傅立叶变换

分离变量法实际上是借用了傅立叶工具，通过分离变量得到常微分方程之后，解却是通过一族正交系来确定的，而在某些情况下，傅立叶天然的正交系性质，为这些解提供了帮助。

故此对傅里叶变换做一些总结

傅立叶变换及其基本性质

设$f(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数，它在$[-l,l]$上有一阶连续导数，则在$[-l,l]$中$f(x)$可以展开为傅立叶级数

$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_ncos\frac{n\pi}{l}x+b_nsin\frac{n\pi}{l}x),\\ a_n=\frac{1}{l}f(\xi)cos\frac{n\pi}{l}{\xi}d\xi,b_n=\frac{1}{l}f(\xi)sin\frac{n\pi}{l}{\xi}d\xi \quad (n=0,1,2,\cdots) $$

整理两个式子可以得到

$$ f(x)=\frac{1}{2l}\int^l_{-l}f(\xi)d{\xi}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(\xi)cos\frac{n\pi}{l}(x-\xi)d{\xi} $$

这里我们将所有的正弦函数全部给去掉了，是用到了正交系的性质。

这里需要加上一个$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$绝对可积的条件，这样，可以让$l{\to}\infty$，从而得到

$$ f(x)=\lim_{n{\to}\infty}\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(\xi)cos\frac{n\pi}{l}(x-\xi)d{\xi} $$

如果记$\lambda_i=\frac{i\pi}{l},\Delta{\lambda}={\Delta}{\lambda_n}=\lambda_{n+1}-\lambda_n=\frac{\pi}{l}$，则可以得到

$$ f(x)=\lim_{{\Delta}{\lambda}{\to}0}\frac{1}{\pi}\sum^{\infty}_{n=1}{\Delta}\lambda_n\int^l_{-l}f(\xi)cos{\lambda_n}(x-\xi)d{\xi}\\ =\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{0}d{\lambda}\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)cos{\lambda}(x-\xi)d{\xi} $$

这个积分表达式被称为$f(x)$的傅立叶积分。

可以知道：若$f(x)$绝对可积，则在$f(x)$本身及其导数为连续的点，$f(x)$的傅立叶积分收敛于$f(x)$在该点的函数值

当然也可以写成复数形式，因为$cos{\lambda}(x-\xi)$是$\lambda$的偶函数，而$sin{\lambda}(x-\xi)$是$\lambda$的奇函数，于是傅立叶积分可以写为

$$ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}d{\lambda}\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)[cos{\lambda}(x-\xi)+isin{\lambda}(x-\xi)]d{\xi}\\ =\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}d{\lambda}\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)e^{i{\lambda}(x-\xi)}d{\xi} $$

于是，若令

$$ g(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(\xi)e^{-i{\lambda}\xi}d{\xi} $$

就有

$$ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}g(\lambda)e^{i{\lambda}x}d{\lambda} $$

称$g(\lambda)$为$f(x)$的傅立叶变换，记为$F[f]$；称$f(x)$为$g(\lambda)$的傅立叶逆变换，记为$F^{-1}[g]$。当$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续可导且绝对可积时，它的傅立叶变换存在，且其逆变换等于$f(x)$。

基本性质

线性性质

傅立叶变换是线性变换，即对于任意复数$\alpha,\beta$以及$f_1,f_2$，成立

$$ F[\alpha{f_1}+\beta{f_2}]={\alpha}F[f_1]+{\beta}F[f_2] $$

如果对给定的$f_1(x),f_2(x)$，当$x{\in}(-\infty,+\infty)$时

$$ f(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f_1(x-t)f_2(t)dt $$

存在，则称$f(x)$为$f_1(x)$与$f_2(x)$的卷积，记为$f_1{*}f_2$，显然，，当$f_1,f_2$为绝对可积时，$f_1{*}f_2=f_2{*}f_1$，也就是卷积是可以交换的。

