演化问题：热方程和波动方程
10.1 热方程：存在性，唯一性和正规性
记号
令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个带有边界$\Gamma$的开集。设
$$ Q=\Omega{\times}(0,+\infty)\\\sum=\Gamma{\times}(0,+\infty) $$
$\sum$被称为圆柱$Q$的横向边界，见图7。
考虑下面的问题：找到一个函数$u(x,t):\overline{\Omega}{\times}[0,+\infty){\to}\mathbb{R}$使得
$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q\tag{1} $$
$$ u=0{\quad}on{\;}\sum\tag{2} $$
$$ u(x,0)=u_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{3} $$
其中$\Delta=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}^2}{{\partial}x^2_i}$代表了在空间变量$x$的拉普拉斯，$t$是时间变量，且$u_0(x)$是给定的函数称为初始（或者柯西）数据。
方程（1）被称为热方程因为它在时间$t$模拟了在区域$\Omega$中温度分布$u$。在许多扩散现象中都会出现热方程及其变形（见本章最后的评论）热方程是抛物线方程中最简单的例子。
方程（2）是（齐次）狄利克雷边界条件；它可以由诺伊曼条件替换
$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}n}=0{\quad}on{\;}\sum\tag{2'} $$
（$n$是$\Gamma$的向外单位法向量）或者第8章和第9章中遇到的任何边界条件。条件（2）对应于边界$\Gamma$保持在0温度时的假设。条件（2‘）对应于穿过$\Gamma$的热流为0的假设。我们通过观察$u(x,t)$作为定义在$[0,+\infty)$值在空间$H$上的一个函数来解决问题（1）（2）（3）。其中$H$是一个仅仅依赖于$x$的一个函数空间：例如$H=L^2(\Omega)$或者$H=H^1_0(\Omega)$。当我们仅仅写$u(t)$，我们意味着$u(t)$是$H$的一个元素，即函数$x{\mapsto}u(x,t)$。这个观点使我们能够结合Hille-Yosida定理和第8章和第9章的结果，很容易地解决问题（1），（2），（3）。
为了简化问题，我们在整个第10章中假设$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，其中$\Gamma$是有界的（但如果我们只对弱解感兴趣，这个假设可能会被大大削弱）
定理10.1
假设$u_0{\in}L^2(\Omega)$，则存在唯一一个函数$u(x,t)$满足（1）（2）（3）且
$$ u{\in}C([0,\infty);L^2(\Omega){\cap}C((0,\infty);H^2(\Omega{\cap}H^1_0(\Omega))\tag{4} $$
$$ u{\in}C^1((0,\infty;L^2(\Omega))\tag{5} $$
更甚者，
$$ u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[\varepsilon,\infty)),{\forall}\varepsilon>0 $$
最终，$u{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega))$且
$$ \frac{1}{2}|u(T)|^2_{L^2(\Omega)}+\int^T_0|{\nabla}u(t)|^2_{L^2(\Omega)}dt=\frac{1}{2}|u_0|^2_{L^2(\Omega)},{\forall}T>0\tag{6} $$
证明：我们在$H=L^2(\Omega)$应用Hille–Yosida理论（但是其他的选择是可能的；参见定理10.2的证明）
考虑无界算子
$A:D(A){\subset}H{\to}H$定义为
$$ \begin{cases} D(A)=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)\\ Au=-{\Delta}u \end{cases} $$
需要注意的是，边界条件（2）已经被纳入了。我们断言$A$是一个自伴极大单调算子。我们可以应用定理7.7且推断出满足（4）和（5）的问题（1），（2），（3）的唯一一个解。
（i）$A$是单调的。对于任意$u{\in}D(A)$我们有
$$ (Au,u)_{L^2}=\int_{\Omega}(-{\Delta}u)u=\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 $$
命题（ii）$A$是极大单调的，我们必须验证$R(I+A)=H=L^2$。但是我们已经知道（见定理9.25）对于任意$f{\in}L^2$，存在方程$u-{\Delta}u=f$的唯一一个解$u{\in}H^2{\cap}H^1_0$。
（iii）$A$是自伴的。鉴于命题7.6，证明$A$是对称的就足够了。对于任意$u,v{\in}D(A)$我们有
$$ (Au,v)_{L^2}=\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v $$
和
$$ (u,Av)_{L^2}=\int_{\Omega}u(-{\Delta}v)=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v $$
于是$(Au,v)=(u,Av)$。
接下来，根据定理9.25$D(A^l){\subset}H^{2l}(\Omega)$，对于任意整数$l$，带连续单射，更准确地说：
