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基础拓扑学6在引入商空间之前，我们需要对商映射做出一定的解释。也就是我们先从商映射的几何意义：粘连对应点。从直观上感受商映射是什么。同时，由于是商空间，仅仅定义一个映射过去是不够的，还需要刻画映射完的集合的拓扑空间。所以一个商映射需要导出一个强拓扑空间，并且实现这个粘连，最后才用等价类的数学定义，合理定义出商空间。基础铺垫参考书目：《点集拓扑与代数拓扑引论》曲面的拓扑分类在近百年前已经有了完...
泛函分析关于度量空间这一章，主要讲述了关于度量空间的结构是怎么来的，并且讲解了拓扑结构和代数结构构造而成的内积空间，从而诱导出范数。其中有一些比较好的性质——凸性质和紧性质。关于这些空间——内积、范数空间，都有一个完备性的问题：也就是按照范数收敛后的元素是否还在集合中，若在则称该空间是完备的，于是定义了巴拿赫空间（赋范线性空间完备空间）与希尔伯特空间（具有内积的完备空间）。具体的应用定理则是...
Big rudin勒贝格可测的性质若某集合子集均勒贝格可测，则该集合测度为0若$A{\subset}R^1$，并且$A$的每个子集都是勒贝格可测的，则$m(A)=0$。从这个定理可以得到一个深刻的推论：（揭示了可测与不可测的相关性质）每个正测度集合都有不可测的子集。证明：设$R$为实数集，$Q$为有理数集，利用选择公理，则可以构造$E{\subset}R$，使得对任意的$x{\in}R,E{...
勒贝格测度构造博雷尔测度的正则性定义测度$\mu$为$X$上的博雷尔测度，指的是在局部紧的豪斯多夫空间$X$的全体博雷尔集组成的$\sigma-$代数上的测度。$\mu$为正测度，并且一个博雷尔集$E{\subset}X$可以有以下的定义：外正则，也就是一个博雷尔集合的测度可以用包含它的开集的下确界的测度来衡量。内正则，也就是一个博雷尔集合的测度可以用它包含的紧集的上确界的测度来衡量。因为在...
基础拓扑学5连通性定义：一个拓扑空间是连通的：$(X,\tau),X{\neq}\varnothing$，若$X$不能分解为两个非空的不相交的开集之并，则称拓扑空间$X$是连通的。例子$E^1$是连通的。证明：用反证法：$E^1=A{\cup}B,A{\cap}B=\varnothing$，那么我们考虑$c=\sup\left\{x{\in}A|x<b\right\}$，那么我们有而$...