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基础拓扑学8同伦与基本群思想首先这个概念是来自于庞加莱，庞加莱使用了基本群工具来刻画不同胚的各个拓扑图形的性质。拓扑不变量，通过群这个代数工具，可以展现出来。而基本群实际上对应的就是同论群（不可交换的运算），而对于可以交换的运算，则是同调群，对应的是上同调群。graph LR A[拓扑空间] -->|连续f|B[拓扑空间]-->|连续g|C[拓扑空间]-->|连续gof|...
Banach空间技巧Banach空间对于巴拿赫空间，我们知道它是一个完备的赋范线性空间。再次提及一下什么叫做范数：对于$X$是复向量空间，$\|{\cdot}\|:X{\to}[0,\infty)$。$\forall{x,y}{\in}X,\|x+y\|{\le}\|x\|+\|y\|$。（三角不等式）$\forall{x}{\in}X,{\forall}{\alpha}{\in}C,\|{...
数学物理方程.辅导建议看下：齐民友——广义函数与数学物理方程；陈恕行——现代偏微分方程导论导引偏微分方程反映了有关的未知变量及其关于时间变量的导数或者关于空间变量的导数之间的关系。自然科学偏微分方程流体力学基本方程欧拉方程组与纳维-斯托克斯方程组弹性力学弹性力学方程组电动力学麦克斯韦方程组量子力学薛定谔方程相对论爱因斯坦方程相对论量子力学狄拉克方程弦振动方程与定解条件的导出固定边界、自由边界...
傅立叶展开本节主要讲述了希尔伯特空间上都有其极大规范正交集，并且因此导出其上的三角级数，并讲述了$L^2(T)$空间上的傅立叶展开。希尔伯特空间的规范正交集为了证明每个希尔伯特空间上都有极大规范正交集，对极大的确定，需要引入选择公理和偏序集概念。偏序集集合$\mathscr{P}$定义了一种关系“${\le}$”：$a{\le}b且b{\le}c$，蕴含着$a{\le}c$（传递性）$a{\...
变分学1本节仅仅讲述变分学的来源和对于泛函极值求解的$E-L$方程和$L-H$条件，并且针对泛函极值的必要性和充分性做出探讨。变分学引论变分学是研究泛函极值（更一般地是临界值）的一个数学分支。目前我们关注的变分学是从一个函数集合到一个实数域$\mathbb{R}$上的映射。定义域$M$为一个函数集合，也就是$I:M{\to}\mathbb{R}$一般形式：给定一个函数$L{\in}C^1(\...