$$ D(A^l)=\left\{u{\in}H^{2l}(\Omega);u={\Delta}u={\cdots}={\Delta}^{l-1}u=0{\quad}on{\;}\Gamma\right\} $$
我们由定理7.7知道问题(1)(2)(3)的解满足
$$ u{\in}C^k((0,\infty);D(A^l)),{\forall}k,{\forall}l $$
且因此
$$ u{\in}C^k((0,\infty);H^{2l}(\Omega)),{\forall}k,{\forall}l $$
于是（归因于推论9.15）
$$ u{\in}C^k((0,\infty);C^k(\overline{\Omega})),{\forall}k $$
我们现在转向（6）的证明。形式上，我们用$u$乘上（1）且在$\Omega{\times}(0,T)$上积分。然而，还是要小心。因为$u(t)$在$(0,\infty)$是可微的，但是在$[0,\infty)$不是。考虑函数$\varphi(t)=\frac{1}{2}|u(t)|^2_{L^2(\Omega)}$。这是在$(0,\infty)$上$C^1$阶的（由于（5））且对于$t>0$，
$$ \varphi'(t)=\left(u(t),\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=(u(t),{\Delta}u(t))_{L^2}=-\int_{\Omega}|{\nabla}u(t)|^2 $$
因此，对于$0<\varepsilon<T<\infty$，我们得到
$$ \varphi(T)-\varphi(\varepsilon)=\int^T_{\varepsilon}\varphi'(t)dt=-\int^T_{\varepsilon}|{\nabla}u(t)|^2_{L^2}dt $$
最终我们令$\varepsilon{\to}0$。因为$\varphi(\varepsilon){\to}\frac{1}{2}|u_0|^2$（因为$u{\in}C([0,\infty];L^2(\Omega))$），我们发现$u{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega))$且（6）成立。
如果我们在$u_0$上做另外的假设，解$u$在$t=0$时变得更正规（回忆一下，远离$t=0$，定理10.1保证了$u$是光滑的，也即$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[\varepsilon,\infty)),{\forall}\varepsilon>0$）。
定理10.2
（a）如果$u_0{\in}H^1_0(\Omega)$，则问题（1）（2）（3）的解满足
$$ u{\in}C([0,\infty);H^1_0(\Omega){\cap}L^2(0,\infty;H^2(\Omega)) $$
且
$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}{\in}L^2(0,\infty;L^2(\Omega)) $$
更甚者，我们有
$$ \int^T_0|\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(t)|^2_{L^2(\Omega)}dt+\frac{1}{2}|{\nabla}u(T)|^2_{L^2(\Omega)}=\frac{1}{2}|{\nabla}u_0|^2_{L^2(\Omega)}\tag{7} $$
（b）如果$u_0{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$，则
$$ u{\in}C([0,\infty);H^2(\Omega){\cap}L^2(0,\infty;H^3(\Omega)) $$
和
$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}{\in}L^2(0,\infty;H^1_0(\Omega)) $$
（c）如果$u_0{\in}H^k(\Omega),{\forall}k$且满足所谓的相容性条件
$$ u_0={\Delta}u_0={\cdots}={\Delta}^ju_0={\cdots}=0{\quad}on{\;}\Gamma\tag{8} $$
对于任意整数$j$，则$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$。
（a）的证明：我们在空间$H_1=H^1_0(\Omega)$装备内积上工作
$$ (u,v)_{H_1}=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}uv $$
在$H_1$考虑无界算子$A_1:D(A_1){\subset}H_1{\to}H_1$定义为
$$ \begin{cases} D(A_1)=\left\{u{\in}H^3(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega);{\Delta}u{\in}H_0^1(\Omega)\right\},\\ A_1u=-{\Delta}u \end{cases} $$
我们断言$A_1$是极大单调且自伴的。
（i）$A$是单调的。对于任意$u{\in}D(A_1)$我们有
$$ (A_1u,v)_{H_1}=\int_{\Omega}{\nabla}(-{\Delta}u){\cdot}{\nabla}u+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)u=\int_{\Omega}|{\Delta}u|^2+\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 $$
（ii）$A$是极大单调的。我们知道（由定理9.25）对任意$f{\in}H^1(\Omega)$，解$u{\in}H^1_0(\Omega)$关于问题
