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紧算子，紧自伴算子的谱分解。

在本章中没有特别指出的话，则$E$与$F$均为俩巴拿赫空间。

紧算子

一个有界算子$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$成为紧算子，指的是$T(B_E)$在$F$中有紧闭包。（强拓扑）

所有从$E$到$F$的紧算子组成的空间称为$\mathcal{K}(E,F)$。对于同一个空间，简单记为$\mathcal{K}(E)$。

定理6.1

这个定理告诉我们紧算子空间实际上是有界算子空间的闭子空间。

集合$\mathcal{K}(E,F)$为$\mathcal{L}(E,F)$的闭线性子空间。（其拓扑是与$\|{\;}\|_{\mathcal{L}(E,F)}$联系的）

证明并不难，首先紧算子之和必为紧算子（线性满足），之后仅需证明闭的性质即可。只需证明紧算子序列收敛到紧算子即可。而根据紧算子的定义，需要证明其收敛算子的$T(B_E)$在$F$中有紧闭包。而每个紧算子序列的$T_n(B_E)$都在$F$中有一个紧闭包。用有限覆盖联系这两者即可完成证明。

有限阶算子

一个算子$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$为有限阶指的是：算子$T$的值域$R(T)$，是有限维的。

显然任意有限阶算子是紧算子。

推论6.2

令$(T_n)$为有限阶算子的序列，且令$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$为使得$\|T_n-T\|_{\mathcal{L}(E,F)}{\to}0$。则$T{\in}\mathcal{K}(E,F)$。

这个推论告诉我们有限阶算子序列收敛的算子，是有界算子，并且也是紧算子。

注：反过来的命题被称为逼近问题，指的是：给定一个紧算子$T$，是否存在有限阶算子序列$(T_n)$，使得$\|T_n-T\|_{\mathcal{L}(E,F)}{\to}0$？在某些情况下是成立的，而且该问题对从布朗维尔不动点定理推导出绍德尔不动点定理是有效的。

命题6.3

令$E,F$和$G$为三个巴拿赫空间。令$T{\in}\mathcal{L}(E,F)$且$S{\in}\mathcal{K}(F,G)$【或者令$T{\in}\mathcal{K}(E,F)$且$S{\in}\mathcal{L}(F,G)$】。则$S{\circ}T{\in}\mathcal{K}(E,G)$。

这个定理告诉我们复合算子的问题，可以将紧算子和有界算子复合，最后成为紧算子。

定理6.4

绍德尔定理：如果$T{\in}\mathcal{K}(E,F)$，则$T^*{\in}\mathcal{K}(F^*,E^*)$。且反之也成立。

这个定理告诉我们紧算子，与其对偶算子都是紧的，只是针对的空间不同。

注：令$E,F$为俩巴拿赫空间且令$T{\in}\mathcal{K}(E,F)$，如果$(u_n)$在$E$中弱收敛到$u$，则$(Tu_n)$强收敛到$Tu$。反之若$E$是自反的，其逆命题也成立。

6.2 里斯-弗雷德霍姆定理

引理6.1 里斯引理

里斯引理：令$E$为一个线性赋范空间且令$M{\subset}E$为一个闭的线性空间，使得$M{\neq}E$。则

$$ {\forall}\varepsilon>0,{\exists}u{\in}E,s.t.\|u\|=1,dist(u,M){\ge}1-\varepsilon $$

