧：拓扑空间称为列紧的，如果它的每个序列有收敛的子序列。

紧致

紧致：拓扑空间称为紧致的，如果它的每个开覆盖都有有限子覆盖。

连通

连通：拓扑空间$X$称为连通的，如果它不能分解为两个非空不相交开集的并。

其等价定义为：

1. $X$中没有即开又闭的非空真子集
2. $X$中既开又闭的子集只有$\varnothing$与$X$

不连通

不连通：拓扑空间$X$称为不连通的，如果它能够分解为两个非空的不相交的开集的并，也就是存在$B_1,B_2$是$X$的开集，并且有$X=B_1{\cup}B_2,B_1{\cap}B_2=\varnothing$。

道路

道路：设$X$是拓扑空间，连续映射$a:I=[0,1]{\to}X$称为$X$上的一条道路。

道路连通

道路连通：拓扑空间$X$称为道路连通的，也就是对任意$x,y{\in}X$，存在$X$中以$x,y$为起点和终点的道路。