$$ \begin{cases} u-{\Delta}u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ u=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases} $$
属于$H^3(\Omega)$。如果，额外地，$f{\in}H^1_0(\Omega)$，则${\Delta}u{\in}H^1_0(\Omega)$，且于是$u{\in}D(A_1)$。
（iii）$A$是对称的。对于任意$u,v{\in}D(A_1)$，我们有
$$ \begin{align*} (A_1u,v)_{H_1}&=\int_{\Omega}{\nabla}(-{\Delta}u){\cdot}{\nabla}v+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v\\ &=\int_{\Omega}{\Delta}u{\Delta}v+\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}{\nabla}v=(u,A_1v)_{H_1} \end{align*} $$
应用定理7.7，我们可以看到如果$u_0{\in}H^1_0(\Omega)$，则存在一个解$u$关于问题（1）（2）（3）(与定理10.1一致，因为唯一性)使得
$$ u{\in}C([0,\infty);H^1_0(\Omega)) $$
最终，设$\varphi(t)=\frac{1}{2}|{\nabla}u(t)^2_{L^2(\Omega)}|$，这个函数是在$(0,\infty)$上为$C^{\infty}$阶的且
$$ \varphi'(t)=\left({\nabla}u(t),{\nabla}\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=\left(-{\Delta}u(t),\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=-\left|\frac{du}{dt}(t)\right|^2_{L^2} $$
于是对于$0<\varepsilon<T<\infty$，我们有
$$ \varphi(T)-\varphi(\varepsilon)+\int^T_{\varepsilon}\left|\frac{du}{dt}(t)\right|^2_{L^2}dt=0 $$
当$\varepsilon{\to}0,\varphi({\varepsilon}){\to}\frac{1}{2}|{\nabla}u_0|^2_{L^2}$，且我们容易总结得到。
(b)的证明：我们工作在空间$H_2=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$装备上内积
$$ (u,v)_{H_2}=({\Delta}u,{\Delta}v)_{L^2}+(u,v)_{L^2} $$
（对应的范数等同于通常的$H^2$范数）在$H_2$考虑无界算子$A_2:D(A_2){\subset}H_2{\to}H_2$定义为
$$ \begin{cases} D(A_2)=\left\{u{\in}H^4(\Omega);u{\in}H^1_0(\Omega)和{\Delta}u{\in}H^1_0(\Omega)\right\}\\ A_2u=-{\Delta}u \end{cases} $$
容易说明$A_2$是在$H_2$中的一个自伴极大单调算子。因此我们可以在$H_2$中对$A_2$应用定理7.7。最终，我们设$\varphi(t)=\frac{1}{2}|{\Delta}u(t)|^2_{L^2}$。这个函数是在$(0,\infty)$上为$C^{\infty}$阶的，且
$$ \varphi'(t)=\left({\Delta}u(t),{\Delta}\frac{du}{dt}(t)\right)_{L^2}=({\Delta}u(t),{\Delta}^2u(t))_{L^2}=-|{\nabla}{\Delta}u(t)|^2_{L^2} $$
因此，对于$0<\varepsilon<T<\infty$，我们有
$$ \frac{1}{2}|{\Delta}u(T)|^2_{L^2}-\frac{1}{2}|{\Delta}u(\varepsilon)|^2_{L^2}+\int^T_{\varepsilon}|{\nabla}{\Delta}u(t)|^2_{L^2}dt=0 $$
在极限情况，当$\varepsilon{\to}0$，我们看到$u{\in}L^2(0,\infty;H^3(\Omega))$且（因为方程（1）），$\frac{du}{dt}{\in}L^2(0,\infty;H^1(\Omega))$。
（c）的证明：在空间$H=L^2(\Omega)$中，考虑算子$A:D(A){\subset}H{\to}H$定义为
$$ \begin{cases} D(A)=H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)\\ Au=-{\Delta}u \end{cases} $$
应用定理7.5，我们知道如果$u_0{\in}D(A^k),k{\ge}1$，则
$$ u{\in}C^{k-j}([0,\infty);D(A^j)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$
假设（8）确切说明对于任何整数$k{\ge}1,u_0{\in}D(A^k)$。因此我们有
$$ u{\in}C^{k-j}([0,\infty);D(A^j)),{\forall}k{\ge}1,{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$
于是（和定理10.1证明一样）$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$。