关于卷积的傅立叶变换

卷积与乘积

$f_1(x)$和$f_2(x)$的卷积的傅立叶变换等于$f_1(x)$和$f_2(x)$的傅立叶变换的乘积，也就是

$$ F[f_1*f_2]=F[f_1]{.}F[f_2] $$

证明直接用傅立叶变换和绝对可积函数的积分可交换次序的性质即可。

$f_1(x)$和$f_2(x)$的乘积的傅立叶变换等于$f_1(x)$和$f_2(x)$的傅立叶变换的卷积乘以$\frac{1}{2\pi}$，也就是

$$ F[f_1.f_2]=\frac{1}{2\pi}F[f_1]*F[f_2] $$

函数与导数的傅立叶性质

如果$f(x),f'(x)$都是可以进行傅立叶变换的，而且当$|x|{\to}\infty,f(x){\to}0$，则成立

$$ F[f'(x)]=i{\lambda}F[f(x)] $$

证明用分部积分做即可。

同样有：如果$f(x)$以及$xf(x)$都可以进行傅立叶变换，则有

$$ F[-ixf(x)]=\frac{d}{d{\lambda}}F[f] $$

多个自变量函数

类似地完全可以定义多个自变量函数的傅立叶变换：

$$ F[f]=g(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)=\int^{\infty}_{-\infty}{\cdots}\int^{\infty}_{-\infty}f(x_1,\cdots,x_n)e^{i(x_1{\lambda}_1+{\cdots}+x_n{\lambda}_n)}dx_1{\cdots}dx_n $$

相应的傅立叶逆变换为

$$ f(x_1,\cdots,x_n)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int^{\infty}_{-\infty}\cdots\int^{\infty}_{-\infty}g({\lambda}_1,{\cdots},{\lambda}_n)e^{i(x_1{\lambda}_1+{\cdots}+x_n{\lambda}_n)}d{\lambda_1}{\cdots}d{\lambda}_n $$

当然对于多个自变量函数的傅立叶变换也有类似上面的性质。

广义函数基础

广义函数的傅立叶变换实则是对经典傅立叶变换的一个推广，但是由于广义函数有其理论支撑，可以去掉原先在定义与应用中对函数所加的一些限制，使得傅立叶变换更为灵活。

而实际上，定义泛函可以得到一些不属于原来函数空间的一些函数，所以相当于拓宽了函数的范围。

这里需要引入速降函数空间和其对应的广义函数空间，当然首先还得对广义函数的卷积做出定义。

狄拉克函数引入

为了之后卷积的运算里面方便使用狄拉克函数$\delta$，我们先给出这个函数的引入。

考虑$[a,b]$上的连续函数全体$C[a,b]$，由$C[a,b]$上任一函数（也就是勒贝格可积函数）$f(x)$，可以按照以下方式定义一个$C[a,b]$上的线性连续泛函。

$$ F(\varphi)=<f,\varphi>=\int^b_af(x)\varphi(x)dx \quad \forall {\varphi(x)}{\in}C[a,b]\tag{2.1} $$

但是反过来，$C[a,b]$上的线性连续泛函却不一定可以用某个常义函数$f$表示为上述中的积分形式。

例如：若$0{\in}(a,b)$，则对任何给定的$\varphi(x){\in}C[a,b]$，定义

$$ F[\varphi]=\varphi(0)\tag{2.2} $$

就得到了一个线性泛函，而且若有$\varphi_v(x){\in}C[a,b]$，当$v{\to}\infty$时满足

$$ \|\varphi_v(x)\|_{C[a,b]}=\max_{x{\in}[a,b]}|\varphi_v(x)|{\to}0 $$

则$F(\varphi_v)=\varphi(0){\to}0$，所以$F(\varphi)$是连续的，但是却找不到一个可积函数$f(x)$，使泛函$F(\varphi)$表示成式子(2.1)中的积分。

