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积空间上的积分这一章节主要讨论用抽象积分的形式来证明关于二元函数积分的富比尼定理。笛卡尔积上的可测性首先给出一些定义：矩形若$X$和$Y$是两个集，其笛卡尔积$X{\times}Y$是所有$x{\in}X,y{\in}Y$的序对$(x,y)$组成的集，如果$A{\subset}X$和$B{\subset}Y$，得到$A{\times}B{\subset}X{\times}Y$，则称$A{\t...
微分本章的结构是通过研究测度的导数和相伴的极大函数（定义），容易得到勒贝格积分上的微分和导数的积分的重要性质（结果与目的），而上一节的拉东-妮柯迪姆定理与勒贝格分解定理在本章起相当重要的结果。（工具）测度的导数定义这一节主要是给出定义和一些性质，结果在下一节给出。定理7.1给出了复博雷尔测度的可微和导数的等价定义（与勒贝格测度相关）定义7.2告诉我们：$\mu$在$x$的导数，可以定义为区间...
复测度本章主要内容是给出一个复测度的快速概括，各个定理的理解和命题的使用，以便拿到书后能对该章的思路给出一定的理解，并且把精力投入到对于细节的把握上。全变差首先我们是对一个复测度的引入，复测度首先是一个$\sigma-$代数上的复函数，并且定义为级数形式。最后结合$C_0(X)$与$C_c(X)$的关系，刻画了$C_c(X)$上的有界线性泛函，这部分的证明是比较复杂的。
哈恩-巴拿赫定理在介绍哈恩-巴拿赫定理之前，需要给定一些补充说明，并且证明一些命题。补充说明$V$是复（实）的线性空间，指的是最后说一下，该定理用来做凸集分离，或者配合里斯表示定理扩展空间，定义广义函数。还有就是其延拓作用均有各种应用。
凹凸函数与詹森不等式凸函数课本是凸函数的定义：设$\varphi$是定义在开区间$(a,b)$上的是函数，其中$-\infty{\le}a<b{\le}\infty$。如果对任意的$a<x<b,a<y<b$和$0{\le}{\lambda}{\le}1$，恒有不等式也就是$\varphi{\circ}f{\in}L^1(\mu)$推出$\int_{\Omega}...