注释1：定理10.1说明热方程在初始值$u_0$上有一个强大的光滑效应。注意到对于任意$t>0$甚至是初始值不连续的情况，解$u(x,t)$在$x$处是$C^{\infty}$阶的。这个效应蕴含着，特别地，热方程是时不可逆的。一般情况不能解决问题
$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}\Omega{\times}(0,T)\tag{9} $$
$$ u=0{\quad}on{\;}\Gamma{\times}(0,T)\tag{10} $$
其中“终”值
$$ u(x,T)=u_T(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{11} $$
我们必须假设
$$ u_T{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})且{\Delta}^ju_T=0{\;}on{\;}\Gamma,{\forall}j{\ge}0 $$
但即使有了这个假设，也不需要解决后效问题（9），（10），（11）。这个问题不应该与问题（9‘）（10），（11）混淆，其中
$$ -\frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}\Omega{\times}(0,T)\tag{9'} $$
对于任何值$u_T{\in}L^2(\Omega)$都有唯一解（将$t$改为$T-t$且应用定理10.1）
注释2：如果用Neumann条件代替Dirichlet条件，前面的结果也是正确的。
注释3：当$\Omega$是有界的，问题(1)(2)(3)可以由在$L^2(\Omega)$的一个希尔伯特基的分解解决。为此，取$L^2(\Omega)$的一个基$(e_i(x))_{i{\ge}1}$由$-{\Delta}$的特征函数组成（具有零Dirichlet条件），也即
$$ \begin{cases} -{\Delta}e_i={\lambda_i}e_i{\quad}in{\;}\Omega\\ e_i=0{\quad}on{\;}\Gamma \end{cases} $$
（见9.8节）我们可以看到关于（1）（2）（3）的解为以一个级数的形式
$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i(t)e_i(x)\tag{12} $$
我们立即可以看出函数$a_i(t)$必须满足
$$ a'_i(t)+{\lambda}_ia_i(t)=0 $$
于是$a_i(t)=a_i(0)e^{-{\lambda_i}t}$。常数$a_i(0)$由以下关系决定
$$ u_0(x)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i(0)e_i(x)\tag{13} $$
用另外的话说，问题（1）（2）（3）的解是由以下给定的
$$ u(x,t)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i(0)e^{-{\lambda_i}t}e_i(x)\tag{14} $$
其中常数$a_i(0)$是$u_0(x)$在基$(e_i)$中的分量，也即$a_i(0)=\int_{\Omega}u_0e_i$。
研究这个级数的收敛性（以及用这种方法得到的$u$的正则性）注意这个方法和求解线性微分方程组的标准方法之间的相似性
$$ \frac{d\boldsymbol{u}}{dt}+M\boldsymbol{u}=0 $$
其中$\boldsymbol{u}(t)$在有限维向量空间中取其值，且$M$是一个对称矩阵。当然，主要的区别在于问题（1），（2），（3）与无限维系统有关。
注释4：相容性条件（8）看起来也许很神秘，但实际上它们是自然的。这些是使（1），（2），（3）的解$u$平滑到$t=0$的必要条件，也即$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$（假设$u_0{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega})$且$u_0=0$在${\partial}\Omega$上，不保证$t=0$的光滑性）事实上，假设$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$满足（1），（2），（3），则显然，
$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}=0{\quad}on{\;}\Gamma{\times}(0,\infty),{\forall}j\tag{15} $$
且由连续性，我们仍旧有
$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}=0{\quad}on{\;}\Gamma{\times}[0,\infty),{\forall}j\tag{15} $$
另一方面
$$ \frac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2}={\Delta}\left(\frac{{\partial}u}{{\partial}t}\right)={\Delta}^2u{\quad}in{\;}Q $$
且由推断
$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}={\Delta}^ju{\quad}in{\;}Q{\;}{\forall}j $$
再次由连续性质，我们有
$$ \frac{{\partial}^ju}{{\partial}t^j}={\Delta}^ju{\quad}in{\;}\overline{\Omega}{\times}[0,\infty)\tag{16} $$
在$\Gamma{\times}\left\{0\right\}$上比较（15）和（16），我们得到（8）。
