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Haim5本章主要介绍希尔伯特空间的定义及其基本性质，与其在闭凸集上的关系。5.1 定义与基本性质首先介绍的是内积的性质，其满足三个性质：对称性，非负性与正定性。然后可以从内积这三个性质诱导出范数，直接可以证明这个满足范数三性质：正定，正齐次，三角不等式。然后我们用一个极化法则说明：内积必定可以诱导出范数，但是范数要成为内积必须满足极化法则。最后定义一个希尔伯特空间：希尔伯特空间指的是：带有...
Haim4这一章节主要讲述$L^p$空间的紧性质4.5 在$L^p$中的强紧原则这个很重要，对于是否能够决定一个在$L^p(\Omega)$中的函数列有在$L^p(\Omega)$的紧闭包（对于强拓扑）。我们回忆Ascoli-Arzela定理回答了在$C(K)$上相同的问题，连续函数空间在紧可测空间$K$，且值在$\mathbb{R}$上的情况。定理4.25Ascoli-Arzela：令$K...
Haim4这一章节主要讲述$L^p$空间的卷积与正则化4.4 卷积与正则化我们首先定义一个函数$f{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$和一个函数$g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$的卷积。定理4.15Young：设$f{\in}L^1(\mathbb{R}^N)$且令$g{\in}L^p(\mathbb{R}^N)$，其中$1{\le}p{\le}\infty$。则对...
Haim4这一章节主要讲述$L^p$空间的自反，可分性质和对偶空间1.3自反性,可分性,$L^p$的对偶我们考虑分开下面三个情况：（A）$1<p<\infty$（B）$p=1$（C）$p=\infty$情况A关于$L^p(\Omega),1<p<\infty$的性质有：这个情况是最好的：$L^p$是自反的，可分的且$L^p$的对偶空间是$L^{p'}$。定理4.10$...
Haim4这一章节主要讲述$L^p$空间。令$(\Omega,\mathcal{M},\mu)$给定了一个可测空间，也即：$\Omega$是一个集合且（1）$\mathcal{M}$是一个在$\Omega$中的$\sigma-$代数，也即：$\mathcal{M}$是一个关于$\Omega$中的子集列使得：（a）$\varnothing{\in}\mathcal{M}$。（b）$A{\in}...