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泛函分析关于度量空间这一章,主要讲述了关于度量空间的结构是怎么来的,并且讲解了拓扑结构和代数结构构造而成的内积空间,从而诱导出范数。其中有一些比较好的性质——凸性质和紧性质。关于这些空间——内积、范数空间,都有一个完备性的问题:也就是按照范数收敛后的元素是否还在集合中,若在则称该空间是完备的,于是定义了巴拿赫空间(赋范线性空间完备空间)与希尔伯特空间(具有内积的完备空间)。具体的应用定理则是...
Big rudin勒贝格可测的性质若某集合子集均勒贝格可测,则该集合测度为0若$A{\subset}R^1$,并且$A$的每个子集都是勒贝格可测的,则$m(A)=0$。从这个定理可以得到一个深刻的推论:(揭示了可测与不可测的相关性质)每个正测度集合都有不可测的子集。证明:设$R$为实数集,$Q$为有理数集,利用选择公理,则可以构造$E{\subset}R$,使得对任意的$x{\in}R,E{...
勒贝格测度构造博雷尔测度的正则性定义测度$\mu$为$X$上的博雷尔测度,指的是在局部紧的豪斯多夫空间$X$的全体博雷尔集组成的$\sigma-$代数上的测度。$\mu$为正测度,并且一个博雷尔集$E{\subset}X$可以有以下的定义:外正则,也就是一个博雷尔集合的测度可以用包含它的开集的下确界的测度来衡量。内正则,也就是一个博雷尔集合的测度可以用它包含的紧集的上确界的测度来衡量。因为在...
基础拓扑学5连通性定义:一个拓扑空间是连通的:$(X,\tau),X{\neq}\varnothing$,若$X$不能分解为两个非空的不相交的开集之并,则称拓扑空间$X$是连通的。例子$E^1$是连通的。证明:用反证法:$E^1=A{\cup}B,A{\cap}B=\varnothing$,那么我们考虑$c=\sup\left\{x{\in}A|x<b\right\}$,那么我们有而$...
基础拓扑学4Tietze扩张定理设$X$为normal space,则对任意$X$中的闭集$A$,任意的连续函数$f:A{\to}E$,存在$F:X{\to}E$是连续的,并且有限制$F|_A=f$。该定理对应于实变函数论中的延拓定理:设$f:A{\to}E$是有界连续函数,并且$A{\subset}E$是闭集,则可以推出,延拓到$E$上的连续函数$F$,$F:E{\to}E$,并且有限制$...