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近世代数$P_{71}$定理2.6.3：设$G$为有限可换群，$p$为素数，且$p{\mid}|G|$，则$G$中有$p$阶元。证明：对$|G|$作归纳法。$|G|=p$，显然成立。下面设$|G|=n>p$，并且假设命题对$|G|<n$以及$p{\mid}|G|$成立。要证明对$|G|=n$以及$p{\mid}n$也成立。任意取$a{\in}G$，设$o(a)=k>1$，若...
拓扑学测试题1$P_{20}$4，设$\tau$是$X$上的拓扑，$A$是$X$的一个子集，规定于是连续性证毕（闭集的原像为闭集），故存在该连续函数$f:X{\to}E^1$，使得$f(X)$为两个点。再证明充分性：用反证法：假设$X$连通，则由于$f$为连续函数，由于连通集合在连续映射下的像也是连通的，故此有$f(X)$为连通集，则不能分解为两个点，这个与前提条件矛盾。故$X$不连通。考点...
定义第一章拓扑空间拓扑空间：设$X$是一个非空集合，$X$的一个子集族$\tau$称为一个拓扑，如果它满足：$X,\varnothing$都包含在$\tau$中$\tau$中任意多个成员的并集仍在$\tau$中$\tau$中有限多个成员的交集仍在$\tau$中集合$X$与它的一个拓扑$\tau$一起称为一个拓扑空间，记作$(X,\tau)$，并且称$\tau$中的成员为这个拓扑空间的开集。稠...
$S^n$的基本群首先给出一个命题，这个命题的推论告诉我们$S^n$的基本群是平凡的（$n{\ge}2$）命题：首先有条件$X_1,X_2{\subset}X$为开覆盖，也就是分别为开集并且有$X_1{\cup}X_2=X$。$X_2$单连通$X_1{\cap}X_2=\varnothing$道路连通则$i_{\pi}:\pi_1(X_1,x_0){\to}\pi_1(X,x_0)$满同态，...
凹凸函数与詹森不等式凸函数课本是凸函数的定义：设$\varphi$是定义在开区间$(a,b)$上的是函数，其中$-\infty{\le}a<b{\le}\infty$。如果对任意的$a<x<b,a<y<b$和$0{\le}{\lambda}{\le}1$，恒有不等式也就是$\varphi{\circ}f{\in}L^1(\mu)$推出$\int_{\Omega}...