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傅立叶展开本节主要讲述了希尔伯特空间上都有其极大规范正交集，并且因此导出其上的三角级数，并讲述了$L^2(T)$空间上的傅立叶展开。希尔伯特空间的规范正交集为了证明每个希尔伯特空间上都有极大规范正交集，对极大的确定，需要引入选择公理和偏序集概念。偏序集集合$\mathscr{P}$定义了一种关系“${\le}$”：$a{\le}b且b{\le}c$，蕴含着$a{\le}c$（传递性）$a{\...
变分学1本节仅仅讲述变分学的来源和对于泛函极值求解的$E-L$方程和$L-H$条件，并且针对泛函极值的必要性和充分性做出探讨。变分学引论变分学是研究泛函极值（更一般地是临界值）的一个数学分支。目前我们关注的变分学是从一个函数集合到一个实数域$\mathbb{R}$上的映射。定义域$M$为一个函数集合，也就是$I:M{\to}\mathbb{R}$一般形式：给定一个函数$L{\in}C^1(\...
希尔伯特空间上的规范正交基本节首要提出规范正交集的概念，并且对有限集的规范正交集做出刻画，然后通过一系列手段，从有限集推广到无限集。最终实现在希尔伯特空间上建立起规范正交基的操作。规范正交集定义4.13：$V$为域$F$上的向量空间，$S{\subset}V$，若$S$的任一有限子集均线性无关，则称$S$为线性无关的。并且记也就是两个集合等势，其基数相同。
傅立叶变换分离变量法实际上是借用了傅立叶工具，通过分离变量得到常微分方程之后，解却是通过一族正交系来确定的，而在某些情况下，傅立叶天然的正交系性质，为这些解提供了帮助。故此对傅里叶变换做一些总结傅立叶变换及其基本性质设$f(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数，它在$[-l,l]$上有一阶连续导数，则在$[-l,l]$中$f(x)$可以展开为傅立叶级数
Big Rudin主要讲述了希尔伯特空间的初等结论内积与线性泛函4.1 内积空间内积空间首先是个向量空间，内积定义为$(.):V{\times}V{\to}C$满足条件：$\overline{(x,y)}=(y,x)$。共轭转置$(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$$(\alpha x,y)=\alpha(x,y),(x,\alpha y)=\overline{\alpha}(x,y)$...