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第五章第三题设$1<p<\infty$，证明$L^p(\mu)$的单位球是严格凸的：这表示当也就是$f{\in}Lip{\;}\alpha$且知道了$Lip{\;}\alpha$为巴拿赫空间。
第四章第一题如果$M$是$H$的一个闭子空间，证明$M=(M^{\perp})^{\perp}$。对于不一定闭的子空间$M$，有没有一个与之类似的正确的命题？首先对$M$是$H$的一个闭子空间，证明$M=(M^{\perp})^{\perp}$。证明：${\forall}x{\in}M,{\forall}y{\in}M^{\perp}$，有$(x,y)=0$，故此有$x{\in}(M^{\p...
第三章第二题若$\varphi$在$(a,b)$上是凸的，而$\psi$在$\varphi$的值域上是凸的且是非递减的，证明$\psi{\circ}\varphi$在$(a,b)$上是凸的，对于$\varph0$，证明$ln(\varphi)$的凸性蕴含着$\varphi$的凸性，但是反之不真。首先证明$\psi{\circ}\varphi$在$(a,b)$上是凸的：由于$\varphi$在...
第一章第三题若$f$是在可测空间$X$上的实函数，使得对每一个有理数$r$，$\left\{x:f(x)>r\right\}$为可测集，证明$f$是可测的。证明：根据定理1.2可以知道，要证明$f$是可测的，只需要证明对${\forall}\alpha{\in}\mathbb{R},f^{-1}(\alpha,\infty]$是可测集即可。由稠密性，可以用有理数逼近实数，于是可以对于$...
第二章第三题设$X$是一个度量空间，其度量为$\rho$。对任意的非空集合$E{\subset}X$，定义