我们称式子(2.2)中表达的泛函为狄拉克$\delta$函数，并且形式地记为$F(\varphi)=<\delta,\varphi>$。

必须指出这样的狄拉克函数就是一个广义函数，因为由里斯表示定理，这个函数存在唯一，并且可以表示为式子(2.1)中的积分形式。

而引入脉冲等具有物理意义的背景后，我们可以了解到$\delta(x)$是在$x\neq0$时为0，$x=0$时候为$\infty$的一个“函数”，且其积分值为1。这也就是所谓的集中在原点的单位质量的密度分布的数学表达。

事实上，对比其他的函数空间，我们可以知道，对于(2.1)式积分中的$\varphi(x)$所属的函数类要求越高，则由该式子所定义的泛函也就越多。

比如如果是平方可积空间$L^2[a,b]$，则其定义的泛函还是在$L^2[a,b]$中，但是以蛋我们要求是连续的函数类，则立刻定义了一个广义函数狄拉克函数出来。

这里指出狄拉克函数的一个性质

狄拉克函数是三个广义函数空间的广义函数

$\delta$函数是$\mathscr{D’},\mathscr{S’},\mathscr{C’}$的广义函数

前面关于狄拉克函数的定义已经指出，$\delta$函数作用于基本空间的任何一个给定的函数$\varphi(x)$上得到的值为

$$ <\delta,\varphi>=\varphi(0) $$

显然，这是一个线性连续泛函，而且无论是按照$C^{\infty}_c(R^n),\mathscr{S}(R^n),C^{\infty}(R^n)$的极限意义，当$\varphi_{\varphi'}(x){\to}0$，都有$\varphi_v(0){\to}0$，所以$\delta$函数是$\mathscr{D’},\mathscr{S’},\mathscr{C’}$的广义函数。

同时给出狄拉克函数$\delta$的支集为原点$\left\{O\right\}$。

广义函数的运算

为了之后卷积的证明，还得引入一下对于广义函数的运算

广义函数的极限

这里只用弱极限，并且简称为极限。若有一列广义函数$\left\{T_k\right\}$，对于基本函数空间中任一给定的元素$\varphi(x)$，当$k{\to}\infty$时成立

$$ <T_k,\varphi>{\to}0 $$

则称$T_k$弱收敛于零，或者简称$T_k$收敛于零。

这里给出个例子：一个函数列可以以狄拉克函数$\delta$作为极限

$$ f_v(x)=\frac{1}{\pi}\frac{sinvx}{x} $$

则对任一给定的$C^{\infty}_c$函数$\varphi$函数，利用黎曼-勒贝格引理可以知道，当$v{\to}\infty$时，

$$ <f_v,\varphi>=\frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\frac{sinvx}{x}\varphi(x)dx{\to}\varphi(0)=<\delta,\varphi> $$

因此则有$f_v{\to}\delta$。

广义函数的导数

设$T$为广义函数，定义$T$关于$x_k$的偏导数$\frac{\partial T}{\partial x_k}$为满足下述要求的广义函数

$$ <\frac{\partial T}{\partial x_k},\varphi>=-<T,\frac{\partial \varphi}{\partial x_k}>,\quad \forall{\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)} $$

接下来验证这个偏导数$\frac{\partial T}{\partial x_k}$为广义函数：从${\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)}$，可以推出$\frac{\partial \varphi}{\partial x_k}{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，并且从$\varphi_v{\to}0$，可以知道$\frac{\partial \varphi}{\partial x_k}{\to}0$。于是这个式子确实定义了一个$\mathscr{D'}$上的广义函数$\frac{\partial T}{\partial x_k}$。