注释5：当然对于$u$接近$t=0$的正则性结果有很多变形，如果我们的假设介于定理10.2的（b）和（c）之间。
10.2 极大值原理
主要结果如下
定理10.3
假设$u_0{\in}L^2(\Omega)$且令$u$为问题(1)(2)(3)的解，则我们有，对于所有的$(x,t){\in}Q$，
$$ \min\left\{0,\inf_{\Omega}u_0\right\}{\le}u(x,t){\le}\max\left\{0,\sup_{\Omega}u_0\right\} $$
证明：正如在椭圆情况中我们用到Stampacchia截断方法，设
$$ K=\max\left\{0,\sup_{\Omega}u_0\right\} $$
且假设$K<+\infty$。正如在定理9.27的证明中固定一个函数$G$且令
$$ H(s)=\int^s_0G(\delta)d{\delta},s{\in}\mathbb{R} $$
容易验证函数$\varphi$定义如下
$$ \varphi(t)=\int_{\Omega}H(u(x,t)-K)dx $$
有如下性质：
$$ \varphi{\in}C([0,\infty);\mathbb{R}),\varphi(0)=0,\varphi{\ge}0,{\quad}on{\;}[0,\infty)\tag{17} $$
$$ \varphi{\in}C^1((0,\infty);\mathbb{R})\tag{18} $$
且
$$ \begin{align*} \varphi'(t)&=\int_{\Omega}G(u(x,t)-K)\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(x,t)dx=\int_{\Omega}G(u(x,t)-K){\Delta}u(x,t)dx\\ &=-\int_{\Omega}G'(u-K)|{\Delta}u|^2dx{\le}0 \end{align*} $$
因为$G(u(x,t)-K){\in}H^1_0(\Omega)$对于任意$t>0$。于是$\varphi{\equiv}0$且因此，对于任意$t>0,u(x,t){\le}K$在$\Omega$上几乎处处成立。
推论10.4
令$u_0{\in}L^2(\Omega)$。问题(1)(2)(3)的解$u$有下列性质：
（i）如果$u_0{\ge}0$在$\Omega$上几乎处处成立，则在$Q$上$u{\ge}0$。
（ii）如果$u_0{\in}L^{\infty}(\Omega)$，则$u{\in}L^{\infty}(Q)$且
$$ \|u\|_{L^{\infty}(Q)}{\le}\|u_0\|_{L^{\infty}(\Omega)}\tag{19} $$
推论10.5
令$u_0{\in}C(\overline{\Omega}){\cap}L^2(\Omega)$，其中$u_0=0$在$\Gamma$。则问题(1)(2)(3)的解$u$属于$C(\overline{Q})$。
推论10.5的证明：令$(u_{0n})$为在$C_c^{\infty}(\Omega)$上的一个函数序列，使得在$L^{\infty}(\Omega)$和$L^2(\Omega)$上$u_{0n}{\to}u_0$（这样的一个序列的存在是容易建立的）。由于定理10.2，问题(1)(2)(3)的解$u_n$对应于初始值$u_{0n}$属于$C^{\infty}(\overline{Q})$。另一方面（定理7.7），我们知道
$$ |u_n(t)-u(t)|_{L^2(\Omega)}{\le}|u_{0n}-u_0|_{L^2(\Omega)},{\forall}t{\ge}0 $$
因为（19）我们有
$$ \|u_n-u_m\|_{L^{\infty}(Q)}{\le}\|u_{0n}-u_{0m}\|_{L^{\infty}(\Omega)} $$
因此，在$\overline{Q}$上序列$(u_n)$一致收敛到$u$，且因此$u{\in}C(\overline{Q})$。
正如在椭圆请款，有另一种方法即极大值原理。在这里，我们假设$\Omega$是有界的，令$u(x,t)$是一个函数满足
$$ u{\in}C(\overline{\Omega}{\times}[0,T])\tag{20} $$
$$ u在t处是C^1阶的，且在\Omega{\times}(0,T)的x处是C^2阶的\tag{21} $$
$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}u{\le}0{\quad}in{\Omega}{\times}(0,T)\tag{22} $$
定理10.6
假设(20)(21)和(22)。则
$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}u=\max_Pu $$
其中$P=(\overline{\Omega}{\times}\left\{0\right\}){\cup}(\Gamma{\times}[0,T])$被称为圆柱体$\Omega{\times}(0,T)$的"抛物线边界"。
证明：设$v(x,t)=u(x,t)+{\varepsilon}|x|^2$，其中$\varepsilon>0$，于是
$$ \frac{{\partial}v}{{\partial}t}-{\Delta}v{\le}-2{\varepsilon}N<0{\quad}in{\Omega}{\times}(0,T)\tag{24} $$
我们断言
$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}v=\max_Pv $$
假设不是，则存在一些点$(x_0,t_0){\in}\overline{\Omega}{\times}[0,T]$使得$(x_0,t_0){\not\in}P$且
$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}v=v(x_0,t_0) $$
因为$x_0{\in}\Omega$且$0<t_0{\le}T$，我们有
