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$S^n$的基本群首先给出一个命题，这个命题的推论告诉我们$S^n$的基本群是平凡的（$n{\ge}2$）命题：首先有条件$X_1,X_2{\subset}X$为开覆盖，也就是分别为开集并且有$X_1{\cup}X_2=X$。$X_2$单连通$X_1{\cap}X_2=\varnothing$道路连通则$i_{\pi}:\pi_1(X_1,x_0){\to}\pi_1(X,x_0)$满同态，...
凹凸函数与詹森不等式凸函数课本是凸函数的定义：设$\varphi$是定义在开区间$(a,b)$上的是函数，其中$-\infty{\le}a<b{\le}\infty$。如果对任意的$a<x<b,a<y<b$和$0{\le}{\lambda}{\le}1$，恒有不等式也就是$\varphi{\circ}f{\in}L^1(\mu)$推出$\int_{\Omega}...
开映像定理与其应用开映像定理设$X,Y$是巴拿赫空间，有界线性算子$\Lambda:X{\to}Y$是满射，则存在$\delta>0$，使得于是则有$\Lambda$连续，也就是闭图像推出这个线性算子是连续的。
思路$Arzela-Ascoli$定理条件的改变与减弱将该定理中的闭区间$[\alpha,\beta]$上的连续函数族扩展到无穷紧空间上的连续算子族，并且给出无穷紧空间上连续算子族相对紧性判断的一个充要条件，然后将定理中一致有界减弱为在一点有界，定理结论仍旧成立。该定理对有限闭区间上连续函数族相对紧性判定的一个充要条件，故该定理应用非常广泛。张恭庆的《泛函分析讲义》将闭区间$[\alpha,...
基本群首先我们要指出道路乘法是没有结合律的，并且道路乘法有意义是需要条件的。于是我们导出了“道路类”，然后选定基点$p_0$，从而实现这些运算，这是为之后引出基本群中运算做好铺垫。定端同伦定义：$a,b:[0,1]{\to}X$是连续的，若$a{\simeq}b\;rel\left\{0,1\right\}$称为$a$与$b$定端同伦。定义：$a:[0,1]{\to}X$是连续的，且$<...