我们这里给出性质：广义函数的任一阶导数存在，并且与求导次序无关。

并且有：广义函数序列$\left\{f_v\right\}$按弱收敛的意义以$f$为极限，则对于任意重指标$\alpha$，成立

$$ \partial^{\alpha}f_v{\to}\partial^{\alpha}f $$

广义函数的乘子

设$T$为广义函数，$\alpha(x){\in}C^{\infty}(R^n)$，则定义$\alpha$与$T$的乘积$\alpha{T}$为

$$ <\alpha{T},\varphi>=<T,\alpha{\varphi}>,\quad \forall{\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)} $$

这里我们要验证$\alpha(x)$确实是一个广义函数：从${\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)}$可以推出$\alpha{\varphi}{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，又从$\varphi_v{\to}0$，可以知道$\alpha{\varphi_v}{\to}0$，于是这个式子确实定义了一个$\mathscr{D'}$上的广义函数$\alpha{\varphi}$。

给出一个以$C^{\infty}$函数为系数的线性偏微分算子

$$ P(x,\partial)=\sum_{|\alpha|{\le}m}a_{\alpha}(x){\partial^{\alpha}} $$

这样我们可以在广义函数的意义下考察偏微分方程（例如波动方程、热传导方程、调和方程等）

$$ P(x,\partial)u=f $$

如果广义函数$u$满足上面式子（也就是$u$为上式的广义函数解），就表示对任何一个给定的$C^{\infty}_c$函数$\varphi$,成立

$$ <u,P^*(x,\partial)\varphi>=<f,\varphi> $$

其中$P^*(x,\partial)\varphi=\sum_{|\alpha|{\le}m}(-1)^{|\alpha|}\partial^{\alpha}(a_{\alpha}(x)\varphi)$。对照弱解的定义，偏微分方程的广义函数解可以看成是更弱意义下的弱解。

广义函数的卷积

若$f(x),g(x)$为两个$L^1(-\infty,\infty)$的函数，它们的卷积为

$$ (f*g)(x)=\int^{\infty}_{-\infty}f(x-y)g(y)dy $$

当$x,y$在$R^n$中变化，$f,g$为$L^1(R^n)$中的元素时，也可也相应地定义卷积为

$$ (f*g)(x)=\int_{R^n}f(x-y)g(y)dy $$

如果将$f*g$视为 $\mathscr{D}’$ 广义函数，将其作用于任一给定的$C^{\infty}_c(R^n)$函数$\varphi(x)$上，就有

$$ \begin{align*} <(f*g)(x),\varphi(x)>&=\int_{R^n}{\varphi(x)}\int_{R^n}f(x-y)g(y)dydx\\ &=\int_{R^n}(\int_{R^n}\varphi(x+y)f(x)g(y)dy)dx\\ &=<f(x),<g(y),\varphi(x+y))>>\\ &=<g(y),<f(x),\varphi(x+y)>> \end{align*} $$

相应地，可以定义两个广义函数$S,T$的卷积为

$$ <S*T,\varphi>=<S_x,<T_y,\varphi(x+y)>>,\forall {\varphi}{\in}C^{\infty}_c(R^n) $$

这里$S,T$的下标$x,y$表示它们是分别作用在$C_c^{\infty}(R^n_x)$与$C_c^{\infty}(R^n_y)$上的广义函数。

这里要指出两个重要的问题：

一是并非任何两个广义函数都可以求卷积，但是只要两个广义函数中有一个是$\mathscr{C}’$广义函数，它们的卷积就存在。（卷积存在性条件）

二是如果两个广义函数可以求卷积的话，其求卷积的次序是可以交换的。

假定广义函数的卷积都存在，则有以下关于广义函数的卷积的性质。

交换性

$$ (R*S)*T=R*(S*T) $$

证明：事实上，上式两端对任何一个$C^{\infty}_{c}(R^n)$中的函数$\varphi$的作用都可以表示为

$$ <R_x,<S_y,<T_z,\varphi(x+y+z)>>> $$

狄拉克卷积

$$ \delta*T=T $$

证明：因为对任何一个给定的$\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，有

$$ \begin{align*} <\delta*T,\varphi>&=<T_x,<\delta_y,\varphi(x+y)>>\\ &=<T_x,\varphi(x)>=<T,\varphi> \end{align*} $$

