第五章
第三题
设$1<p<\infty$，证明$L^p(\mu)$的单位球是严格凸的：这表示当
$$ \|f\|_p=\|g\|_p=1,f{\neq}g,h=\frac{1}{2}(f+g) $$
时，$\|h\|_p<1$。（从几何角度来看，这个球的表面绝对不包含直线）说明这对每一个$L^1(\mu),L^{\infty}(\mu)$和$C(X)$是不成立的。（除了仅由一点组成的空间之类的微不足道的场合）
解：如果$0<p<\infty$，由定理3.5的证明，闵可夫斯基不等式$\|f+g\|_p{\le}\|f\|_p+\|g\|_p$，
$$ (\int_X|f+g|^pd{\mu})^{\frac{1}{p}}{\le}(\int_Xf^pd{\mu})^{\frac{1}{p}}+(\int_Xg^pd{\mu})^{\frac{1}{p}} $$
当且仅当存在$\alpha{\neq}0$使得$f={\alpha}g{\quad}a.e.$，使得不等式的等号成立。（也即是$f$与$g$线性相关）
如果$\|f\|=\|g\|=1,f{\neq}g$，也就是有$f{\neq}{\alpha}g{\;}a.e.$，故有$\|h\|_p<1$。因此$L^p(\mu)$的单位球是严格凸的。
考察$L^1(\mu)$，假设$X=[0,1]$且
$$ f(t)=\begin{cases} 2,{\quad}0{\le}t<\frac{1}{2}\\ 0,{\quad}\frac{1}{2}{\le}t{\le}1 \end{cases}, g(t)=\begin{cases} 0,{\quad}0{\le}t<\frac{1}{2}\\ 2,{\quad}\frac{1}{2}{\le}t{\le}t \end{cases} $$
则$\|f\|_1=\|g\|=1$，而$f$与$g$是线性不相关的，但是$\|f+g\|_1=2$。
考察$L^{\infty}(\mu)$和$C(X)$，假设有
$$ f(t)=\begin{cases} {16}t(\frac{1}{2}-t){\quad}0{\le}t{\le}\frac{1}{2}\\ 0{\quad}{\quad}{\quad}{\quad}{\quad}\frac{1}{2}<t{\le}1 \end{cases},\\ g(t)=1{\quad}0{\le}t{\le}1 $$
则有$\|f\|_{\infty}=\|g\|_{\infty}=1$，而$f$与$g$非线性相关，$\|h\|_{\infty}=1$。这个例子在$C(X)$也一样适用。
第八题
设$X$是一个赋范线性空间，如在5.21节中那样，$X^*$是它的对偶空间，具有范数
$$ \|f\|=\sup\left\{|f(x)|:\|x\|{\le}1\right\} $$
- 证明$X^*$是巴拿赫空间
- 证明映射$f{\to}f(x)$对每个$x{\in}X$都是$X^*$上的有界线性泛函，其范数为$\|x\|$。（这给出了一个$X$到它的“第二对偶”$X^{**}$，即$X^{*}$的对偶空间的一个自然的嵌入）。
- 当$\left\{x_n\right\}$是$X$中的一个序列，使对每个$f{\in}X^*$，$\left\{f(x_n)\right\}$都有界时，证明$\left\{\|x_n\|\right\}$也是有界的。
证明：
1，显然$X^*$是一个线性赋范空间。给定$\left\{f_n\right\}{\subset}X^*$是一列柯西序列，也就是对${\forall}\varepsilon>0$，存在$N>0$使得
$$ \|f_n-f_m\|<{\varepsilon},{\quad}{\forall}n,m>N $$
于是有
$$ |f_n(x)-f_m(x)|{\le}\|f_n-f_m\|{\cdot}\|x\|<\|x\|{\cdot}\varepsilon,{\quad}{\forall}n,m>N,{\forall}x{\in}X $$
因此$\left\{f_n(x)\right\}{\subset}\mathbb{C}$仍然是一列柯西序列，并且我们定义
$$ f(x)=\lim_{n{\to}\infty}f_n(x),{\quad}{\forall}x{\in}X $$
容易证明$f$是$X$上的线性泛函。因为$\left\{\|f_n\|\right\}$是一列柯西序列，存在$M>0$使得
$$ \|f_n\|{\le}M,n=1,2,\cdots $$
因此，对于上面的$\varepsilon,N$，则有$n>N$时候，
$$ |f(x)|{\le}|f_n(x)|+\|x\|{\varepsilon}{\le}\|x\|(M+\varepsilon){\quad}{\forall}x{\in}X $$
它使得
$$ |f(x)|{\le}M\|x\|{\quad}{\forall}x{\in}X $$
于是有$\|f\|{\le}M$。也就是说$f{\in}X^*$。因此，$X^*$是一个巴拿赫空间。
2，对任意的$x{\in}X$，定义
$$ {\lambda}(f)=f(x),{\quad}{\forall}f{\in}X^* $$
则对任意的$f,g{\in}X^*$和${\alpha},{\beta}{\in}\mathbb{C}$。
$$ {\lambda}({\alpha}f+{\beta}g)=({\alpha}f+{\beta}g)(x)={\alpha}f(x)+{\beta}g(x)={\alpha}{\Lambda}(f)+{\beta}{\Lambda}(g) $$
于是我们可以知道${\Lambda}$是$X^*$上的线性泛函。因为
$$ |{\Lambda}f|=|f(x)|{\le}\|f\|{\cdot}\|x\|,{\quad}{\forall}f{\in}X^* $$
