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开映像定理与其应用开映像定理设$X,Y$是巴拿赫空间,有界线性算子$\Lambda:X{\to}Y$是满射,则存在$\delta>0$,使得于是则有$\Lambda$连续,也就是闭图像推出这个线性算子是连续的。
一致有界与连续函数的傅立叶展开Banach-Steinhaus定理上述巴拿赫-斯坦豪斯定理,也称为共鸣定理,一致有界定理。$X$为巴拿赫空间,$Y$为线性赋范空间,$\left\{{\Lambda}_{\alpha}\right\}_{\alpha{\in}A}$,$\Lambda_{\alpha}{\in}L(X,Y)$是一族连续线性算子,那么要么存在$M<\infty$,使得对每个...
Banach空间技巧Banach空间对于巴拿赫空间,我们知道它是一个完备的赋范线性空间。再次提及一下什么叫做范数:对于$X$是复向量空间,$\|{\cdot}\|:X{\to}[0,\infty)$。$\forall{x,y}{\in}X,\|x+y\|{\le}\|x\|+\|y\|$。(三角不等式)$\forall{x}{\in}X,{\forall}{\alpha}{\in}C,\|{...
傅立叶展开本节主要讲述了希尔伯特空间上都有其极大规范正交集,并且因此导出其上的三角级数,并讲述了$L^2(T)$空间上的傅立叶展开。希尔伯特空间的规范正交集为了证明每个希尔伯特空间上都有极大规范正交集,对极大的确定,需要引入选择公理和偏序集概念。偏序集集合$\mathscr{P}$定义了一种关系“${\le}$”:$a{\le}b且b{\le}c$,蕴含着$a{\le}c$(传递性)$a{\...
希尔伯特空间上的规范正交基本节首要提出规范正交集的概念,并且对有限集的规范正交集做出刻画,然后通过一系列手段,从有限集推广到无限集。最终实现在希尔伯特空间上建立起规范正交基的操作。规范正交集定义4.13:$V$为域$F$上的向量空间,$S{\subset}V$,若$S$的任一有限子集均线性无关,则称$S$为线性无关的。并且记也就是两个集合等势,其基数相同。