卷积与微分

$$ \partial_k T=(\partial_k{\delta})*T $$

其中$\partial_k$表示$\frac{{\partial}}{{\partial}x_k}$，因为对任一给定的$\varphi{\in}C^{\infty}_c(R^n)$，有

$$ \begin{align*} <\partial_kT_x,\varphi(x)>&=-<T_x,\partial_k{\varphi(x)>}\\ &=-<T_x,<\delta_y,\partial_k{\varphi(x+y)}>>\\ &=<T_x,<(\partial_k{\delta}),\varphi(x+y)>>\\ &=<\partial_k{\delta*T},\varphi> \end{align*} $$

广义函数卷积之后的微分

$$ \partial_k(S*T)=(\partial_kS)*T=S*{\partial_kT} $$

证明：事实上，利用前面几个性质，可以得到

$$ \begin{align*} \partial_k(S*T)&=(\partial_k{\delta})*(S*T)\\ &=(\partial_k{\delta}*S)*T\\ &={\partial_k}S*T \end{align*} $$

根据上式，如果有一个常系数的线性偏微分算子$P(\partial)=\sum_{|\alpha|{\le}m}a_{\alpha}{\partial^{\alpha}}$作用于两个广义函数的卷积上，也只要将它作用在这两个中间的其中一个就可以了，也就是成立

$$ P(\partial)(E*T)=(P({\partial})E)*T $$

广义函数的傅立叶变换

接下来可以利用上面的基础，来考察对于广义函数的傅立叶变换。首先我们考察对于速降空间的傅立叶变换（基础函数空间），然后再考察其对应的广义函数空间的傅立叶变换（真正的广义函数傅立叶变换）。

速降空间上的傅立叶变换

由于$\mathscr{S}(R^n)$中任一函数绝对可积，对于任何一个给定的函数$f(x){\in}\mathscr{S}(R^n)$，可以像经典方式定义傅立叶变换一样

$$ F[f]=\int_{R^n}f(x)e^{-ix.\xi}dx $$

同样地，对于任一给定的$g(\xi){\in}\mathscr{S}(R^n)$，可以定义其傅立叶逆变换

$$ F^{-1}[g]=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{R^n}g(\xi)e^{ix.\xi}d{\xi} $$

且由于$f(x)$是连续可导的，所以有

$$ F^{-1}[F[f]]=f $$

接下来列举$\mathscr{S}(R^n)$空间上傅立叶变换的一些性质，有些性质在一个自变量的情形已经证明，则不再作证明。

线性性质

傅立叶变换是线性变换，即对任意的复数$\alpha_1,\alpha_2$成立。

$$ F[\alpha_1f_1+\alpha_2f_2]=\alpha_1F[f_1]+\alpha_2F[f_2] $$

乘幂和微分

傅立叶变换将微分运算变成乘以幂函数的运算，反过来，也将乘以幂函数的运算变为微分运算

$$ F[\partial_j f]=i\xi_jF[f],\\F[\partial^{\alpha}f]=i^{|\alpha|}\xi^{\alpha}F[f],\\ F[-ix_jf]=\frac{\partial}{\partial \xi_j}F[j],\\F[(-i)^{|\alpha|x^{\alpha}}f]=\partial^{\alpha}F[f] $$

卷积与乘法

傅立叶变换将卷积运算变为乘法运算，反之，将乘法运算变为卷积运算

$$ F[f*g]=F[f].F[g]\\ F[f.g]=(2\pi)^{-n}F[f]*F[g] $$

建立同构

傅立叶变换建立了一个从$\mathscr{S}(R^n)$到$\mathscr{S}(R^n)$的同构对应

由于$C^{\infty}(R^n)$空间中的任一个函数不一定可以进行傅立叶变换，而$C^{\infty}_c(R^n)$中的函数经过傅立叶变换后一般又不在$C^{\infty}_c(R^n)$中，所以这个同构对于速将函数空间及其对应的广义函数空间都起着重要作用。