$$ {\Delta}v(x_0,t_0){\le}0\tag{25} $$
和
$$ \frac{{\partial}v}{{\partial}t}(x_0,t_0){\ge}0\tag{26} $$
（如果$t_0<T$我们有$\frac{{\partial}v}{{\partial}t}(x_0,t_0)=0$且如果$t_0=T$我们有$\frac{{\partial}v}{{\partial}t}(x_0,t_0){\ge}0$）。
结合（25）和（26），我们得到$(\frac{{\partial}u}{{\partial}t}-{\Delta}v)(x_0,t_0){\ge}0$，这与（24）矛盾，因此我们有
$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}v=\max_Pv{\le}\max_Pu+{\varepsilon}C $$
其中$C=\sup_{x{\in}\Omega}|x|^2$。因为$u{\le}v$，我们总结出
$$ \max_{\overline{\Omega}{\times}[0,T]}u{\le}\max_Pu+{\varepsilon}C,{\forall}\varepsilon>0 $$
于是完成了（23）的证明
10.3 波动方程
令$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$为一个开集，和上面一样，我们设
$$ Q=\Omega{\times}(0,\infty)和\sum=\Gamma{\times}(0,\infty) $$
考虑下面的问题：找到一个函数$u(x,t):\overline{\Omega}{\times}[0,\infty){\to}\mathbb{R}$满足：
$$ \frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}t^2}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q\tag{27} $$
$$ u=0{\quad}on{\;}{\sum}\tag{28} $$
$$ u(x,0)=u_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{29} $$
$$ \frac{{\partial}u}{{\partial}t}(x,0)=v_0(x){\quad}on{\;}\Omega\tag{30} $$
其中${\Delta}=\sum^N_{i=1}\frac{{\partial}^2{}}{{\partial}t^2}$表示空间变量$x$的拉普拉斯，$t$是时间变量，且$u_0,v_0$是给定的函数。
方程（27）被称为波动方程。算子$(\frac{{\partial}^2{}}{{\partial}t^2}-{\Delta})$经常由$\Box$代表且被称为达朗贝尔算子。波动方程是典型的双曲方程。
当$N=1$且$\Omega=(0,1)$，方程（27）模拟了弦在没有外力的情况下的小振动。对于每个$t$，函数$x{\in}\Omega{\mapsto}u(x,t)$的图像表示了在时刻$t$时弦的配置。当$N=2$时方程（27）模拟了弹性膜的小振动。对于每一个$t$，函数$x{\in}\Omega{\mapsto}u(x,t)$表示了在时刻$t$时弹性膜的配置。一般来说，方程（27）模拟了波（声波、电磁波等）在一些均匀弹性介质$\Omega{\subset}\mathbb{R}^N$中的传播。
方程（28）是（齐次）Dirichlet边界条件；可以用Neumann条件或第8章或第9章中遇到的任何边界条件来代替。条件在$\sum$上$u=0$意味着弦（或者弹性膜）是在$\Gamma$上固定的，而Neumann条件表示弦在其端点处是自由的。
方程（29）和（30）表示了系统的初始状态：初始形态（也就是说初始位移）由$u_0$描述，初始速度由$v_0$描述。数值$(u_0,v_0)$通常称为柯西值。
为了简化问题我们假设通篇$\Omega$是$C^{\infty}$阶的，且$\Gamma$有界。
定理10.7（存在性与唯一性）
假设$u_0{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$且$v_0{\in}H^1_0(\Omega)$。则存在问题(27)(28)(29)(30)的唯一解$u$满足
$$ u{\in}C([0,\infty);H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega){\cap}C^1([0,\infty;H^1_0(\Omega){\cap}C^2([0.\infty);L^2(\Omega))\tag{31} $$
更甚者，
$$ \left|\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(t)\right|^2_{L^2(\Omega)}+|{\nabla}u(t)|^2_{L^2(\Omega)}=|v_0|^2_{L^2(\Omega)}+|{\nabla}u_0|^2_{L^2(\Omega)},{\forall}t{\ge}0\tag{32} $$
注释6：方程（32）是一个守恒定律，它断言系统的能量在时间上是不变的。
在证明定理10.7之前让我们先提及一个正则性结果
定理10.8（正则性）
假设初值满足
$$ u_0{\in}H^k(\Omega),v_0{\in}H^k(\Omega),{\forall}k $$
且相容性条件
$$ {\Delta}^ju_0=0{\quad}on{\;}\Gamma,{\forall}j{\ge}0,j是整数\\ {\Delta}^jv_0=0{\quad}on{\;}\Gamma,{\forall}j{\ge}0,j是整数 $$
则问题(27)(28)(29)(30)的解$u$属于$C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$。
