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勒贝格测度构造博雷尔测度的正则性定义测度$\mu$为$X$上的博雷尔测度，指的是在局部紧的豪斯多夫空间$X$的全体博雷尔集组成的$\sigma-$代数上的测度。$\mu$为正测度，并且一个博雷尔集$E{\subset}X$可以有以下的定义：外正则，也就是一个博雷尔集合的测度可以用包含它的开集的下确界的测度来衡量。内正则，也就是一个博雷尔集合的测度可以用它包含的紧集的上确界的测度来衡量。因为在...
基础拓扑学5连通性定义：一个拓扑空间是连通的：$(X,\tau),X{\neq}\varnothing$，若$X$不能分解为两个非空的不相交的开集之并，则称拓扑空间$X$是连通的。例子$E^1$是连通的。证明：用反证法：$E^1=A{\cup}B,A{\cap}B=\varnothing$，那么我们考虑$c=\sup\left\{x{\in}A|x<b\right\}$，那么我们有而$...
基础拓扑学4Tietze扩张定理设$X$为normal space，则对任意$X$中的闭集$A$，任意的连续函数$f:A{\to}E$，存在$F:X{\to}E$是连续的，并且有限制$F|_A=f$。该定理对应于实变函数论中的延拓定理：设$f:A{\to}E$是有界连续函数，并且$A{\subset}E$是闭集，则可以推出，延拓到$E$上的连续函数$F$，$F:E{\to}E$，并且有限制$...
基础拓扑学3乘积空间与拓扑基这里先讲述拓扑基，因为乘积空间可以用拓扑基来表达，这种表达更为简单。拓扑基给定空间集合$X$，取$\mathcal{B}{\subset}2^X$，而$\overline{\mathcal{B}}:\left\{U{\subset}X|U为\mathcal{B}中若干成员的并集\right\}$$\overline{\mathcal{B}}$称为$\mathcal...
沪旅早晨依旧是在愚园路吃的早餐，今天吃了黄鱼面和砂锅馄饨。黄鱼面很不错，味道鲜美，看上去似乎有点辣，但是实际上只有黑胡椒的味道。店家的枸杞去除了腥味，面条筋道而有嚼劲。黄鱼面砂锅馄饨吃饱上路，今天的目的地是各种大学，上海的教育资源雄厚，一个直辖市却屹立着许多985和211，并且台风已经走了，目前需要去人少的地方，大学就是一个好选择。同济从二号线出，到南京西路换乘十号线，这里可以到同济大学的同...