其广义函数空间的傅立叶变换

对于任一给定的$\mathscr{S'}(R^n)$广义函数$T$，定义它的傅立叶变换$F[T]$为

$$ <F[T],\varphi>=<T,F[\varphi]>,\quad \forall \varphi{\in}\mathscr{S}(R^n) $$

同样按照前面的步骤可以验证$F[T]$为一个广义函数：若$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，则有$F[\varphi]{\in}\mathscr{S}(R^n)$，且若$\varphi_v{\to}0$，则$F[\varphi_v]{\to}0$。

同样可以定义广义函数$T$的傅立叶逆变换$F^{-1}[T]$为

$$ <F^{-1}[T],\varphi>=<T,F^{-1}[\varphi]>,\quad\forall{\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)} $$

如果$T$是$R^n$上的绝对可积函数，则对任一给定的函数$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，有

$$ \begin{align*} <F[T],\varphi>&=<T,F[\varphi]>\\ &=\int_{R^n_x}(\int_{R^n_{\xi}}\varphi(\xi)e^{-ix.\xi}d{\xi})T(x)dx\\ &=\int_{R^n_{\xi}}(\int_{R^n_x}T(x)e^{-ix.\xi}dx)\varphi(\xi)d{\xi} \end{align*} $$

所以有$F[T]=\int_{R^n_x}T(x)e^{-ix.\xi}dx$，也就是兼容经典的傅立叶变换函数做傅立叶变换。

傅立叶变换性质

同构

傅立叶变换建立了一个$\mathscr{S'}(R^n)$到$\mathscr{S'}(R^n)$的同构对应。

证明：线性同构显然，然后证明保持极限关系不变即可

逆变换和变换

若$T{\in}\mathscr{S'}(R^n)$，则

$$ F^{-1}[F[T]]=T $$

证明：对任一给定的$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，成立

$$ \begin{align*} <F^{-1}[F[T]],\varphi>&=<F[T],F^{-1}[\varphi]>\\ &=<T,F[F^{-1}[\varphi]]>=<T,\varphi> \end{align*} $$

微分与乘幂

若$T{\in}\mathscr{S'}(R^n)$，则成立

$$ F[\partial_j T]=i\xi_jF[T],\\F[\partial^{\alpha}T]=i^{|\alpha|}\xi^{\alpha}F[T],\\ F[-ix_jT]=\frac{\partial}{\partial \xi_j}F[T]\\ F[(-i)^{|\alpha|}x^{\alpha}T]=\partial^{\alpha}F[T] $$

我们仅对第一个式子证明，其他式子类似，首先对任一给定的$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n)$，有

$$ \begin{align*} <F[\partial_jT],\varphi>&=<\partial_jT,F[\varphi]>=-<T,\partial_jF[\varphi]>\\ &=-<T,F[-i\xi_j\varphi]>=-<F[T],-i\xi_j\varphi>\\ &=<i\xi_jF[T],\varphi> \end{align*} $$

卷积与乘积

和$\mathscr{S}(R^n)$上的傅立叶变换类似，$\mathscr{S'}(R^n)$广义函数的傅立叶变换也将乘积运算变换为卷积运算，将卷积运算变换为乘积运算。但是由于任意两个$\mathscr{S'}(R^n)$广义函数的乘积或者卷积未必存在，所以相关等式的成立是有条件的。

如果$\varphi{\in}\mathscr{S}(R^n),T{\in}\mathscr{S'}(R^n)$，则

$$ F[\varphi*T]=F[\varphi].F[T] $$

如果$R{\in}\mathscr{C'}(R^n),T{\in}\mathscr{S'}(R^n)$，则

$$ F[R*T]=F[R].F[T] $$