$S^n$的基本群
首先给出一个命题，这个命题的推论告诉我们$S^n$的基本群是平凡的（$n{\ge}2$）
命题：首先有条件
- $X_1,X_2{\subset}X$为开覆盖，也就是分别为开集并且有$X_1{\cup}X_2=X$。
- $X_2$单连通
- $X_1{\cap}X_2=\varnothing$道路连通
则$i_{\pi}:\pi_1(X_1,x_0){\to}\pi_1(X,x_0)$满同态，$i:X_1{\subset}X$为包含映射。
推论：$\pi_1(S^n)=\left\{1\right\}$。
证明这个推论：$S^n={X_1}{\cup}{X_2},X_1=S^n{\backslash}\left\{N\right\}{\cong}E^n,X_2=S^n{\backslash}\left\{S\right\}{\cong}E^n$，而$X_1,X_2$为开，$X_1{\cup}X_2=S^n$，而$X_1{\cap}X_2{\cong}E^n{\backslash}\left\{0\right\}$道路连通。
于是由于命题${\forall}x_0{\in}S^n{\backslash}\left\{N\right\}=X_1,\pi_1(X_1,x_0)=\left\{1\right\}$。
$$ i_{\pi}:\pi_1(X_1,x_0){\to}\pi(S^n,x_0)满{\Rightarrow}\pi_1(S^n,x_0){\cong}\left\{1\right\},S^n连通，故S^n单连通 $$
而基本群$\pi_1(S^1){\cong}Z$这是上一次讲的。
证明命题：一，
$$ {\forall}\alpha{\in}\pi_1(X,x_0),\alpha=<a>,a{\in}C(I,X),a(0)=a(1)=x_0\\{\exists}\widetilde{a}{\in}C(I,X_1),\widetilde{a}(0)=\widetilde{a}(1)=x_0,\\\widetilde{a}{\simeq}a $$
我们接下来就是找到这个$\widetilde{a}$的构造。
二，$U_i=a^{-1}(X_i)$为$I$的一个开覆盖，记$\delta$为勒贝格数，取$m=[\frac{1}{\delta}]+2$，把$I$等分为$m$段，则每一小段都落在$U_1$或者$U_2$中，若分割点不在$U_1{\cap}U_2$中，则它在$U_i$中且$U_i$中包含与它相连接的两段，把这样的分割点去掉，于是做出了$I$的一个新分割$\hat{I_i}$，此时分割点都在$U_1{\cap}U_2$中，于是推出对于${\forall}\hat{I_i},\hat{I_i}{\subset}U_1$或者$\hat{I_i}{\subset}U_2$。
取$\hat{I_i},i=1,\cdots,k$为所有不在$U_1$中的区间，则$\hat{I_i}=[t_i,t_i'],{\forall}i,a(I_i){\subset}X_2$，且$a(t_i),a(t_i'){\in}X_1{\cap}X_2=X_0$。
作$b_i:\hat{I_i}{\to}X_0,b_i(t_i)=a(t_i),b_i(t_i')=a(t_i')$，由于$X_2$单连通。
$$ H_i:b_i{\simeq}a|_{\hat{I_i}}{\quad}rel\left\{t_i,t_i'\right\} $$
作道路$\widetilde{a}:I{\to}X_1$。
$$ \widetilde{a}(t)=\begin{cases}b_i(t),{\quad}t{\in}\hat{I_i}\\a(t),{\quad}t{\notin}\hat{I_i}\end{cases} $$
于是推出$\widetilde{a}$为$X_1$中在$x_0$点的闭道路，仅需证明$\widetilde{a}{\simeq}a{\;}rel\left\{x_0\right\}$。
$$ \widetilde{H}=\begin{cases}H_i(t,s){\quad}t{\in}I_i\\a(t){\quad}t{\notin}I_i\\\end{cases} $$
推出$b(I){\subset}X_1,\widetilde{a}{\simeq}a{\quad}rel\left\{x_0\right\}$。
于是命题证明完毕。
$T^2$的基本群
定理：$x_0{\in}X,y_0{\in}Y$，则有群同态
$$ \pi_1(X{\times}Y,(x_0,y_0)){\cong}\pi_1(X,x_0){\times}\pi_1(Y,x_0) $$
推论：$T^2=S^1{\times}S^1{\Rightarrow}\pi_1(T^2)=Z{\times}Z=Z^2$（交换群）
证明定理：$\varphi:\gamma{\to}((j_1)_{\pi}(\gamma),(j_2)_{\pi}(\gamma))$。
同态可以证明，因为是投影同态，而乘积也是保持同态。
但是对于满同态：
$$ {\forall}{\alpha}{\in}{\pi}_1(X,x_0),\beta{\in}{\pi}_1(Y,y_0),\alpha=<a>,\beta=<b> $$
取$\gamma=<(a,b)>,\varphi(\gamma)=(\alpha,\beta)$。
再证明是单同态：
$$ \varphi(\gamma)=1,\gamma=<c>{\Rightarrow}<j_1{\circ}c>{\in}\pi_1(X,x_0)\\j_1{\circ}c{\simeq}e_{x_0}{\;}rel\left\{x_0\right\}\\j_2{\circ}c{\simeq}e_{y_0}{\;}rel\left\{y_0\right\} $$
可以推出$c{\simeq}(e_{x_0},e_{y_0}){\;}rel((x_0,y_0)){\Rightarrow}<c>=1$，于是单射可以证明。