引理告诉我们在线形赋范空间里，可以找到一个元素与一个闭子空间相隔开，且该元素范数为1。

证明简单，仅需取到外面的一个元素与$M$中一个元素，然后做一个规范化即可。

注意：如果$M$是有限维或者$M$是自反的，则$\varepsilon$可以取为0。

定理6.5 里斯定理

令$E$为一个线性赋范空间，且$B_E$是紧的，则$E$是有限维的。

这个定理直接告诉了我们，如果线性赋范空间$E$的单位球是紧的，其空间$E$必然是有限维空间。

证明是用反证法与上面的里斯引理。

定理6.6 弗雷德霍姆二择一定理

该定理是研究椭圆线性方程的解存在性问题的一个泛函分析定理。表述为：

令$T{\in}\mathcal{K}(E)$，则

（1）$N(I-T)$是有限维的。

（2）$R(I-T)$是闭的，且更精确地$R(I-T)=N(I-T^*)^{\perp}$。

（3）$N(I-T)=\left\{0\right\}{\iff}R(I-T)=E$。

（4）$dimN(I-T)=dimN(I-T^*)$。

这个定理告诉我们：紧算子的相关结论，有关其值域与核的关系。

注意：弗雷德霍姆二择一定理主要用于解决方程$u-Tu=f$的可解性。

6.3 紧算子的谱

给出几个定义：

预解集$\rho(T)$，定义为

$$ \rho(T)=\left\{{\lambda}{\in}\mathbb{R};(T-{\lambda}I)是从E到E的双射\right\} $$

谱集$\sigma(T)$，是预解集的补集，也即$\sigma(T)=\mathbb{R}{\backslash}\rho(T)$。

一个实数$\lambda$被称为算子$T$的本征值，指的是有

$$ N(T-{\lambda}I){\neq}\left\{0\right\} $$

$N(T-{\lambda}I)$为对应的本征空间，本征值组成的集合记为$EV(T)$或者有些人记为$\sigma_p(T)$（点谱）。

记住这件事是有用的：如果$\lambda{\in}\rho(T)$，则$(T-{\lambda}I)^{-1}{\in}\mathcal{L}(E)$（推论2.7）

注：显然有$EV(T){\subset}\sigma(T)$，如果有限维，则$EV(T)=\sigma(T)$。一般的，这个结论可以更为严格：即存在某些$\lambda$使得

$$ N(T-{\lambda}I){=}\left\{0\right\}且R(T-{\lambda}I){\neq}E $$

这样的$\lambda{\in}\sigma(E)$但是$\lambda$不是本征值。

命题6.7

$\sigma(T)$为一个有界紧算子$T$的谱集，且

$$ \sigma(T){\subset}[-\|T\|,+\|T\|] $$

这个命题告诉了我们有界紧算子的谱集的范围是在该算子范数的正负范围内。

定理6.8

令$T{\in}\mathcal{K}(E)$，其中$dimE=\infty$，则我们有：

（1）$0{\in}\sigma(T)$。

（2）$\sigma(T){\backslash}\left\{0\right\}=EV(T){\backslash}\left\{0\right\}$。

（3）下面其中之一成立：

• $\sigma(T)=\left\{0\right\}$。
• $\sigma(T){\backslash}\left\{0\right\}$是有限集
• $\sigma(T){\backslash}\left\{0\right\}$是一个序列收敛到0

这个定理告诉我们无限维空间中紧算子的性质：首先是谱集包含0，其次是谱集去掉0之后与本征空间去掉0是一致的。最后告诉我们其谱集的相关性质：要么谱集是0，要么谱集除去0之后为有限集，要么除去0之后是一个收敛到0的序列。

引理6.2

令$T{\in}\mathcal{K}(E)$且令$(\lambda_n)_{n{\ge}1}$为一个确定的实数序列，使得

$$ {\lambda_n}{\to}\lambda $$

且

$$ {\lambda_n}{\in}\sigma(T){\backslash}\left\{0\right\},{\forall}n $$

则$\lambda=0$。

这个引理告诉我们对于紧算子，如果有实数列收敛到实值$\lambda$，且该实数列都是属于谱集去掉0的集合中，则该实值必为0。

用另一种说法，即所有在$\sigma(T){\backslash}\left\{0\right\}$为孤立点。

6.4 自伴紧算子的谱分解

在下面情况下，我们假设$E=H$为希尔伯特空间且$T{\in}\mathcal{L}(H)$。定义$H^*$与$H$，则我们可以看到$T^*$是一个有界算子，从$H$到它本身。

自伴算子

一个有界算子$T{\in}\mathcal{L}(H)$被称为自伴的，指的是$T^*=T$，也即

$$ (Tu,v)=(u,Tv),{\forall}u,v{\in}H $$

命题6.9

令$T{\in}\mathcal{L}(H)$为一个自伴算子。集合

$$ m=\inf_{u{\in}H\\|u|=1}(Tu,u)且M=\sup_{u{\in}H\\|u|=1}(Tu,u) $$

则$\sigma(T){\subset}[m,M],m{\in}\sigma(T)$且$M{\in}\sigma(T)$。更甚者，$\|T\|=\max\left\{|m|,|M|\right\}$。

这个命题告诉我们，对于自伴算子，其极小值与极大值的取法，并且确定其谱集的区间范围，并且知道该自伴算子的范数为极大值与极小值绝对值，两者的最大者。

推论6.10

令$T{\in}\mathcal{L}(H)$为一个自伴算子使得$\sigma(T)=\left\{0\right\}$。则$T=0$。

这个推论告诉我们，对于自伴算子，其谱集若为0，则该自伴算子是0算子。

定理6.11

令$H$为一个可分的希尔伯特空间且令$T$为一个紧自伴算子，则存在一个希尔伯特基是由$T$算子的本征值组成的。

这个定理告诉我们，在可分的希尔伯特空间中，对于一个自伴紧算子，可以用其本征值组成一个希尔伯特基。

补充内容

1.弗雷德霍姆算子

2.希尔伯特-史密斯算子

3.本征值多样性

4.谱分析

5.极大极小原理

6.Krein-Rutman定理