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第三章第二题若$\varphi$在$(a,b)$上是凸的，而$\psi$在$\varphi$的值域上是凸的且是非递减的，证明$\psi{\circ}\varphi$在$(a,b)$上是凸的，对于$\varph0$，证明$ln(\varphi)$的凸性蕴含着$\varphi$的凸性，但是反之不真。首先证明$\psi{\circ}\varphi$在$(a,b)$上是凸的：由于$\varphi$在...
第一章第三题若$f$是在可测空间$X$上的实函数，使得对每一个有理数$r$，$\left\{x:f(x)>r\right\}$为可测集，证明$f$是可测的。证明：根据定理1.2可以知道，要证明$f$是可测的，只需要证明对${\forall}\alpha{\in}\mathbb{R},f^{-1}(\alpha,\infty]$是可测集即可。由稠密性，可以用有理数逼近实数，于是可以对于$...
第二章第三题设$X$是一个度量空间，其度量为$\rho$。对任意的非空集合$E{\subset}X$，定义
矩阵论$P_{145}$24，做出下列矩阵的奇异值分解（1）$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$（2）$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 &1\\ 2 & 0&0\\ \end{pmatrix}$（3）$A=\begin{pmatrix} -1 ...
近世代数$P_{71}$定理2.6.3：设$G$为有限可换群，$p$为素数，且$p{\mid}|G|$，则$G$中有$p$阶元。证明：对$|G|$作归纳法。$|G|=p$，显然成立。下面设$|G|=n>p$，并且假设命题对$|G|<n$以及$p{\mid}|G|$成立。要证明对$|G|=n$以及$p{\mid}n$也成立。任意取$a{\in}G$，设$o(a)=k>1$，若...