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基础拓扑学5连通性定义:一个拓扑空间是连通的:$(X,\tau),X{\neq}\varnothing$,若$X$不能分解为两个非空的不相交的开集之并,则称拓扑空间$X$是连通的。例子$E^1$是连通的。证明:用反证法:$E^1=A{\cup}B,A{\cap}B=\varnothing$,那么我们考虑$c=\sup\left\{x{\in}A|x<b\right\}$,那么我们有而$...
基础拓扑学4Tietze扩张定理设$X$为normal space,则对任意$X$中的闭集$A$,任意的连续函数$f:A{\to}E$,存在$F:X{\to}E$是连续的,并且有限制$F|_A=f$。该定理对应于实变函数论中的延拓定理:设$f:A{\to}E$是有界连续函数,并且$A{\subset}E$是闭集,则可以推出,延拓到$E$上的连续函数$F$,$F:E{\to}E$,并且有限制$...
基础拓扑学3乘积空间与拓扑基这里先讲述拓扑基,因为乘积空间可以用拓扑基来表达,这种表达更为简单。拓扑基给定空间集合$X$,取$\mathcal{B}{\subset}2^X$,而$\overline{\mathcal{B}}:\left\{U{\subset}X|U为\mathcal{B}中若干成员的并集\right\}$$\overline{\mathcal{B}}$称为$\mathcal...
基础拓扑学2子空间子空间拓扑实则是一个诱导拓扑,显然我们拥有一个拓扑$(X,\tau)$,而子空间首先要满足子集的概念,其拓扑建立在集合$A$上,有$A{\subset}X$,而其拓扑是诱导拓扑:$\tau_A:=\left\{U{\cap}A|U{\in}\tau\right\}$。实则就是一个拓扑限制在集合$A$上形成的子拓扑。连续映射与同胚映射一点处连续$X,Y$均为拓扑空间,映射$f...
基础拓扑学1 引言从一笔画问题谈起,到所谓的戈尼斯堡七桥问题,四色问题,到欧拉示性数,到所谓的不定向流形(莫比乌斯圈,克莱因瓶)。其中均揭示了拓扑学的思考方式,从连续变换的角度去考虑问题,而不再基于所谓的长度等度量角度。这里简要提及一下欧拉示性数。Euler多面体定理这个定理适用于立体几何学:凸多面体的面数$f$,棱数$l$和顶点数$v$满足Euler公式为以$x_0$为心,以$\varep...