于是有$\|{\Lambda}\|{\le}\|x\|$。由于哈恩-巴拿赫定理，则存在$g{\in}X^*$使得$g(x)=\|x\|$且$\|g\|=1$，这意味着$\|{\Lambda}\|=\|x\|$。（也就是等号可以取到）
3，假设$\left\{x_n\right\}{\subset}X$使得$\left\{f(x_n)\right\}$对任意$f{\in}X^*$都有界。则由1，2和巴拿赫-斯坦豪斯定理，可以证明$\left\{\|x_n\|\right\}$是有界的。
第十一题
对$0<{\alpha}{\le}1$，设$Lip{\alpha}$表示所有$[a,b]$上使
$$ M_f=\sup_{s{\neq}t}\frac{|f(s)-f(t)|}{|s-t|^{\alpha}}<\infty $$
的复函数组成的空间。
证明当取$\|f\|=|f(a)|+M_f$时，$Lip{\alpha}$是一个巴拿赫空间；如果取
$$ \|f\|=M_f+\sup_x|f(x)| $$
时，结论也是一样。（$Lip{\alpha}$的元素满足$\alpha$阶利普希茨条件）
证明：容易证明$Lip{\;}\alpha$装备上合适的范数是一个赋范线性空间。令$\left\{f_n\right\}$为$Lip{\;}\alpha$的柯西序列。
（1），假设
$$ \|f\|=|f(a)|+M_f $$
则因此存在一个$G>0$使得$M_{f_n}{\le}G$。对于任意的$\varepsilon>0$，存在$N>0$使得当$n,m>N$时
$$ |f_n(a)-f_m(a)|<\varepsilon,M_{f_n-f_m}<\varepsilon $$
对于任意的$s{\in}(a,b]$。
$$ \begin{align*} \frac{|f_n(s)-f_m(s)|}{|s-a|^{\alpha}}&{\le}\frac{|f_n(a)-f_m(a)|}{|s-a|^{\alpha}}+\frac{|f_n(s)-f_m(s)-f_n(a)+f_m(a)|}{|s-a|^{\alpha}}\\ &{\le}M_{f_n-f_m}+\frac{|f_n(a)|-f_m(a)}{|s-a|^{\alpha}} \end{align*} $$
则意味着对于任意$s{\in}[a,b],\left\{f_n(s)\right\}$是柯西列。因此，我们可以定义
$$ \lim_{n{\to}\infty}f_n(s)=f(s){\quad}{\forall}s{\in}[a,b] $$
因为对于任意的$s,t{\in}[a,b]$且$s{\neq}t$，对于任何的$n{\in}\mathbb{N}$。
$$ \begin{align*} \frac{|f_n(s)-f_m(s)|}{|s-t|^{\alpha}}&{\le}\frac{|f_n(a)-f_m(a)|}{|s-t|^{\alpha}}+\frac{|f_n(s)-f(s)|}{|s-t|^{\alpha}}+\frac{|f_n(t)-f(t)|}{|s-t|^{\alpha}}\\ &{\le}\frac{|f_n(s)-f(s)|}{|s-t|^{\alpha}}+\frac{|f_n(t)-f(t)|}{|s-t|^{\alpha}}+G \end{align*} $$
令$n{\to}\infty$，则
$$ \sup_{s{\neq}t}\frac{|f(s)-f(t)|}{|s-t|^{\alpha}}{\le}G<+\infty $$
也就是$f{\in}Lip{\;}\alpha$且知道了$Lip{\;}\alpha$为巴拿赫空间。
这里也可也这么证明：因为要证
$$ |f(s)-f(t)|{\le}M_f|s-t|^{\alpha} $$
又有
$$ \begin{align*} &{\quad}|f_n(s)+f_m(s)-f_n(t)-f_m(t)|\\ &{\le}|f_n(s)-f_n(t)|+|f_m(s)-f_m(t)|\\ &{\le}2G|s-t|^{\alpha} \end{align*} $$
于是有：
$$ \begin{align*} &2|f(s)-f(t)|{\quad}n,m{\to}\infty\\ &{\le}2G|s-t|^{\alpha} \end{align*} $$
于是可以证明得到$M_f{\le}G$。
（2）假设
$$ \|f\|=M_f+\sup_{x{\in}[a,b]}|f(x)| $$
因此存在$G>0$使得$M_{f_n}{\le}G$。令$\|f\|_{\infty}=\sup_{x{\in}[a,b]}|f(x)|$，则$\left\{\|f_n\|_{\infty}\right\}$是柯西列。则存在在$[a,b]$上的一个复函数$f$使得
$$ \sup_{x{\in}[a,b]}|f_n(x)-f(x)|{\to}0{\quad}当n{\to}0 $$
甚至，对于任意的$s,t{\in}[a,b]$且$s{\neq}t$，对于任何的$n{\in}\mathbb{N}$，有
$$ \begin{align*} \frac{|f(s)-f(t)|}{|s-t|^{\alpha}}&{\le}\frac{|f_n(s)-f_n(t)|}{|s-t|^{\alpha}}+\frac{|f_n(s)-f(s)|}{|s-t|^{\alpha}}+\frac{|f_n(t)-f(t)|}{|s-t|^{\alpha}}\\ &{\le}\frac{|f_n(s)-f(s)|}{|s-t|^{\alpha}}+\frac{|f_n(t)-f(t)|}{|s-t|^{\alpha}}+G \end{align*} $$
令$n{\to}\infty$，则
$$ \sup_{s{\neq}t}\frac{|f(s)-f(t)|}{|s-t|^{\alpha}}{\le}G<+\infty $$
也就是$f{\in}Lip{\;}\alpha$且知道了$Lip{\;}\alpha$为巴拿赫空间。