定理10.7的证明。和第10.1节一样，我们考虑$u(x,t)$为定义在$[0,\infty)$上的一个向量值函数。更准确地，是对任何$t{\ge}0,u(t)$代表了映射$x{\mapsto}u(x,t)$。我们记（27）为下面的一阶方程系统的形式。
$$ \begin{cases} \frac{{\partial}u}{{\partial}t}-v=0{\quad}in{\;}Q\\ \frac{{\partial}v}{{\partial}t}-{\Delta}u=0{\quad}in{\;}Q \end{cases}\tag{33} $$
且我们设$U=\dbinom{u}{v}$，于是（33）变为
$$ \frac{dU}{dt}+AU=0\tag{34} $$
其中
$$ AU=\begin{pmatrix} 0 & -I \\ -{\Delta} & 0 \end{pmatrix}U=\begin{pmatrix} 0 & -I \\ -{\Delta} & 0 \end{pmatrix}\dbinom{u}{v}=\dbinom{-v}{-{\Delta}u}\tag{35} $$
我们现在应用Hille–Yosida定理在空间$H=H^1_0(\Omega){\times}L^2(\Omega)$装备上内积
$$ (U_1,U_2)=\int_{\Omega}{\nabla}u_1{\cdot}{\nabla}u_2dx+\int_{\Omega}u_1u_2dx+\int_{\Omega}v_1v_2dx $$
其中$U_1=\dbinom{u_1}{v_1}$和$U_2=\dbinom{u_2}{v_2}$。
考虑无界算子$A:D(A){\subset}H{\to}H$由（35）定义，其中
$$ D(A)=(H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)){\times}H^1_0(\Omega) $$
注意到边界条件（28）已经包含在空间$H$中。条件$v=\frac{{\partial}u}{{\partial}t}=0$在$\sum$上是（28）的直接结果。
我们断言$A+I$是在$H$上极大单调的。
（i）$A+I$是单调的，事实上，如果$U=\dbinom{u}{v}{\in}D(A)$我们有
$$ \begin{align*} (AU,U)_H&+|U|^2_H\\ &=-\int_{\Omega}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}u-\int_{\Omega}uv+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v+\int_{\Omega}u^2+\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2+\int_{\Omega}v^2\\ &=-\int_{\Omega}uv+\int_{\Omega}u^2+\int_{\Omega}v^2+\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2{\ge}0 \end{align*} $$
（ii）$A+I$是极大单调的。这等于证明了$A+2I$是满射的。给定$F=\dbinom{f}{g}{\in}H$。我们必须解决方程$AU+2I=F$，也即，系统
$$ \begin{cases} -v+2u=f{\quad}in{\;}\Omega\\ -{\Delta}u+2v=g{\quad}in{\;}\Omega \end{cases}\tag{36} $$
其中
$$ u{\in}H^2(\Omega){\cap}H^2_0(\Omega)和v{\in}H^1_0(\Omega) $$
从（36）于是有
$$ -{\Delta}u+4u=2f+g\tag{37} $$
方程（37）有唯一一个解$u{\in}H^2(\Omega){\cap}H^1_0(\Omega)$（由定理9.25）则我们简单得到$v{\in}H^1_0(\Omega)$由取定$v=2u-f$。而这个解决了（36）。
应用Hille-Yosida定理（定理7.4）和注释7.7，我们发现下述问题存在唯一解
$$ \begin{cases} \frac{dU}{dt}+AU=0{\quad}on{\;}[0,\infty)\\ U(0)=U_0 \end{cases}\tag{38} $$
其中
$$ U{\in}C^1([0,\infty);H){\cap}C([0,\infty);D(A))\tag{39} $$
因为$U_0=\dbinom{u_0}{v_0}{\in}D(A)$。从（39）我们推断出（31）。
为了证明（32），用$\frac{{\partial}u}{{\partial}t}$乘上（27）并且在$\Omega$上积分就足够了。
注意到
$$ \int_{\Omega}\frac{{\partial}^2{u}}{{\partial}t^2}\frac{{\partial}u}{{\partial}t}dx=\frac{1}{2}\frac{{\partial}}{{\partial}t}\int_{\Omega}\left|\frac{{\partial}u}{{\partial}t}(x,t)\right|^2dx $$
和
$$ \int_{\Omega}(-{\Delta}u)\frac{{\partial}u}{{\partial}t}dx=\int_{\Omega}{\nabla}u{\cdot}\frac{{\partial}}{{\partial}t}({\nabla}u)dx=\frac{1}{2}\frac{{\partial}}{{\partial}t}\int_{\Omega}|{\nabla}u|^2dx $$
注释7：当$\Omega$是有界的我们可以在$H^1_0(\Omega)$用内积$\int{\nabla}u_1{\cdot}{\nabla}u_2$（见推论9.19），且在$H=H^1_0(\Omega){\times}L^2(\Omega)$内积
$$ (U_1,U_2)=\int_{\Omega}{\nabla}u_1{\cdot}{\nabla}u_2+\int_{\Omega}v_1v_2,其中U_1=\dbinom{u_1}{v_1}和U_2=\dbinom{u_2}{v_2}。 $$
随着这个内积我们有
$$ (AU,U)=-\int_{\Omega}{\nabla}v{\cdot}{\nabla}u+\int_{\Omega}(-{\Delta}u)v=0,{\forall}U=\dbinom{u}{v}{\in}D(A) $$
容易验证：
（i）$A$和$-A$是极大单调的。
（ii）$A^*=-A$。
因此我们可以解决问题
$$ \frac{dU}{dt}-AU=0{\;}on{\;}[0,+\infty),U(0)=U_0 $$
或者等价的
$$ \frac{dU}{dt}+AU=0{\;}on{\;}(-\infty,0],U(0)=U_0 $$
（仅仅变化$t$到$-t$）关系（32）可以记为
$$ |U(t)|_H=|U_0|_H,{\forall}t{\in}\mathbb{R} $$
可以认为单参数族$\left\{U(t)\right\}_{t{\in}\mathbb{R}}$是在$H$上的一族等距。
注释8：. 与热方程相比，波动方程对初值没有平滑作用。为了相信这一点，考虑情况$\Omega=\mathbb{R}$就足够了。
然后有一个非常简单的（27），（28），（29），（30）的显式解，即
$$ u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x+t)+u_0(x-t))+\frac{1}{2}\int^{x+t}_{x-t}v_0(s)ds\tag{40} $$
特别地，如果$v_0=0$，我们有
$$ u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x+t)+u_0(x-t)) $$
显然$u$不必$u_0$更正则（光滑）。我们甚至可以更准确。假设$u_0{\in}C^{\infty}(\mathbb{R}{\backslash}\left\{x_0\right\})$。则$u(x,t)$在$\mathbb{R}{\times}\mathbb{R}$是$C^{\infty}$阶的，除了在轴线$x+t=x_0$和$x-t=x_0$上。这些被称为通过点$(x_0,0)$的特征，也可以说奇点沿着特征传播。
注释9：当$\Omega$是有界的，问题（27），（28），（29），（30）可以通过希尔伯特基分解来解决，就像对热方程所做的那样。在$L^2(\Omega)$的基$(e_i)$中做是方便地，它们由$-{\Delta}$的特征函数组成（带狄利克雷条件）也即：$-{\Delta}e_i={\lambda_i}e_i$在$\Omega$上，$e_i=0$在$\Gamma$上。回忆$\lambda_i>0$。我们寻找问题（27），（28），（29），（30）的解为级数形式
$$ u(x,t)=\sum_ia_i(t)e_i(x)\tag{41} $$
我们立刻看到函数$a_i(t)$必须满足
$$ a_i''(t)+{\lambda_i}a_i(t)=0 $$
于是
$$ a_i(t)=a_i(0)cos(\sqrt{{\lambda_i}t})+\frac{a'_i(0)}{\sqrt{\lambda_i}}sin(\sqrt{\lambda_i}t) $$
常数$a_i(0)$和$a_i'(0)$是由以下关系决定的
$$ u_0(x)=\sum_ia_i(0)e_i(x)和v_0(x)=\sum_ia'_i(0)e_i(x) $$
用另外的话说，$a_i(0)$和$a_i'(0)$是$u_0$和$v_0$在基$(e_i)$上的分量。
定理10.8的证明：我们用到在定理10.7证明同样的记号。容易看到，由在$k$上的归纳，
$$ D(A^k)=\begin{cases} \dbinom{u}{v};u{\in}H^{k+1}且{\Delta}^ju=0{\;}on{\;}\Gamma,{\forall}j,0{\le}j{\le}[k/2]\\ v{\in}H^k(\Omega)且{\Delta}^jv=0{\;}on{\;}\Gamma,{\forall}j,0{\le}j{\le}[(k+1)/2]-1 \end{cases} $$
特别地，$D(A^k){\subset}H^{k+1}(\Omega){\times}H^k(\Omega)$带连续单射。应用定理7.5，我们看到如果$U_0=\dbinom{u_0}{v_0}{\in}D(A^k)$，则问题（38）的解$U$满足:
$$ U{\in}C^{k-j}([0,\infty);D(A^k)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k $$
因此$u{\in}C^{k-j}([0,\infty);H^{j+1}(\Omega)),{\forall}j=0,1,{\cdots},k$我们由推论915总结出在定理10.8的假设下（也即$U_0{\in}D(A^k),{\forall}k$），$u{\in}C^k(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty)),{\forall}k$。
注释10：定理10.8中引入的相容性条件是问题（27），（28），（29），（30）的解$u{\in}C^{\infty}(\overline{\Omega}{\times}[0,\infty))$的充分必要条件。证明是和注释4一样的。
注释10：第10.3节中介绍的技术也可用于求解Klein-Gordon方程
$$ \frac{{\partial}^2u}{{\partial}t^2}-{\Delta}u+m^2u=0{\;}in{\;}Q,m{>}0\tag{27'} $$
注意到（27‘）不能被未知的变换例如$v(x,t)=e^{\lambda_t}u(x,t)$减弱到（27）